论文部分内容阅读
纪志刚、郭园园、吕鵬著，《西去东来——沿丝绸之路数学知识的传播与交流》，南京：江苏人民出版社，2018年11月，415页，定价68元。
中图分类号 N092： O11
文献标识码 A
历史上不同文明之间数学知识的传播与交流是历史学、文化史、科学史等跨学科研究的重要课题，对于中外数学文化交流来说，沿丝绸之路数学知识的传播与交流，一直为学者们所关注。
吴文俊院士非常重视东西方数学交流的研究。2001年，他先后拨出100万人民币成立“数学与天文丝路基金”，并强调：“不论是东方受西方影响，还是西方受东方影响，或者互相影响，都要把事实研究清楚。” [1]该项基金旨在鼓励并支持年轻学者深入开展古代与中世纪中国与亚洲其他国家（重点是中亚各国）的数学与天文学沿丝绸之路传播与交流的研究，积极探索东方尤其是中国的数学和天文遗产在近代科学发展过程中所发挥的作用。
《西去东来——沿丝绸之路数学知识的传播与交流》（以下简称《西去东来》，图1）一书由纪志刚、郭园园和吕鹏撰写，他们分别熟悉拉丁语、阿拉伯语和梵语，在已有研究项目和出版译著的基础上，通过直接阅读原始文献，比对中国和印度、阿拉伯以及西欧各国彼此之间数学知识的异同，探讨沿丝绸之路数学知识的传播与交流，勾勒出沿丝绸之路数学知识交流与文化融合的广阔图景。
《西去东来》分为绪论、五篇主体部分、结语、附录和后记。
绪论概述了“丝绸之路”的历史起源以及中外学者围绕“丝绸之路数学知识的传播与交流”开展的研究工作，吴文俊“数学与天文丝路基金”的设立，及其资助完成的相关项目和出版的著作。第一篇阐述“中国传统数学的世界意义”，从传统数学的社会性、算法化和普世价值三个方面探讨了中国传统数学的东方特色；首次全面地介绍了“物不知数”“百鸡问题”在中国的历史演变和在印度、阿拉伯、西欧等国家的传播，同时增加西方各国对这两个问题的处理方法。第二篇介绍“印度数学及其与中算的若干比较”，详细梳理了印度古代数学的历史文化背景及其代表人物和著作，探讨了印度数系理论的历史发展；依据原始文献首次从一般问题和典型问题两个方面入手，展开印度与中国传统算法和算理的比较。第三篇论述“阿拉伯代数学的溯源与演进”，探讨了阿拉伯代数学的思想起源、方法发展和理论演化，梳理了阿拉伯数学的东方源头及其对西方数学的影响。第四篇围绕“《计算之书》中的东方数学”，着重分析了《计算之书》中与中国传统数学相近的算题与算法，从而印证了卡兹在论述《计算之书》时所提到的“……其中的多数问题都是在他的旅行中找到的，有些问题似乎最终源于中国或者印度”[2]，进一步揭示了东方数学向西方传播的历史事实。第五篇“历史的闭环：明清之际西方数学的传入与影响”，主要介绍了《几何原本》《同文算指》《欧罗巴西镜录》的翻译和编纂，指出曾经西传的一些算题和算法又随传教士的梯航东来传入中国，进而折射出东西方科学文化交流的历史曲折。
一 立足原典，弥补缺失
从沿丝绸之路进行文化传播与交流方面看，中国与印度是两个既相近又遥远的国家。说相近，是因为两国都有着相似的国情——面积广大、人口众多，而且中国曾经有相当长的一段时间以佛教为媒介与之进行思想交流。说遥远，一是从地理上讲，尽管两国国土接壤，但当中有喜马拉雅山脉阻隔，没有方便的直接交通的方式；二是从文化层面上讲，印度有着与中华文明同样高度灿烂的宗教、哲学、文艺和科学，但几乎都是用梵语书写，语言的障碍使中国人对佛教以外的印度文化知之甚少。就数学史领域来看，除钱宝琮、梁宗巨、沈康身等前辈凭借些许英文资料做过通史性介绍和初步研究之外，还没有基于原典的全面、系统的研究。若缺失印度数学史这一宽广、深刻的内容，沿丝绸之路数学知识的传播与交流的研究就是不完整的。《西去东来》的作者立足印度《吠陀》（Veda）、《竖地沙论》（）、《绳法经》（？ulbasūtra）、《阿耶波多历算书》（）、《莉拉沃蒂》（Līlāvatī）、《婆罗摩笈多修正体系》（）等原始文献，详细梳理了从公元前2世纪到公元10世纪的印度数学发展脉络；阐明了印度数系理论的发展并对记数法、数词、数字和笔算的发展做了基于原始文献的确认；首次从一般数学问题（勾股、比例算法、几何等）和典型问题两个方面入手，展开印度与中国传统算法的比较，发现在《九章算术》里有许多与印度典型算术书中相似的题目，例如坑渠谷堆、折竹适地、莲花入水等问题。通过此种方法，中印数学中存在的许多异同点首次被发现，这为今后的研究打下了坚实的基础。此外，书中还清楚地给出了印度“库塔卡”的具体解题过程，并用现代数学方法给予了完整的证明，从而完善了与中算“大衍求一术”的平行性证明，尤其是增加了用库塔卡解《孙子算经》中的“物不知数”与秦九韶《数书九章》的“积尺寻源”等问题，从而令读者更清楚地了解两种算法的特点。有关“百鸡问题”的流传和演变，《西去东来》首次将阿尔昆的七道“百鸡问题”全部引述并进行复核及验算，梳理了“百鸡问题”在不同文明中的多样表现形式。虽然斐波那契（Fibonacci，1175—1250）在《计算之书》（Liber Abaci）第13章开篇指出：阿拉伯语elchataym被翻译为“双假设法”，利用这一方法几乎所有的问题都可求得解答[3]。但除此之外，没有更多这种方法的来源信息。作者通过比较斐波那契和阿拉伯数学家萨马瓦尔（Ibn Yahya al-Maghribi al-Samaw’al，约1130—1180）《光辉代数》（al-Bahir of algebra）有关“双试错法”的论述，发现《计算之书》在公式形式、满足算法求解条件以及算法证明思路等方面都延续了12世纪早期阿拉伯数学中相关内容的特点，至此基本上补全了以往双试错法在跨文明传播过程中缺失的环节，也进一步验证了双试错法在沿“中国-阿拉伯-欧洲-中国”循环传播形成的历史闭环。 二 廓清争议，正本清源
《西去东来》重新划定了中世纪伊斯兰数学的时间范围。以往欧美学者将阿拉伯数学的截止时间定在13世纪，以便和早期欧洲文艺复兴在时间上衔接起来。作者通过对大量阿拉伯语原始文献的解读，发现13—15世纪仍然有许多优秀的数学家为代数学、方程求解和多项式理论的发展和成熟做出了巨大贡献。例如，15世纪初，阿拉伯数学家在高次方程数值解领域取得了长足进步，其代表人物是阿尔·卡西（al-Kāshī，1380—1429）。他曾用迭代算法计算出了sin1。的精确值，德国数学家毕的斯克斯（B. Pitiscus，1561—1613）在1612年出版的《三角法》才给出了类似卡西的数值解法，由此可见，虽然13—15世纪的伊斯兰世界遭到蒙古人的入侵，但是阿拉伯的数学家依然在为数学的发展不断贡献优秀的成果，因此作者将伊斯兰数学的研究截止到15世纪可谓正本清源。
此外，由于“西方中心论”的长期影响，欧美学者所著的大量的世界通史性著作中都过分强调“希腊—欧洲”这一世界数学的主要演化脉络，而且仅仅把中世纪伊斯兰数学对世界数学主流所产生的作用降格为保存了希腊数学的火种。第三篇中有关伊斯兰代数学的研究内容，都是在解读阿拉伯原始文献的基础上，对阿拉伯代数学的溯源与演进进行了全面的整理和分析。通过对奥马尔·海亚姆（Omar Khayyam， 1048—1131）和阿尔·卡西等阿拉伯著名数学家的著作进行释读，可以看出在公元9世纪初，阿拉伯代数学是在东方数学算法传统与希腊数学演绎传统的交汇融合中产生的，其最早可以追溯到花拉子米（alKhwarizmi，约780—约850）的《代数学》，该书确立了后世方程化简与方程求解这两条主要的发展脉络。经过历代阿拉伯数学家们的努力，于15世纪初，阿拉伯数学终于在多项式理论和方程求解领域取得了长足的发展。阿拉伯在代数学、几何学和三角学等领域取得的大量开创性的成就伴随着文艺复兴的进程传入欧洲，为近代数学的产生和发展奠定了基础，而且至今在众多分支领域仍具有极大的生命力。这进一步证明了中世纪的伊斯兰文明在世界文明史上起着融会中西、贯穿古今的重要作用。
中國传统数学同样在世界数学的主流中贡献了力量，但基于同样的原因，中国传统数学一直以来承受着很大的偏见。例如美国著名的数学史家M·克莱因（Morris Kline， 1908—1992）在《古今数学思想》一书中曾说：“我忽略了几种文化，例如中国的、日本的和玛雅的文化，因为他们的工作对于数学思想的主流没有影响。”[4]第四篇中通过介绍《计算之书》中的东方数学，指出斐波那契的《计算之书》中给出了两种“双假设法”，第一种利用“四项比例”算法产生，第二种称为“增损术”。通过将两种“双假设法”与《九章算术》“盈不足”章的术文进行比较，发现“增损术”就是中国的“盈不足术”。曾有学者指出“关于盈不足术是否起源中国的问题，在海内外数学史家中曾引起争议，虽然现在多数学者认为‘西方的双假设法可能是由中国传过去的’，但这个结论确实还需要从历史文献的深入研究中去进一步证实”[5]。美国数学史家卡平斯基（L. Karpinski，1878—1956）就曾指出：“1202年斐波那契的巨著中出现的许多算术问题，其东方源泉不容否认。不只是问题的类型与早期中国及印度相同，常常是所用数字也完全相同。因此东方根源是显然的。这些算题后来为意大利算术家接受，之后又为其他欧洲国家选用。沿着这一渠道，古代中国和印度的算题也传入了美国的教科书中。”[6]作者通过比较“增损术”和“盈不足术”的一致性，从算法的溯源和分析中，认为“盈不足术”是在中国古代特有的“比率”算法思想发展过程中形成的独有的机械化算法，故它不可能突然出现在其它文明之中。毫无疑问，斐波那契《计算之书》为第二种“Elchatayn算法——增损术”与中算“盈不足”术完全相同这一说法提供了“文献学”上的证据，也进一步为双试错法是沿着“中国-阿拉伯-欧洲-中国”的循环传播给出了强有力的证明，进而有力地说明了中国古代数学知识向欧洲传播的历史事实。
三 底本比对，思想探析
勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）在中国的最早记载出现在成书于约公元前1世纪的《周髀算经》中。《九章算术》“勾股”章通过对大量实际问题的描述，阐述了勾股定理的广泛应用。无独有偶，印度著作中也出现了类似的问题，例如“折竹适地”①出现在《九章算术》勾股章第13题（[7]，页709），婆什迦罗一世（Bhāskara，7世纪初）在《阿耶波多历算书注释》（āryabhatīyabhāsya，629）中也提到了几乎相同的问题①（[8]，页157）。另外，《九章算术》勾股章第6题提到的“引葭赴岸”②题（[7]，页690）也与婆什迦罗一世提到“风吹莲没”③的问题（[8]，页159）相似。两个不同文明中都出现了类似的问题，这在很大程度上说明了丝绸之路上两国之间可能存在着数学文化的传播与交流。
通览《计算之书》，可以看到其内容基本上遵循“题例-术文-练习”的行文模式，体现了以问题为主导，以算法为主线，以解决问题为主旨的“应用数学”的突出风格，这与中国以《九章算术》为代表的实用性数学风格是一样的，因此我们可以将《计算之书》看作是埃及-希腊数学与印度-中国-阿拉伯数学的综合体。此外，通过考察《计算之书》中有关algebra的问题与算法，发现其中的代数内容大量来自于杰拉德（Gerard of Cremona，约1114—1187）翻译的花拉子米的《代数学》以及凯拉吉（Al-Karaji，953—1029）的《奇妙之事》，这也证明了阿拉伯代数在欧洲代数发展过程中所发挥的重要作用。除此之外，通过对不同古代文明中产生的数学著作的比对，我们可以发现不同文明中的数学发展规律，进而重新审视各文明在多种传统融合之下所取得的数学成就，这对在全球化视角下进行数学史研究以及揭示以中国古典数学为代表的东方数学对于世界主流数学发展的影响等方面都具有重要意义。 在既往《几何原本》的研究中，微言大义之作居多，文本分析工作稀见，更未能开展译本与拉丁文底本的比对研究。《西去东来》第五篇以《几何原本》第一卷中36条“界说”为重点，从拉丁语底本原文比勘利玛窦、徐光启的译文，从术语厘定、语法解构、句意分析等方面进行初步释读，指出汉译《几何原本》基本上做到了不论是语义还是文体，译文用自然而切近的古代汉语再现了拉丁语原文的信息。同时强调《几何原本》带来的崭新的数学思维方式，引发的种种数学观念的变化，进而折射出两种异质文化交流与碰撞对中国数学思想的重要意义。
四 情景手法，首尾呼应
情景化的写作手法是本书鲜明的特点，所谓情景化，是一种拉近读者与论述内容的距离的写作策略。《西去东来》原本是一部书写数学知识的书，但是书中涉及的中国《九章算术》中的“客去忘衣”“五家共井”“商人持钱之蜀”；印度施利大剌（？rīdhara，8世纪）的《算法的数学》（）中的“百鸟问题”“水槽注水”，意大利斐波那契的《计算之书》中的“五人买马”“排水问题”，阿拉伯阿尔·卡西《算术之钥》（）中的“百禽问题”等众多算题无不充斥着浓浓的生活气息。正如M·克莱因在《西方文化中的数学》说：“在西方文明中，数学一直是一种主要的文化力量。……作为理性精神的化身，数学己经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，而且取代它们成为思想和行动的指南。”[9]这种情景化的写作手法使得原本看似枯燥的算题充满了浓郁的生活色彩，使得文字婉转耐读，令读者在了解算题、获得知识的同时还能享受到流畅的阅读体验。
开篇以张骞出使西域为起点，接着论述中国、印度、阿拉伯等数学知识向西方传播，以及彼此之间存在的交流互鉴，最后一篇为“历史的闭环”，以梯航东来的传教士们带来的《几何原本》《同文算指》和《欧罗巴西镜录》三种西学东传的经典文献为例，分析明清之际西方数学的传入和影响。两千年前沙漠中的驼队为西方带去了东方的数学传统和知识，近代之后海上的白帆又为东方输入了西方的概念和思想，历史就是这般因缘际会，从而使得东西方数学知识与数学文化的传播构成了一个“历史的闭环”。
五 余论
客观地说，本书也存在不足，存有进一步拓展的研究空间。《西去东来》第二篇有关印度和中国古代数学算法和算理的比较分析指出，两者之间存在很大的相似性，但对于具体的传播路径和方式未能给出进一步的说明，如果能进一步阐明传播路径，而不仅仅是停留在“相似性”或“平行性”的比较，那将更有助于读者了解中印之间数学文化的交流情况。
《西去东来》的主旨是阐明历史上数学“知识交流与文化融合”。然而，在中西文化交流与碰撞的过程中，必然会存在不相融合的现象，学习者或译者在接受和传播新知识的过程中必然会对新知识做一番调适以便适应本土文化的需要。在“《几何原本》与明清数学思想的嬗变”一节中，如若补充利玛窦在对“几何之理”的阐释上，采用中国的“格物穷理”说，规避西方的先验论，在“几何之用”的论述上，延续“经世致用”的传统大大拓展几何的实用范围，从而使“几何之学”易于被中国学者接受[10]，则能体现译者在会通中西文化中所采取的顺应本土文化的策略及做出的努力和尝试，进而更好地表明异质文化传播、交流与融合是一个复杂、艰难、曲折的历史过程，从而使我们对那些为传播不同文化知识，沟通不同文明付出辛劳与做出贡献的学者心怀感佩之情，也更能彰显是书的研究意义和价值。
文明因交流而多彩，知识因共享而进步。诚如吴文俊先生所言：中国古代的数学家们通过“丝绸之路”与中亚甚至欧洲的同行们进行了活跃的知识交流。今天我们有了铁路、飞机甚至信息高速公路，交往早已不再借助“丝绸之路”，然而“丝绸之路”的精神——知识交流与文化融合应当继续得到很好的发扬[11]。要践行吴文俊院士倡导的“丝路精神”，就应该扎实开展沿丝绸之路各文明数学典籍的考据性研读，积极推进中外数学知识的深入交流；我们要弘扬吴文俊院士倡导的“丝路精神”，就应该在扎实的文献研究基础上，结合社会文化背景，積极拓展中外数学文化的整体融合[12]。《西去东来》一书秉持“丝路精神”的内涵，依据对古汉语、梵语、阿拉伯语和拉丁语等古代数学原典文献的深入解读，通过对典型问题和算法的比较分析，阐明了不同文明中数学知识的特点、文化特色，深入考察了中国、印度、阿拉伯和中世纪欧洲数学知识相互交流与传播的历史进程，着力分析了东方数学在促进欧洲数学算法化和算术化过程中的重要作用，同时探讨了在西方数学的影响下，中国传统数学的内容、方法乃至思维方式发生的重大转变。这样的跨时空的双向交流史研究，具有宏阔的历史视野，是对以前中国数学史研究的突破。《西去东来》一书取得的突出成果，再次证明“就数学史而言，学习掌握有关文明的语言，直接攻读原始文献，是研究外国数学史的必由之路，也是通向突破性成果的阳关大道 ”[13]。
因此，《西去东来》无疑在东西方数学文化传播与交流研究的新征程上迈出了一大步。
参考文献
[1]郭世荣. 吴文俊与天文丝路基金[J]. 广西民族学院学报（自然科学版）， 2004， 10（4）： 6—11.
[2]维克多·卡兹. 数学史通论[M]. 李文林等译. 北京： 高等教育出版社， 2003. 243.
[3]斐波那契. 计算之书[M]. 西格尔英译， 纪志刚、汪晓勤、马丁玲、郑方磊译. 北京： 科学出版社， 2008. 536.
[4] M·克莱因. 古今数学思想（第一册）[M]. 上海： 上海科学技术出版社， 2002. 2.
[5]李继闵. 盈不足术探源[A]. 吴文俊. 《九章算术》与刘徽[C]. 北京： 北京师范大学出版社， 1982. 263.
[6] Louis C Karpinski. The History of Arithmetic[M]. New York： Russell & Russell Inc， 1965. 30.
[7]李继闵.《九章算术》导读与译注[M].西安： 陕西科学技术出版社， 1998.
[8]纪志刚，郭园园，吕鹏.西去东来—沿丝绸之路数学知识的传播与交流[M].南京：江苏人民出版社， 2018.
[9] M·克莱因. 西方文化中的数学[M]. 张祖贵译. 上海： 复旦大学出版社， 2004. VI.
[10]王宏晨， 纪志刚. “几何之理”与“几何之用”： 利玛窦“数学观”的历史探源[J]. 上海交通大学学报（哲学社会科学版）， 2015， 23（6）： 40—49.
[11]李文林主编. 丝绸之路数学名著译丛[M]. 北京： 科学出版社， 2008. iii.
[12]纪志刚. 吴文俊“丝路精神”及其对中外数学交流研究的意义[J]. 上海交通大学学报（哲学社会科学版）， 2019， 27（1）： 71—81.
[13]维克多·卡兹. 东方数学选粹： 埃及、美索不达米亚、中国、印度与伊斯兰[M]. 纪志刚等译. 上海： 上海交通大学出版社， 2016. 序4.
中图分类号 N092： O11
文献标识码 A
历史上不同文明之间数学知识的传播与交流是历史学、文化史、科学史等跨学科研究的重要课题，对于中外数学文化交流来说，沿丝绸之路数学知识的传播与交流，一直为学者们所关注。
吴文俊院士非常重视东西方数学交流的研究。2001年，他先后拨出100万人民币成立“数学与天文丝路基金”，并强调：“不论是东方受西方影响，还是西方受东方影响，或者互相影响，都要把事实研究清楚。” [1]该项基金旨在鼓励并支持年轻学者深入开展古代与中世纪中国与亚洲其他国家（重点是中亚各国）的数学与天文学沿丝绸之路传播与交流的研究，积极探索东方尤其是中国的数学和天文遗产在近代科学发展过程中所发挥的作用。
《西去东来——沿丝绸之路数学知识的传播与交流》（以下简称《西去东来》，图1）一书由纪志刚、郭园园和吕鹏撰写，他们分别熟悉拉丁语、阿拉伯语和梵语，在已有研究项目和出版译著的基础上，通过直接阅读原始文献，比对中国和印度、阿拉伯以及西欧各国彼此之间数学知识的异同，探讨沿丝绸之路数学知识的传播与交流，勾勒出沿丝绸之路数学知识交流与文化融合的广阔图景。
《西去东来》分为绪论、五篇主体部分、结语、附录和后记。
绪论概述了“丝绸之路”的历史起源以及中外学者围绕“丝绸之路数学知识的传播与交流”开展的研究工作，吴文俊“数学与天文丝路基金”的设立，及其资助完成的相关项目和出版的著作。第一篇阐述“中国传统数学的世界意义”，从传统数学的社会性、算法化和普世价值三个方面探讨了中国传统数学的东方特色；首次全面地介绍了“物不知数”“百鸡问题”在中国的历史演变和在印度、阿拉伯、西欧等国家的传播，同时增加西方各国对这两个问题的处理方法。第二篇介绍“印度数学及其与中算的若干比较”，详细梳理了印度古代数学的历史文化背景及其代表人物和著作，探讨了印度数系理论的历史发展；依据原始文献首次从一般问题和典型问题两个方面入手，展开印度与中国传统算法和算理的比较。第三篇论述“阿拉伯代数学的溯源与演进”，探讨了阿拉伯代数学的思想起源、方法发展和理论演化，梳理了阿拉伯数学的东方源头及其对西方数学的影响。第四篇围绕“《计算之书》中的东方数学”，着重分析了《计算之书》中与中国传统数学相近的算题与算法，从而印证了卡兹在论述《计算之书》时所提到的“……其中的多数问题都是在他的旅行中找到的，有些问题似乎最终源于中国或者印度”[2]，进一步揭示了东方数学向西方传播的历史事实。第五篇“历史的闭环：明清之际西方数学的传入与影响”，主要介绍了《几何原本》《同文算指》《欧罗巴西镜录》的翻译和编纂，指出曾经西传的一些算题和算法又随传教士的梯航东来传入中国，进而折射出东西方科学文化交流的历史曲折。
一 立足原典，弥补缺失
从沿丝绸之路进行文化传播与交流方面看，中国与印度是两个既相近又遥远的国家。说相近，是因为两国都有着相似的国情——面积广大、人口众多，而且中国曾经有相当长的一段时间以佛教为媒介与之进行思想交流。说遥远，一是从地理上讲，尽管两国国土接壤，但当中有喜马拉雅山脉阻隔，没有方便的直接交通的方式；二是从文化层面上讲，印度有着与中华文明同样高度灿烂的宗教、哲学、文艺和科学，但几乎都是用梵语书写，语言的障碍使中国人对佛教以外的印度文化知之甚少。就数学史领域来看，除钱宝琮、梁宗巨、沈康身等前辈凭借些许英文资料做过通史性介绍和初步研究之外，还没有基于原典的全面、系统的研究。若缺失印度数学史这一宽广、深刻的内容，沿丝绸之路数学知识的传播与交流的研究就是不完整的。《西去东来》的作者立足印度《吠陀》（Veda）、《竖地沙论》（）、《绳法经》（？ulbasūtra）、《阿耶波多历算书》（）、《莉拉沃蒂》（Līlāvatī）、《婆罗摩笈多修正体系》（）等原始文献，详细梳理了从公元前2世纪到公元10世纪的印度数学发展脉络；阐明了印度数系理论的发展并对记数法、数词、数字和笔算的发展做了基于原始文献的确认；首次从一般数学问题（勾股、比例算法、几何等）和典型问题两个方面入手，展开印度与中国传统算法的比较，发现在《九章算术》里有许多与印度典型算术书中相似的题目，例如坑渠谷堆、折竹适地、莲花入水等问题。通过此种方法，中印数学中存在的许多异同点首次被发现，这为今后的研究打下了坚实的基础。此外，书中还清楚地给出了印度“库塔卡”的具体解题过程，并用现代数学方法给予了完整的证明，从而完善了与中算“大衍求一术”的平行性证明，尤其是增加了用库塔卡解《孙子算经》中的“物不知数”与秦九韶《数书九章》的“积尺寻源”等问题，从而令读者更清楚地了解两种算法的特点。有关“百鸡问题”的流传和演变，《西去东来》首次将阿尔昆的七道“百鸡问题”全部引述并进行复核及验算，梳理了“百鸡问题”在不同文明中的多样表现形式。虽然斐波那契（Fibonacci，1175—1250）在《计算之书》（Liber Abaci）第13章开篇指出：阿拉伯语elchataym被翻译为“双假设法”，利用这一方法几乎所有的问题都可求得解答[3]。但除此之外，没有更多这种方法的来源信息。作者通过比较斐波那契和阿拉伯数学家萨马瓦尔（Ibn Yahya al-Maghribi al-Samaw’al，约1130—1180）《光辉代数》（al-Bahir of algebra）有关“双试错法”的论述，发现《计算之书》在公式形式、满足算法求解条件以及算法证明思路等方面都延续了12世纪早期阿拉伯数学中相关内容的特点，至此基本上补全了以往双试错法在跨文明传播过程中缺失的环节，也进一步验证了双试错法在沿“中国-阿拉伯-欧洲-中国”循环传播形成的历史闭环。 二 廓清争议，正本清源
《西去东来》重新划定了中世纪伊斯兰数学的时间范围。以往欧美学者将阿拉伯数学的截止时间定在13世纪，以便和早期欧洲文艺复兴在时间上衔接起来。作者通过对大量阿拉伯语原始文献的解读，发现13—15世纪仍然有许多优秀的数学家为代数学、方程求解和多项式理论的发展和成熟做出了巨大贡献。例如，15世纪初，阿拉伯数学家在高次方程数值解领域取得了长足进步，其代表人物是阿尔·卡西（al-Kāshī，1380—1429）。他曾用迭代算法计算出了sin1。的精确值，德国数学家毕的斯克斯（B. Pitiscus，1561—1613）在1612年出版的《三角法》才给出了类似卡西的数值解法，由此可见，虽然13—15世纪的伊斯兰世界遭到蒙古人的入侵，但是阿拉伯的数学家依然在为数学的发展不断贡献优秀的成果，因此作者将伊斯兰数学的研究截止到15世纪可谓正本清源。
此外，由于“西方中心论”的长期影响，欧美学者所著的大量的世界通史性著作中都过分强调“希腊—欧洲”这一世界数学的主要演化脉络，而且仅仅把中世纪伊斯兰数学对世界数学主流所产生的作用降格为保存了希腊数学的火种。第三篇中有关伊斯兰代数学的研究内容，都是在解读阿拉伯原始文献的基础上，对阿拉伯代数学的溯源与演进进行了全面的整理和分析。通过对奥马尔·海亚姆（Omar Khayyam， 1048—1131）和阿尔·卡西等阿拉伯著名数学家的著作进行释读，可以看出在公元9世纪初，阿拉伯代数学是在东方数学算法传统与希腊数学演绎传统的交汇融合中产生的，其最早可以追溯到花拉子米（alKhwarizmi，约780—约850）的《代数学》，该书确立了后世方程化简与方程求解这两条主要的发展脉络。经过历代阿拉伯数学家们的努力，于15世纪初，阿拉伯数学终于在多项式理论和方程求解领域取得了长足的发展。阿拉伯在代数学、几何学和三角学等领域取得的大量开创性的成就伴随着文艺复兴的进程传入欧洲，为近代数学的产生和发展奠定了基础，而且至今在众多分支领域仍具有极大的生命力。这进一步证明了中世纪的伊斯兰文明在世界文明史上起着融会中西、贯穿古今的重要作用。
中國传统数学同样在世界数学的主流中贡献了力量，但基于同样的原因，中国传统数学一直以来承受着很大的偏见。例如美国著名的数学史家M·克莱因（Morris Kline， 1908—1992）在《古今数学思想》一书中曾说：“我忽略了几种文化，例如中国的、日本的和玛雅的文化，因为他们的工作对于数学思想的主流没有影响。”[4]第四篇中通过介绍《计算之书》中的东方数学，指出斐波那契的《计算之书》中给出了两种“双假设法”，第一种利用“四项比例”算法产生，第二种称为“增损术”。通过将两种“双假设法”与《九章算术》“盈不足”章的术文进行比较，发现“增损术”就是中国的“盈不足术”。曾有学者指出“关于盈不足术是否起源中国的问题，在海内外数学史家中曾引起争议，虽然现在多数学者认为‘西方的双假设法可能是由中国传过去的’，但这个结论确实还需要从历史文献的深入研究中去进一步证实”[5]。美国数学史家卡平斯基（L. Karpinski，1878—1956）就曾指出：“1202年斐波那契的巨著中出现的许多算术问题，其东方源泉不容否认。不只是问题的类型与早期中国及印度相同，常常是所用数字也完全相同。因此东方根源是显然的。这些算题后来为意大利算术家接受，之后又为其他欧洲国家选用。沿着这一渠道，古代中国和印度的算题也传入了美国的教科书中。”[6]作者通过比较“增损术”和“盈不足术”的一致性，从算法的溯源和分析中，认为“盈不足术”是在中国古代特有的“比率”算法思想发展过程中形成的独有的机械化算法，故它不可能突然出现在其它文明之中。毫无疑问，斐波那契《计算之书》为第二种“Elchatayn算法——增损术”与中算“盈不足”术完全相同这一说法提供了“文献学”上的证据，也进一步为双试错法是沿着“中国-阿拉伯-欧洲-中国”的循环传播给出了强有力的证明，进而有力地说明了中国古代数学知识向欧洲传播的历史事实。
三 底本比对，思想探析
勾股定理（西方称之为“毕达哥拉斯定理”）在中国的最早记载出现在成书于约公元前1世纪的《周髀算经》中。《九章算术》“勾股”章通过对大量实际问题的描述，阐述了勾股定理的广泛应用。无独有偶，印度著作中也出现了类似的问题，例如“折竹适地”①出现在《九章算术》勾股章第13题（[7]，页709），婆什迦罗一世（Bhāskara，7世纪初）在《阿耶波多历算书注释》（āryabhatīyabhāsya，629）中也提到了几乎相同的问题①（[8]，页157）。另外，《九章算术》勾股章第6题提到的“引葭赴岸”②题（[7]，页690）也与婆什迦罗一世提到“风吹莲没”③的问题（[8]，页159）相似。两个不同文明中都出现了类似的问题，这在很大程度上说明了丝绸之路上两国之间可能存在着数学文化的传播与交流。
通览《计算之书》，可以看到其内容基本上遵循“题例-术文-练习”的行文模式，体现了以问题为主导，以算法为主线，以解决问题为主旨的“应用数学”的突出风格，这与中国以《九章算术》为代表的实用性数学风格是一样的，因此我们可以将《计算之书》看作是埃及-希腊数学与印度-中国-阿拉伯数学的综合体。此外，通过考察《计算之书》中有关algebra的问题与算法，发现其中的代数内容大量来自于杰拉德（Gerard of Cremona，约1114—1187）翻译的花拉子米的《代数学》以及凯拉吉（Al-Karaji，953—1029）的《奇妙之事》，这也证明了阿拉伯代数在欧洲代数发展过程中所发挥的重要作用。除此之外，通过对不同古代文明中产生的数学著作的比对，我们可以发现不同文明中的数学发展规律，进而重新审视各文明在多种传统融合之下所取得的数学成就，这对在全球化视角下进行数学史研究以及揭示以中国古典数学为代表的东方数学对于世界主流数学发展的影响等方面都具有重要意义。 在既往《几何原本》的研究中，微言大义之作居多，文本分析工作稀见，更未能开展译本与拉丁文底本的比对研究。《西去东来》第五篇以《几何原本》第一卷中36条“界说”为重点，从拉丁语底本原文比勘利玛窦、徐光启的译文，从术语厘定、语法解构、句意分析等方面进行初步释读，指出汉译《几何原本》基本上做到了不论是语义还是文体，译文用自然而切近的古代汉语再现了拉丁语原文的信息。同时强调《几何原本》带来的崭新的数学思维方式，引发的种种数学观念的变化，进而折射出两种异质文化交流与碰撞对中国数学思想的重要意义。
四 情景手法，首尾呼应
情景化的写作手法是本书鲜明的特点，所谓情景化，是一种拉近读者与论述内容的距离的写作策略。《西去东来》原本是一部书写数学知识的书，但是书中涉及的中国《九章算术》中的“客去忘衣”“五家共井”“商人持钱之蜀”；印度施利大剌（？rīdhara，8世纪）的《算法的数学》（）中的“百鸟问题”“水槽注水”，意大利斐波那契的《计算之书》中的“五人买马”“排水问题”，阿拉伯阿尔·卡西《算术之钥》（）中的“百禽问题”等众多算题无不充斥着浓浓的生活气息。正如M·克莱因在《西方文化中的数学》说：“在西方文明中，数学一直是一种主要的文化力量。……作为理性精神的化身，数学己经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，而且取代它们成为思想和行动的指南。”[9]这种情景化的写作手法使得原本看似枯燥的算题充满了浓郁的生活色彩，使得文字婉转耐读，令读者在了解算题、获得知识的同时还能享受到流畅的阅读体验。
开篇以张骞出使西域为起点，接着论述中国、印度、阿拉伯等数学知识向西方传播，以及彼此之间存在的交流互鉴，最后一篇为“历史的闭环”，以梯航东来的传教士们带来的《几何原本》《同文算指》和《欧罗巴西镜录》三种西学东传的经典文献为例，分析明清之际西方数学的传入和影响。两千年前沙漠中的驼队为西方带去了东方的数学传统和知识，近代之后海上的白帆又为东方输入了西方的概念和思想，历史就是这般因缘际会，从而使得东西方数学知识与数学文化的传播构成了一个“历史的闭环”。
五 余论
客观地说，本书也存在不足，存有进一步拓展的研究空间。《西去东来》第二篇有关印度和中国古代数学算法和算理的比较分析指出，两者之间存在很大的相似性，但对于具体的传播路径和方式未能给出进一步的说明，如果能进一步阐明传播路径，而不仅仅是停留在“相似性”或“平行性”的比较，那将更有助于读者了解中印之间数学文化的交流情况。
《西去东来》的主旨是阐明历史上数学“知识交流与文化融合”。然而，在中西文化交流与碰撞的过程中，必然会存在不相融合的现象，学习者或译者在接受和传播新知识的过程中必然会对新知识做一番调适以便适应本土文化的需要。在“《几何原本》与明清数学思想的嬗变”一节中，如若补充利玛窦在对“几何之理”的阐释上，采用中国的“格物穷理”说，规避西方的先验论，在“几何之用”的论述上，延续“经世致用”的传统大大拓展几何的实用范围，从而使“几何之学”易于被中国学者接受[10]，则能体现译者在会通中西文化中所采取的顺应本土文化的策略及做出的努力和尝试，进而更好地表明异质文化传播、交流与融合是一个复杂、艰难、曲折的历史过程，从而使我们对那些为传播不同文化知识，沟通不同文明付出辛劳与做出贡献的学者心怀感佩之情，也更能彰显是书的研究意义和价值。
文明因交流而多彩，知识因共享而进步。诚如吴文俊先生所言：中国古代的数学家们通过“丝绸之路”与中亚甚至欧洲的同行们进行了活跃的知识交流。今天我们有了铁路、飞机甚至信息高速公路，交往早已不再借助“丝绸之路”，然而“丝绸之路”的精神——知识交流与文化融合应当继续得到很好的发扬[11]。要践行吴文俊院士倡导的“丝路精神”，就应该扎实开展沿丝绸之路各文明数学典籍的考据性研读，积极推进中外数学知识的深入交流；我们要弘扬吴文俊院士倡导的“丝路精神”，就应该在扎实的文献研究基础上，结合社会文化背景，積极拓展中外数学文化的整体融合[12]。《西去东来》一书秉持“丝路精神”的内涵，依据对古汉语、梵语、阿拉伯语和拉丁语等古代数学原典文献的深入解读，通过对典型问题和算法的比较分析，阐明了不同文明中数学知识的特点、文化特色，深入考察了中国、印度、阿拉伯和中世纪欧洲数学知识相互交流与传播的历史进程，着力分析了东方数学在促进欧洲数学算法化和算术化过程中的重要作用，同时探讨了在西方数学的影响下，中国传统数学的内容、方法乃至思维方式发生的重大转变。这样的跨时空的双向交流史研究，具有宏阔的历史视野，是对以前中国数学史研究的突破。《西去东来》一书取得的突出成果，再次证明“就数学史而言，学习掌握有关文明的语言，直接攻读原始文献，是研究外国数学史的必由之路，也是通向突破性成果的阳关大道 ”[13]。
因此，《西去东来》无疑在东西方数学文化传播与交流研究的新征程上迈出了一大步。
参考文献
[1]郭世荣. 吴文俊与天文丝路基金[J]. 广西民族学院学报（自然科学版）， 2004， 10（4）： 6—11.
[2]维克多·卡兹. 数学史通论[M]. 李文林等译. 北京： 高等教育出版社， 2003. 243.
[3]斐波那契. 计算之书[M]. 西格尔英译， 纪志刚、汪晓勤、马丁玲、郑方磊译. 北京： 科学出版社， 2008. 536.
[4] M·克莱因. 古今数学思想（第一册）[M]. 上海： 上海科学技术出版社， 2002. 2.
[5]李继闵. 盈不足术探源[A]. 吴文俊. 《九章算术》与刘徽[C]. 北京： 北京师范大学出版社， 1982. 263.
[6] Louis C Karpinski. The History of Arithmetic[M]. New York： Russell & Russell Inc， 1965. 30.
[7]李继闵.《九章算术》导读与译注[M].西安： 陕西科学技术出版社， 1998.
[8]纪志刚，郭园园，吕鹏.西去东来—沿丝绸之路数学知识的传播与交流[M].南京：江苏人民出版社， 2018.
[9] M·克莱因. 西方文化中的数学[M]. 张祖贵译. 上海： 复旦大学出版社， 2004. VI.
[10]王宏晨， 纪志刚. “几何之理”与“几何之用”： 利玛窦“数学观”的历史探源[J]. 上海交通大学学报（哲学社会科学版）， 2015， 23（6）： 40—49.
[11]李文林主编. 丝绸之路数学名著译丛[M]. 北京： 科学出版社， 2008. iii.
[12]纪志刚. 吴文俊“丝路精神”及其对中外数学交流研究的意义[J]. 上海交通大学学报（哲学社会科学版）， 2019， 27（1）： 71—81.
[13]维克多·卡兹. 东方数学选粹： 埃及、美索不达米亚、中国、印度与伊斯兰[M]. 纪志刚等译. 上海： 上海交通大学出版社， 2016. 序4.