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中图分类号：TN722.75 文献标识码：A
摘要：采用数学建模的方式，研究了在无记忆下的功放机理。同时也对无记忆下预失真建模以及建立了无记忆功放模型。根据函数逼近的Weierstrass定理，对功放特性函数总可以用一个次数充分大的多项式逼近到任意程度，故可采用计算简单的多项式表示非线性函数。结果表明：可以选定较低次的多项式去逼近功放特性函数，能满足实际的需要，同时又保证了实现的复杂度和效果精度。
关键词：功放;非线性;预失真;多项式;非劣解
1.问题的重述
目前已提出了各种技术来克服改善功放的非线性失真，其中预失真技术是被研究和应用较多的一项新技术，其最新的研究成果已经被用于实际的产品（如无线通信系统等），但在新算法、实现复杂度、计算速度、效果精度等方面仍有相当的研究价值。
如果某一时刻的输出仅与此时刻的输入相关，称为无记忆功放。利用所给输入和输出数据，分别讨论功放的非线性特性数学模型和预失真处理模型。并运用评价指标参数NMSE/EVM来评价所建模型的准确度。
2.变量说明
t时间变量;x（t）输入信号;
y（t）预失真器的输出;z（t）输出信号;
G（x）功放特性函数;
F（x）预失真器特性函数;L（x）复合函数;
x（n）离散采样后输入信号值;
z（n）离散采样后输出信号值;
g功放幅度放大倍数（g>1）;
k多项式的阶数;
hk无记忆模型下各次幂的系数;
hkm记忆模型下多项式各次幂系数;
z（n）^通过模型计算的信号值;
e理想输出与模型输出的信号误差。
3.问题分析
预失真的基本原理是：在功放前设置一个预失真处理模块，这两个模块的合成总效果使整体输入-输出的特性线性化，使输出功率得到充分利用。由于各类功放的固有特性不同，特性函数差异较大，即使同一功放，由于输入信号类型，环境温度等的改变，其非线性特性也会发生变化。故预失真的实质是功放模型的求逆问题。
4.无记忆功放
4.1 模型的建立
根据函数逼近的Weierstrass定理，对解析函数G（x）总可以用一个次数充分大的多项式逼近到任意程度，故可采用计算简单的多项式表示非线性函数。
如果某一时刻的输出仅与此时刻的输入相关，称为无记忆功放，其特性可用多项式表示为
z（t）=∑Kk=1hkxk（t）t∈[0，T]（1）
式中k表示非线性的阶数（即多项式次数），诸hk为各次幂的系数。在函数逼近理论中，z（t）是用函数组{x0，x，x2，x3，…，xk}生成的K+1维空间里的这组基的线性组合表示。
4.2 模型的求解
如果对功放输入x（t）/输出z（t）进行离散采样后值为分别为x（n）/z（n），则（1）可用离散多项式表示如下
z（n）=∑kk=1hkxk（n）=h1x（n）+h2x2（n）+…+hkxk（n）n=0，1，2，…，N（2）
于是，采用多项式拟合的方法，可以求得多项式的各次幂系数，功放的特性函数也就用此多项式z（n）逼近，得到功放的特性函数G0的多项式表示形式。在采用多项式拟合算法中会产生常系数h0
z（n）=h0+h1x（n）+h2x2（n）+…+hkxk（n）当h0足够小时，误差认为可以忽略不计。
4.3 模型结果分析标准
采用归一化均方误差（Normalized Mean Square Error，NMSE）来表征计算精度，其表达式为
NMSE=10log10∑Nn=1|z（n）-z（n）^|2∑n=1N|z（n）|2（3）
如果用z表示实际信号值，z^表示通过模型计算的信号值，NMSE就反映了模型与物理实际模块的接近程度。功放前加载预失真处理后，也可用NMSE判断整体模型输出值与理想输出值的近似程度。
同时计算评价标准NMSE在不同阶数下的值。由NMSE的定义，我们可以定义误差率
e=∑n=1N|z（n）-z（n）^|2∑n=1N|z（n）|2=100.1·NMSE（4）
下面依次取不同的多项式的次数，拟合散点图。观察在不同的次数下NMSE和误差率e的变化情况，并观察拟合曲线与散点图的吻合程度，分析信号输入幅度对拟合效果的影响。可以从NMSE和误差率e 分析出所建模型准确程度。
图1取不同的多项式的次数，拟合散点图
（1）当k=2时，NMSE=-21.1974，e=0.0076;
（2）当k=3时，NMSE=-21.5403，e=0.0070;
（3）当k=4时，NMSE=-21.5671，e=0.0070;
（4）当k=5时，NMSE=-21.5761，e=0.0070;
（5）当k=6时，NMSE=-21.5806，e=0.0069;
（6）当k=7时，NMSE=-21.5841，e=0.0069;
5.模型结果分析：
（1）随着输入幅度的增加，曲线拟合的效果会逐渐变差，输入幅度保持在一定范围内时，拟合效果会比较好。（2）当k=2时，拟合曲线与散点图差异比较明显。（3）当多项式的阶数增加时，拟合曲线与散点图的差异性减小。（4）随着拟合多项式次数的增加，归一化均方误差NMSE没有显著性的变化，在-21.5左右变化。当k的取值从3开始，误差率e也变化不明显，维持在0.7%左右。（5）于是从简化计算的方面考虑，同时也使误差率维持在较低水平，0.7%的误差水平是可以接受的水平，于是选取3阶的多项式拟合已经可以达到实际需要。
参考文献：
[1]John Tsimbinos，Identification and Compensation of Nonlinear Distortion，PhD Dissertation，School of Electronic Engineering，University Of South Australia，Adelaide，February 1995.
[2]Raviv Raich，et al.Orthogonal Polynomials for Power Amplifier Modeling and Predistorter
[3]姚应磊.功率放大器的基带预失真方法研究[D].西安：西安电子科技大学，2001.
[4] 钱叶青，刘富强.Wiener功率放大器的简化预失真方法[J].通信学报，2007，28（10）：55-59.
作者简介：
张勇（1991—），男，研究生，主要从事计算机应用技术。
通讯作者：
马俊（1963-），教授，主要从事小波分析研究与运用。
摘要：采用数学建模的方式，研究了在无记忆下的功放机理。同时也对无记忆下预失真建模以及建立了无记忆功放模型。根据函数逼近的Weierstrass定理，对功放特性函数总可以用一个次数充分大的多项式逼近到任意程度，故可采用计算简单的多项式表示非线性函数。结果表明：可以选定较低次的多项式去逼近功放特性函数，能满足实际的需要，同时又保证了实现的复杂度和效果精度。
关键词：功放;非线性;预失真;多项式;非劣解
1.问题的重述
目前已提出了各种技术来克服改善功放的非线性失真，其中预失真技术是被研究和应用较多的一项新技术，其最新的研究成果已经被用于实际的产品（如无线通信系统等），但在新算法、实现复杂度、计算速度、效果精度等方面仍有相当的研究价值。
如果某一时刻的输出仅与此时刻的输入相关，称为无记忆功放。利用所给输入和输出数据，分别讨论功放的非线性特性数学模型和预失真处理模型。并运用评价指标参数NMSE/EVM来评价所建模型的准确度。
2.变量说明
t时间变量;x（t）输入信号;
y（t）预失真器的输出;z（t）输出信号;
G（x）功放特性函数;
F（x）预失真器特性函数;L（x）复合函数;
x（n）离散采样后输入信号值;
z（n）离散采样后输出信号值;
g功放幅度放大倍数（g>1）;
k多项式的阶数;
hk无记忆模型下各次幂的系数;
hkm记忆模型下多项式各次幂系数;
z（n）^通过模型计算的信号值;
e理想输出与模型输出的信号误差。
3.问题分析
预失真的基本原理是：在功放前设置一个预失真处理模块，这两个模块的合成总效果使整体输入-输出的特性线性化，使输出功率得到充分利用。由于各类功放的固有特性不同，特性函数差异较大，即使同一功放，由于输入信号类型，环境温度等的改变，其非线性特性也会发生变化。故预失真的实质是功放模型的求逆问题。
4.无记忆功放
4.1 模型的建立
根据函数逼近的Weierstrass定理，对解析函数G（x）总可以用一个次数充分大的多项式逼近到任意程度，故可采用计算简单的多项式表示非线性函数。
如果某一时刻的输出仅与此时刻的输入相关，称为无记忆功放，其特性可用多项式表示为
z（t）=∑Kk=1hkxk（t）t∈[0，T]（1）
式中k表示非线性的阶数（即多项式次数），诸hk为各次幂的系数。在函数逼近理论中，z（t）是用函数组{x0，x，x2，x3，…，xk}生成的K+1维空间里的这组基的线性组合表示。
4.2 模型的求解
如果对功放输入x（t）/输出z（t）进行离散采样后值为分别为x（n）/z（n），则（1）可用离散多项式表示如下
z（n）=∑kk=1hkxk（n）=h1x（n）+h2x2（n）+…+hkxk（n）n=0，1，2，…，N（2）
于是，采用多项式拟合的方法，可以求得多项式的各次幂系数，功放的特性函数也就用此多项式z（n）逼近，得到功放的特性函数G0的多项式表示形式。在采用多项式拟合算法中会产生常系数h0
z（n）=h0+h1x（n）+h2x2（n）+…+hkxk（n）当h0足够小时，误差认为可以忽略不计。
4.3 模型结果分析标准
采用归一化均方误差（Normalized Mean Square Error，NMSE）来表征计算精度，其表达式为
NMSE=10log10∑Nn=1|z（n）-z（n）^|2∑n=1N|z（n）|2（3）
如果用z表示实际信号值，z^表示通过模型计算的信号值，NMSE就反映了模型与物理实际模块的接近程度。功放前加载预失真处理后，也可用NMSE判断整体模型输出值与理想输出值的近似程度。
同时计算评价标准NMSE在不同阶数下的值。由NMSE的定义，我们可以定义误差率
e=∑n=1N|z（n）-z（n）^|2∑n=1N|z（n）|2=100.1·NMSE（4）
下面依次取不同的多项式的次数，拟合散点图。观察在不同的次数下NMSE和误差率e的变化情况，并观察拟合曲线与散点图的吻合程度，分析信号输入幅度对拟合效果的影响。可以从NMSE和误差率e 分析出所建模型准确程度。
图1取不同的多项式的次数，拟合散点图
（1）当k=2时，NMSE=-21.1974，e=0.0076;
（2）当k=3时，NMSE=-21.5403，e=0.0070;
（3）当k=4时，NMSE=-21.5671，e=0.0070;
（4）当k=5时，NMSE=-21.5761，e=0.0070;
（5）当k=6时，NMSE=-21.5806，e=0.0069;
（6）当k=7时，NMSE=-21.5841，e=0.0069;
5.模型结果分析：
（1）随着输入幅度的增加，曲线拟合的效果会逐渐变差，输入幅度保持在一定范围内时，拟合效果会比较好。（2）当k=2时，拟合曲线与散点图差异比较明显。（3）当多项式的阶数增加时，拟合曲线与散点图的差异性减小。（4）随着拟合多项式次数的增加，归一化均方误差NMSE没有显著性的变化，在-21.5左右变化。当k的取值从3开始，误差率e也变化不明显，维持在0.7%左右。（5）于是从简化计算的方面考虑，同时也使误差率维持在较低水平，0.7%的误差水平是可以接受的水平，于是选取3阶的多项式拟合已经可以达到实际需要。
参考文献：
[1]John Tsimbinos，Identification and Compensation of Nonlinear Distortion，PhD Dissertation，School of Electronic Engineering，University Of South Australia，Adelaide，February 1995.
[2]Raviv Raich，et al.Orthogonal Polynomials for Power Amplifier Modeling and Predistorter
[3]姚应磊.功率放大器的基带预失真方法研究[D].西安：西安电子科技大学，2001.
[4] 钱叶青，刘富强.Wiener功率放大器的简化预失真方法[J].通信学报，2007，28（10）：55-59.
作者简介：
张勇（1991—），男，研究生，主要从事计算机应用技术。
通讯作者：
马俊（1963-），教授，主要从事小波分析研究与运用。