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1 活在纸币上的科学家
计算对欧拉来说毫不费力，就像人们呼吸，或者鹰在风中保持平衡那样。
——弗朗索瓦·阿拉戈
在一个小国家里诞生一位科学巨匠，这在世界史上并不多见。瑞士数学家、物理学家莱昂纳尔·欧拉便是其中最出色的一位。欧拉的肖像被印在瑞士法郎上，与英镑上的牛顿一起成为至今仍在欧洲流通的纸币上“活着”的两位科学家。
1707年4月15日，欧拉出生在瑞士西北部邻近法国的巴塞尔，这座通用法语的城市至今人口仍不足20万，却拥有瑞士最早的学府——巴塞尔大学(1460年建校)。1720年秋，年仅13岁的欧拉进入巴塞尔大学，学习神学和希伯来语。牧师家庭出身的欧拉之所以选择后来的科学道路，与当地一个叫贝努利的数学世家有着密切的关系。
贝努利家族的三代人中出过八位极有成就的数学家，其中约翰·贝努利那时在巴塞尔大学担任数学教授。他讲授数学基础课，还给一些有兴趣的学生开设了更高深的数学及物理学讲座。小欧拉是约翰·贝努利最忠实的听众，后来他在自传中写道：“他(约翰教授)允许我每周六下午自由地去找他，他总是和蔼地为我解答一切疑难……”小欧拉的数学才能很快引起了约翰的注意，他的两个儿子尼古拉和丹尼尔(兄弟俩均为数学家)也与欧拉结为挚友。
17岁那年，欧拉获哲学硕士学位，同时面临对未来职业的抉择。老欧拉仍固执地希望他成为牧师，幸亏诸位贝努利前辈的热情劝告和担保，做父亲的才最后放弃自己的主张，数学王国才不至于失去这样一位伟大的创造者。欧拉虽然没有做成牧师，但父亲笃信的加尔文教赋予了他一颗温厚、仁慈之心，他毕生为人都十分谦逊。
欧拉被公认为是纯粹数学的奠基人之一，也是历史上最卓越、最多产的科学家之一，被同代数学家视为“分析的化身”。此外他在数论、几何学、拓扑学、力学诸方面均有重大的贡献。以欧拉命名的数学发现无处不在，并且总是处在各个领域引人瞩目的位置，如：欧拉函数和欧拉定理(数论)、欧拉常数(微积分)、欧拉公式(复变函数)、欧拉线和欧拉圆(几何学)、欧拉图(图论)、欧拉示性数(拓扑学)、欧拉角(动力学)、欧拉方程式(流体力学)等等。
欧拉还是一位出色的教科书作者。他撰写的《无限小分析引论》《微分学原理》和《积分学原理》是数学史上里程碑式的著作，在很长一段时间里被当作分析学教材的典范。此外，欧拉还是对数学符号系统贡献最大的数学家之一，这项工作的意义极其重要，却容易被人们忽视。欧拉率先用f(x)表示函数，e表示自然对数的底，i表示虚数，s表示三角形的周长，a b c表示三角形的边，π表示圆周率，∑表示求和，正弦sin、余弦cos和正切tg也是欧拉引入的，这些符号沿用至今，并为我们所熟知。
2 和君主们打交道
欧洲最伟大的国王希望欧洲最伟大的数学家在他的宫里。
——腓德烈大帝
拿破仑是结交数学家最多的君王，而欧拉是与君王打交道最多的数学家。让我们把时光拉回到1727年，那一年牛顿在伦敦去世，而20岁的欧拉则在贝努利兄弟的推荐下被俄国彼得堡科学院聘用，开始了自己的学术生涯。就在欧拉踏上俄罗斯领土的那一天(5月17日)，这个国家的女皇叶卡捷琳娜一世去世了。作为俄国最伟大的君王——彼得大帝的妻子，这位出身卑微的立陶宛女子在许多方面都表现得非常开明。在她仅仅两年多的在位时间里，实现了丈夫建立科学院的愿望。 叶卡捷琳娜一世死后，权力旁落到一伙粗鲁残暴的家伙手里，他们把科学院看成是可有可无的摆设，甚至考虑取消它。也算是不幸中的大幸，贝努利兄弟原先推荐欧拉去的是医学部，因为科学院只有那儿有空缺，为此欧拉还在巴塞尔大学突击学习了生理学。科学院混乱的管理正好给了欧拉机会，让他偷偷溜进了丹尼尔所在的数学部。从此欧拉埋头于研究，完全沉浸在数学王国里。六年后丹尼尔返回瑞士，欧拉接替了他的数学教授职位。这一年欧拉26岁，在俄罗斯安了家，新娘是彼得大帝西游时带回来的画师的女儿，也是欧拉的瑞士同胞。那时俄国有了一位新女皇，即彼得大帝的侄女安娜·伊万诺夫娜。虽说在安娜的情夫的间接统治下俄罗斯经受了历史上最血腥的恐怖时期，但科学院的境况并没有变得更糟——毕竟像欧拉这样的数学家对当权者无害。欧拉喜欢孩子，他的两任妻子(第二个妻子是第一个妻子的同父异母的妹妹)先后生下了13个孩子。欧拉常常一边抱着婴儿一边写论文，稍长的孩子们则围绕着他嬉戏。他是在任何地方、任何条件下都能工作的少数几位大科学家之一。1740年，安娜女皇退位并于当年去世，欧拉遂接受了普鲁士国王腓德烈大帝的邀请，到柏林科学院担任数学部主任。然而欧拉与普鲁士国王相处并不愉快，因为国王只喜欢溜须拍马的大臣，之所以支持数学，只是感到那是一种责任。腓德烈从内心里讨厌这门学问，因为他自己的数学很蹩脚，无法与法兰西皇帝拿破仑相比。后者自称是个几何学家，并与同时代所有的巴黎数学家交上了朋友。欧拉在柏林不受欢迎的另一个原因是，他对腓德烈大帝津津乐道的哲学问题一无所知。有一次，法国启蒙主义思想家伏尔泰来访，在竭尽所能取悦了国王之后，又拿欧拉逗乐。忠厚老实的欧拉耐着性子忍受了这一切，但国王却感觉自己丢了面子，他决心物色一位能说会道的数学家来领导他的科学院，结果法国人达朗贝尔被邀请到了柏林。
比欧拉年轻十岁的达朗贝尔是偏微分方程的开拓者，并最早写出了动力学原理的著作。此外，他还是著名的“百科全书”的副主编(主编是哲学家狄德罗)。显而易见，这样一位全才更能让腓德烈大帝的虚荣心得到满足。没想到的是，达朗贝尔却是一位头脑清醒、判断力精确的人，他十分坦率地告诉普鲁士国王，把任何其他数学家置于欧拉之上都是一种错误的行为。可惜的是，这并没有让自负的国王改变对欧拉的看法。为了子女的前途，58岁高龄的欧拉带领全家离开了生活了二十多年的柏林，回到了彼得堡。此时俄罗斯又有了一位新女皇，即叶卡捷琳娜二世，她在位的34年里，完成了彼得大帝未竟的事业，领导俄国全面参与欧洲的政治和文化事业，制订法典并厉行改革，还夺取了波兰和克里米亚的大部分领土，故被称作“叶卡捷琳娜大帝”。在欧拉回到彼得堡之后，女皇以皇室的规格接待他，拨给他一栋可供全家18人居住的大房子和成套的家具，并派去自己的一个厨子。
3 看不见的数学家
学习欧拉吧，他是我们所有人的老师。
——拉普拉斯
如同创作不朽旋律的贝多芬双耳先后失聪一样，从事数学研究的 欧拉双目也先后失明，但这丝毫不影响他的创造力。欧拉一生完成了八百多篇(部)论文和著作。从1907年欧拉诞辰200周年开始，瑞士开始编辑《欧拉全集》，那是72卷大四开本的巨著，至今尚未完成。 欧拉的失明并非由于遗传，第一次灾难降临时他只有28岁。为赢得一项天文学的大奖，他连续工作三天三夜，把当时认为需要几个月才能解决的难题攻克了。结果引发了一场疾病，欧拉从此失去了右眼的视力。欧拉的左眼患上白内障时已经快60岁了，但他却能够泰然处之。在完全失明之前，他努力尝试用粉笔把公式写在大石板上，然后让儿子或秘书抄下来，他再口述对公式的说明和其他文字。这样一来，他写作的效率非但没有降低，反而提高了。 与许多失明者一样，欧拉有着非凡的记忆力。他把那个时代几乎所有的数学结果铭记于心，还长于心算。更让人不可思议的是，欧拉能背出古罗马大诗人维吉尔的12卷史诗《埃涅阿斯纪》每一页的首句和末句。或许，欧拉从优美的诗句中获得了某种共鸣，他的数学发明总是以优美的形式呈现。在完全失明的17年间，最让他得意的是发现了月球的运动规律，那曾是唯一使牛顿头痛的问题，却被欧拉通过复杂的心算推导出来了。 除了失明以外，欧拉一生还遭遇了许多不幸：八个孩子先后夭折；晚年的一场大火虽然没有夺走他的生命和手稿，却把他的房子和藏书全毁了。叶卡捷琳娜二世获悉发生火灾的消息后马上补偿了全部损失，使欧拉很快又投入了工作。值得一提的是，俄国还有一位女皇伊丽莎白(她是彼得大帝的女儿)，她在位的20年间，欧拉一直生活在柏林，尽管如此，她还是照付给他院士津贴。有一年俄罗斯军队入侵柏林远郊，欧拉的农场遭到了抢劫，伊丽莎白知道后加倍赔偿了他的损失。可以说，欧拉的一生得到了俄国四位女皇的垂青。
1783年9月18日，一个晴朗的秋日下午，欧拉和家人一起吃晚饭，谈论着新近发现的天王星。那会儿，在德国中北部的布伦瑞克，一座离柏林不到两百公里的小城里，园丁的儿子高斯才6岁，却已充分显露出了数学神童的天赋。晚餐后，欧拉一边喝着茶一边和小孙女玩耍，突然间烟斗从他手中掉了下来……“欧拉停止了生命和计算”，这句出自法国哲学家兼数学家孔多塞的悼词，常常使我想起欧拉喜爱的维吉尔的诗句：“锚抛下去，飞驰的船停住了。”
欧拉涉足的研究范围十分广泛，例如毕达哥拉斯时代遗留下来的完美数和友好数问题，以他的贡献最大；再如费尔马大定理，欧拉也有出色的贡献，但最终的解答直到上个世纪末才得出；又如哥德巴赫猜想，是欧拉和哥德巴赫通信时提出来的。哥德巴赫的故乡在普鲁士的哥尼斯堡，诞生于这座城市的“七桥问题”是拓扑学的出发点，而把这个世俗问题抽象到数学高度的正是欧拉…… 尽管如此，由于欧拉既不像牛顿那样建立起一门新科学(微积分学)和完整的力学体系，也不像后来的高斯那样建立起一个数学学派(哥廷根学派)，加上他来自小国家，为人谦和，其公众知名度并不很高。但在同行眼里，他无疑是一位卓有成就的数学家，还有不少数学史家把他与阿基米德、牛顿和高斯并列为有史以来最伟大的四位数学家。这四个人拥有一个共同点，即在创建纯粹理论的同时，还把自己发明的数学工具用以解决大量天文、物理和力学等实际问题。他们不断地从实践中吸取营养，同时又不满足于解决具体问题——他们把宇宙看成一个有机的整体，力图揭示出它的内在奥秘和规律。 关于欧拉的地位，“数学王子”高斯这样说过：“对于欧拉工作的研究，将仍然是数学人能上的最好的学校，并且没有任何别的可以替代它。”
作者简介：蔡天新，浙江大学数学系教授、博士生导师，著名诗人。15岁上大学，24岁获博士学位，31岁做教授，33岁成为“东方之子”，行走过80多个国家，代表作有诗集《幽居之歌》，随笔集《数字和玫瑰》，旅记《南方的博尔赫斯》《与伊丽莎白同行》等。
计算对欧拉来说毫不费力，就像人们呼吸，或者鹰在风中保持平衡那样。
——弗朗索瓦·阿拉戈
在一个小国家里诞生一位科学巨匠，这在世界史上并不多见。瑞士数学家、物理学家莱昂纳尔·欧拉便是其中最出色的一位。欧拉的肖像被印在瑞士法郎上，与英镑上的牛顿一起成为至今仍在欧洲流通的纸币上“活着”的两位科学家。
1707年4月15日，欧拉出生在瑞士西北部邻近法国的巴塞尔，这座通用法语的城市至今人口仍不足20万，却拥有瑞士最早的学府——巴塞尔大学(1460年建校)。1720年秋，年仅13岁的欧拉进入巴塞尔大学，学习神学和希伯来语。牧师家庭出身的欧拉之所以选择后来的科学道路，与当地一个叫贝努利的数学世家有着密切的关系。
贝努利家族的三代人中出过八位极有成就的数学家，其中约翰·贝努利那时在巴塞尔大学担任数学教授。他讲授数学基础课，还给一些有兴趣的学生开设了更高深的数学及物理学讲座。小欧拉是约翰·贝努利最忠实的听众，后来他在自传中写道：“他(约翰教授)允许我每周六下午自由地去找他，他总是和蔼地为我解答一切疑难……”小欧拉的数学才能很快引起了约翰的注意，他的两个儿子尼古拉和丹尼尔(兄弟俩均为数学家)也与欧拉结为挚友。
17岁那年，欧拉获哲学硕士学位，同时面临对未来职业的抉择。老欧拉仍固执地希望他成为牧师，幸亏诸位贝努利前辈的热情劝告和担保，做父亲的才最后放弃自己的主张，数学王国才不至于失去这样一位伟大的创造者。欧拉虽然没有做成牧师，但父亲笃信的加尔文教赋予了他一颗温厚、仁慈之心，他毕生为人都十分谦逊。
欧拉被公认为是纯粹数学的奠基人之一，也是历史上最卓越、最多产的科学家之一，被同代数学家视为“分析的化身”。此外他在数论、几何学、拓扑学、力学诸方面均有重大的贡献。以欧拉命名的数学发现无处不在，并且总是处在各个领域引人瞩目的位置，如：欧拉函数和欧拉定理(数论)、欧拉常数(微积分)、欧拉公式(复变函数)、欧拉线和欧拉圆(几何学)、欧拉图(图论)、欧拉示性数(拓扑学)、欧拉角(动力学)、欧拉方程式(流体力学)等等。
欧拉还是一位出色的教科书作者。他撰写的《无限小分析引论》《微分学原理》和《积分学原理》是数学史上里程碑式的著作，在很长一段时间里被当作分析学教材的典范。此外，欧拉还是对数学符号系统贡献最大的数学家之一，这项工作的意义极其重要，却容易被人们忽视。欧拉率先用f(x)表示函数，e表示自然对数的底，i表示虚数，s表示三角形的周长，a b c表示三角形的边，π表示圆周率，∑表示求和，正弦sin、余弦cos和正切tg也是欧拉引入的，这些符号沿用至今，并为我们所熟知。
2 和君主们打交道
欧洲最伟大的国王希望欧洲最伟大的数学家在他的宫里。
——腓德烈大帝
拿破仑是结交数学家最多的君王，而欧拉是与君王打交道最多的数学家。让我们把时光拉回到1727年，那一年牛顿在伦敦去世，而20岁的欧拉则在贝努利兄弟的推荐下被俄国彼得堡科学院聘用，开始了自己的学术生涯。就在欧拉踏上俄罗斯领土的那一天(5月17日)，这个国家的女皇叶卡捷琳娜一世去世了。作为俄国最伟大的君王——彼得大帝的妻子，这位出身卑微的立陶宛女子在许多方面都表现得非常开明。在她仅仅两年多的在位时间里，实现了丈夫建立科学院的愿望。 叶卡捷琳娜一世死后，权力旁落到一伙粗鲁残暴的家伙手里，他们把科学院看成是可有可无的摆设，甚至考虑取消它。也算是不幸中的大幸，贝努利兄弟原先推荐欧拉去的是医学部，因为科学院只有那儿有空缺，为此欧拉还在巴塞尔大学突击学习了生理学。科学院混乱的管理正好给了欧拉机会，让他偷偷溜进了丹尼尔所在的数学部。从此欧拉埋头于研究，完全沉浸在数学王国里。六年后丹尼尔返回瑞士，欧拉接替了他的数学教授职位。这一年欧拉26岁，在俄罗斯安了家，新娘是彼得大帝西游时带回来的画师的女儿，也是欧拉的瑞士同胞。那时俄国有了一位新女皇，即彼得大帝的侄女安娜·伊万诺夫娜。虽说在安娜的情夫的间接统治下俄罗斯经受了历史上最血腥的恐怖时期，但科学院的境况并没有变得更糟——毕竟像欧拉这样的数学家对当权者无害。欧拉喜欢孩子，他的两任妻子(第二个妻子是第一个妻子的同父异母的妹妹)先后生下了13个孩子。欧拉常常一边抱着婴儿一边写论文，稍长的孩子们则围绕着他嬉戏。他是在任何地方、任何条件下都能工作的少数几位大科学家之一。1740年，安娜女皇退位并于当年去世，欧拉遂接受了普鲁士国王腓德烈大帝的邀请，到柏林科学院担任数学部主任。然而欧拉与普鲁士国王相处并不愉快，因为国王只喜欢溜须拍马的大臣，之所以支持数学，只是感到那是一种责任。腓德烈从内心里讨厌这门学问，因为他自己的数学很蹩脚，无法与法兰西皇帝拿破仑相比。后者自称是个几何学家，并与同时代所有的巴黎数学家交上了朋友。欧拉在柏林不受欢迎的另一个原因是，他对腓德烈大帝津津乐道的哲学问题一无所知。有一次，法国启蒙主义思想家伏尔泰来访，在竭尽所能取悦了国王之后，又拿欧拉逗乐。忠厚老实的欧拉耐着性子忍受了这一切，但国王却感觉自己丢了面子，他决心物色一位能说会道的数学家来领导他的科学院，结果法国人达朗贝尔被邀请到了柏林。
比欧拉年轻十岁的达朗贝尔是偏微分方程的开拓者，并最早写出了动力学原理的著作。此外，他还是著名的“百科全书”的副主编(主编是哲学家狄德罗)。显而易见，这样一位全才更能让腓德烈大帝的虚荣心得到满足。没想到的是，达朗贝尔却是一位头脑清醒、判断力精确的人，他十分坦率地告诉普鲁士国王，把任何其他数学家置于欧拉之上都是一种错误的行为。可惜的是，这并没有让自负的国王改变对欧拉的看法。为了子女的前途，58岁高龄的欧拉带领全家离开了生活了二十多年的柏林，回到了彼得堡。此时俄罗斯又有了一位新女皇，即叶卡捷琳娜二世，她在位的34年里，完成了彼得大帝未竟的事业，领导俄国全面参与欧洲的政治和文化事业，制订法典并厉行改革，还夺取了波兰和克里米亚的大部分领土，故被称作“叶卡捷琳娜大帝”。在欧拉回到彼得堡之后，女皇以皇室的规格接待他，拨给他一栋可供全家18人居住的大房子和成套的家具，并派去自己的一个厨子。
3 看不见的数学家
学习欧拉吧，他是我们所有人的老师。
——拉普拉斯
如同创作不朽旋律的贝多芬双耳先后失聪一样，从事数学研究的 欧拉双目也先后失明，但这丝毫不影响他的创造力。欧拉一生完成了八百多篇(部)论文和著作。从1907年欧拉诞辰200周年开始，瑞士开始编辑《欧拉全集》，那是72卷大四开本的巨著，至今尚未完成。 欧拉的失明并非由于遗传，第一次灾难降临时他只有28岁。为赢得一项天文学的大奖，他连续工作三天三夜，把当时认为需要几个月才能解决的难题攻克了。结果引发了一场疾病，欧拉从此失去了右眼的视力。欧拉的左眼患上白内障时已经快60岁了，但他却能够泰然处之。在完全失明之前，他努力尝试用粉笔把公式写在大石板上，然后让儿子或秘书抄下来，他再口述对公式的说明和其他文字。这样一来，他写作的效率非但没有降低，反而提高了。 与许多失明者一样，欧拉有着非凡的记忆力。他把那个时代几乎所有的数学结果铭记于心，还长于心算。更让人不可思议的是，欧拉能背出古罗马大诗人维吉尔的12卷史诗《埃涅阿斯纪》每一页的首句和末句。或许，欧拉从优美的诗句中获得了某种共鸣，他的数学发明总是以优美的形式呈现。在完全失明的17年间，最让他得意的是发现了月球的运动规律，那曾是唯一使牛顿头痛的问题，却被欧拉通过复杂的心算推导出来了。 除了失明以外，欧拉一生还遭遇了许多不幸：八个孩子先后夭折；晚年的一场大火虽然没有夺走他的生命和手稿，却把他的房子和藏书全毁了。叶卡捷琳娜二世获悉发生火灾的消息后马上补偿了全部损失，使欧拉很快又投入了工作。值得一提的是，俄国还有一位女皇伊丽莎白(她是彼得大帝的女儿)，她在位的20年间，欧拉一直生活在柏林，尽管如此，她还是照付给他院士津贴。有一年俄罗斯军队入侵柏林远郊，欧拉的农场遭到了抢劫，伊丽莎白知道后加倍赔偿了他的损失。可以说，欧拉的一生得到了俄国四位女皇的垂青。
1783年9月18日，一个晴朗的秋日下午，欧拉和家人一起吃晚饭，谈论着新近发现的天王星。那会儿，在德国中北部的布伦瑞克，一座离柏林不到两百公里的小城里，园丁的儿子高斯才6岁，却已充分显露出了数学神童的天赋。晚餐后，欧拉一边喝着茶一边和小孙女玩耍，突然间烟斗从他手中掉了下来……“欧拉停止了生命和计算”，这句出自法国哲学家兼数学家孔多塞的悼词，常常使我想起欧拉喜爱的维吉尔的诗句：“锚抛下去，飞驰的船停住了。”
欧拉涉足的研究范围十分广泛，例如毕达哥拉斯时代遗留下来的完美数和友好数问题，以他的贡献最大；再如费尔马大定理，欧拉也有出色的贡献，但最终的解答直到上个世纪末才得出；又如哥德巴赫猜想，是欧拉和哥德巴赫通信时提出来的。哥德巴赫的故乡在普鲁士的哥尼斯堡，诞生于这座城市的“七桥问题”是拓扑学的出发点，而把这个世俗问题抽象到数学高度的正是欧拉…… 尽管如此，由于欧拉既不像牛顿那样建立起一门新科学(微积分学)和完整的力学体系，也不像后来的高斯那样建立起一个数学学派(哥廷根学派)，加上他来自小国家，为人谦和，其公众知名度并不很高。但在同行眼里，他无疑是一位卓有成就的数学家，还有不少数学史家把他与阿基米德、牛顿和高斯并列为有史以来最伟大的四位数学家。这四个人拥有一个共同点，即在创建纯粹理论的同时，还把自己发明的数学工具用以解决大量天文、物理和力学等实际问题。他们不断地从实践中吸取营养，同时又不满足于解决具体问题——他们把宇宙看成一个有机的整体，力图揭示出它的内在奥秘和规律。 关于欧拉的地位，“数学王子”高斯这样说过：“对于欧拉工作的研究，将仍然是数学人能上的最好的学校，并且没有任何别的可以替代它。”
作者简介：蔡天新，浙江大学数学系教授、博士生导师，著名诗人。15岁上大学，24岁获博士学位，31岁做教授，33岁成为“东方之子”，行走过80多个国家，代表作有诗集《幽居之歌》，随笔集《数字和玫瑰》，旅记《南方的博尔赫斯》《与伊丽莎白同行》等。