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摘要：随着时代的发展，特别是数学的广泛应用、计算机技术和现代信息技术的发展，数学课程设置和教学实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，形成符合时代要求的新的“双基”。函数思想是中学数学教学中一种重要的思想，《标准》要求学生把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法。
关键词：函数思想;应用;教学实施
中图分类号：G634.6 文献标识码：A 文章編号：1672-1578（2019）06-0271-01
1.问题提出及研究的目的意义
中学函数教学特别是高中函数教学的难点在于函数概念，重点在于应用，关键在于符号语言的掌握。那么如何让学生建构函数的知识技能，思想方法，如何建构函数模型，用模型去分析和解决实际问题，提高函数知识的应用水平。如何把函数的“学术形态”转化为函数的“教育形态”，郑毓信先生指出：“数学是一种模式的构建活动，而且模式本身就是数学的研究对策”“数学教师的任务在于返璞归真，把数学的形式化逻辑链条，恢复为当初数学家发明创新时火热的思考，只有通过思考才能最后理解这份冰冷的美丽。”
让学生通过探索交流合作，挖掘出函数教学中的美学价值。如哪些方面体现数学的对称美、和谐美、简约美和奇异美？在教学中，教师应在课堂上揭示函数知识、函数思想的种种应用价值，让学生充分得到函数美的享受。提高学生对函数知识的学习兴趣和运用函数知识解决问题的能力，这将是本研究所要做的工作和研究的意义之所在。
2.函数概念的“变量说，，和“对应说”
2.1 “变量说”认为函数是现实世界中变量之间的依赖关系
函数是一些量依赖于另一些量，也就是说一些量的值随着另一些量的值变化而变化的客观事实的抽象概括。
定义：设x与y是两个变量，如果当变量x在实数的某一范围中变化时，变量y按照一定的规律随x的变化而变化，我们称x为自变量，y为因变量，变量y称为变量x的函数，记为y=f（x）。
2.2 “对应说”的三种定义
（1）“对应说”中用变量形式描述的“传统定义”
如果在某变化过程中有两个变量x与y，并且对于x在某个变化范围内的每一个值，按照某个对应规则f，都有唯一确定的y值和它对应，那么f就是x的函数，，称为自变量，x的取值范围称为函数的定义域，和的值对应y的值称为函数值，函数值的全体称为函数的值域。
（2）“对应说”中用映射观点阐述的“近代定义”
函数就是集合A到集合B的映射，其中集合A，B都是非空的数集，对于自变量x在定义域A中的任何一个值，在集合B中都有唯一确定的函数值y与之对应;自变量的值相当于原象，和它对应的函数值相当于象;函数值的集合c就是函数的值。显然，CB即函数是数集之间的映射，是集合之间的一种关系。
（3）“对应说”用集合来描述的“现代定义”
定义在集合A上取值于集合B中的函数f是笛卡儿积A×B的子集，即fA×B，且对每一个x∈A，都有唯一确定的y∈B，使得（x，y）∈f。
定义域、值域、对应法则是函数的三要素。确定一个函数，只需两个要素：定义域与对应法则。正确理解他们之间的关系，是解决有关函数问题的关键。但在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。
3.函数思想在中学数学中的应用
3.1 函数思想在方程中的应用
函数与方程是两个密切相关的数学概念，它们之间相互渗透从而形成函数与方程的思想。函数与方程思想在近几年的高考中都得到了充分体现，因此函数与方程思想的应用是尤为重要的。课标标准还指出让学生初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系。
函数y=f（x）可以看作方程f（x）-y=0，而方程f（xy）=0当取非空集合A中任意一个x0，都有唯一确定的y0，使得x=x0，y=y0，为方程f（xy）=0的解则此方程f（xy）=0可以确定y关于x的函数。因此，许多函数问题、方程问题可以利用上述关系解决。高中数学中的方程都可以表示为或f（x）=g（x）的形式，其中f（x）和g（x）都是x的函数，方程f（x）=0的根的几何意义是函y=f（x）的图象上的零点（与x轴交点的横坐标）;方程f（x）=g（x）的根的几何意义是两个函数y=f（x）和y=g（x）的图象交点的横坐标。
3.2 函数f（x）=0思想在数列中的应用
什么是数列？数列就是按一定次序排列的一列数，如果从函数的观点来看数列，数列就是定义域为正整数集的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。用函数的观点看通项公式，即通项公式an=f（n）。对于等差数列，我们也可用函数思想来理解，对于等差数列的通项公式an=a1+（a-1）d，当d≠0时，是n的一次函数，它在直角坐标系中的对应点是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，从函数观点看，当d>0（<0）时，a。是n的增（减）函数，因此公差为正（负）的等差数列是增（减）数列，当d=O时，an=a1是常数列，对于等差数列的前n项和公式sn是n的二次函数，可以用二次函数的知识研究的最值问题，同时容易得到数列{an}是一个等差数列的充要条件是sn=an2+bn（a，b∈R）。同样，用类比的方法也可以挖掘出等比数列中蕴含的函数思想，这样对于我们指导学生学习数列知识将会达到事半功倍的效果。
4.教学中应注意的问题
函数教学要善于阶段性的总结，这样有利于树立函数观点，提高利用函数意识。为此在教学中要进行及时评点与总结，达到提高解题能力，深化思维过程，培养思维深刻性的目的。顺利解答函数问题的基础是掌握函数知识，复习时要注意不断深化函数知识，新知识应及时纳入已有的知识体系，特别要注意数学知识之间的关系和联系，逐步形成和扩充知识结构系统，使学生能在大脑记忆系统中建构“数学认知结构”，学生在解题时就能寻找最佳解题途径，优化解题过程。
应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题。例如，利用计算器、计算机画出指数函数、对数函数等的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等。
实践证明，函数观点和函数意识孕育在平时的潜移默化的教学中，来自教师指导下的灵活扎实的思维训练和解题实践。在这个过程中，教师不仅要结合教学内容给学生系统介绍各种思想方法，而且要对凡是能水到渠成的，能为学生所接受的好思想和好方法应不失时机地给学生介绍和示范，及时总结提炼。只有这样经常有意识地进行类似的训练，才能加强学生的函数意识，优化学生的思维品质，真正实现综合能力和素质的提高。
参考文献：
[1]沈桂兰.巧用函数思想，妙解数学问题[J].启迪与智慧（教育），2016（10）.
[2]吴学文.关于中学数学“函数”板块教学策略探究[J].学苑教育，2019（01）.
关键词：函数思想;应用;教学实施
中图分类号：G634.6 文献标识码：A 文章編号：1672-1578（2019）06-0271-01
1.问题提出及研究的目的意义
中学函数教学特别是高中函数教学的难点在于函数概念，重点在于应用，关键在于符号语言的掌握。那么如何让学生建构函数的知识技能，思想方法，如何建构函数模型，用模型去分析和解决实际问题，提高函数知识的应用水平。如何把函数的“学术形态”转化为函数的“教育形态”，郑毓信先生指出：“数学是一种模式的构建活动，而且模式本身就是数学的研究对策”“数学教师的任务在于返璞归真，把数学的形式化逻辑链条，恢复为当初数学家发明创新时火热的思考，只有通过思考才能最后理解这份冰冷的美丽。”
让学生通过探索交流合作，挖掘出函数教学中的美学价值。如哪些方面体现数学的对称美、和谐美、简约美和奇异美？在教学中，教师应在课堂上揭示函数知识、函数思想的种种应用价值，让学生充分得到函数美的享受。提高学生对函数知识的学习兴趣和运用函数知识解决问题的能力，这将是本研究所要做的工作和研究的意义之所在。
2.函数概念的“变量说，，和“对应说”
2.1 “变量说”认为函数是现实世界中变量之间的依赖关系
函数是一些量依赖于另一些量，也就是说一些量的值随着另一些量的值变化而变化的客观事实的抽象概括。
定义：设x与y是两个变量，如果当变量x在实数的某一范围中变化时，变量y按照一定的规律随x的变化而变化，我们称x为自变量，y为因变量，变量y称为变量x的函数，记为y=f（x）。
2.2 “对应说”的三种定义
（1）“对应说”中用变量形式描述的“传统定义”
如果在某变化过程中有两个变量x与y，并且对于x在某个变化范围内的每一个值，按照某个对应规则f，都有唯一确定的y值和它对应，那么f就是x的函数，，称为自变量，x的取值范围称为函数的定义域，和的值对应y的值称为函数值，函数值的全体称为函数的值域。
（2）“对应说”中用映射观点阐述的“近代定义”
函数就是集合A到集合B的映射，其中集合A，B都是非空的数集，对于自变量x在定义域A中的任何一个值，在集合B中都有唯一确定的函数值y与之对应;自变量的值相当于原象，和它对应的函数值相当于象;函数值的集合c就是函数的值。显然，CB即函数是数集之间的映射，是集合之间的一种关系。
（3）“对应说”用集合来描述的“现代定义”
定义在集合A上取值于集合B中的函数f是笛卡儿积A×B的子集，即fA×B，且对每一个x∈A，都有唯一确定的y∈B，使得（x，y）∈f。
定义域、值域、对应法则是函数的三要素。确定一个函数，只需两个要素：定义域与对应法则。正确理解他们之间的关系，是解决有关函数问题的关键。但在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。
3.函数思想在中学数学中的应用
3.1 函数思想在方程中的应用
函数与方程是两个密切相关的数学概念，它们之间相互渗透从而形成函数与方程的思想。函数与方程思想在近几年的高考中都得到了充分体现，因此函数与方程思想的应用是尤为重要的。课标标准还指出让学生初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题，利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系。
函数y=f（x）可以看作方程f（x）-y=0，而方程f（xy）=0当取非空集合A中任意一个x0，都有唯一确定的y0，使得x=x0，y=y0，为方程f（xy）=0的解则此方程f（xy）=0可以确定y关于x的函数。因此，许多函数问题、方程问题可以利用上述关系解决。高中数学中的方程都可以表示为或f（x）=g（x）的形式，其中f（x）和g（x）都是x的函数，方程f（x）=0的根的几何意义是函y=f（x）的图象上的零点（与x轴交点的横坐标）;方程f（x）=g（x）的根的几何意义是两个函数y=f（x）和y=g（x）的图象交点的横坐标。
3.2 函数f（x）=0思想在数列中的应用
什么是数列？数列就是按一定次序排列的一列数，如果从函数的观点来看数列，数列就是定义域为正整数集的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。用函数的观点看通项公式，即通项公式an=f（n）。对于等差数列，我们也可用函数思想来理解，对于等差数列的通项公式an=a1+（a-1）d，当d≠0时，是n的一次函数，它在直角坐标系中的对应点是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，从函数观点看，当d>0（<0）时，a。是n的增（减）函数，因此公差为正（负）的等差数列是增（减）数列，当d=O时，an=a1是常数列，对于等差数列的前n项和公式sn是n的二次函数，可以用二次函数的知识研究的最值问题，同时容易得到数列{an}是一个等差数列的充要条件是sn=an2+bn（a，b∈R）。同样，用类比的方法也可以挖掘出等比数列中蕴含的函数思想，这样对于我们指导学生学习数列知识将会达到事半功倍的效果。
4.教学中应注意的问题
函数教学要善于阶段性的总结，这样有利于树立函数观点，提高利用函数意识。为此在教学中要进行及时评点与总结，达到提高解题能力，深化思维过程，培养思维深刻性的目的。顺利解答函数问题的基础是掌握函数知识，复习时要注意不断深化函数知识，新知识应及时纳入已有的知识体系，特别要注意数学知识之间的关系和联系，逐步形成和扩充知识结构系统，使学生能在大脑记忆系统中建构“数学认知结构”，学生在解题时就能寻找最佳解题途径，优化解题过程。
应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题。例如，利用计算器、计算机画出指数函数、对数函数等的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等。
实践证明，函数观点和函数意识孕育在平时的潜移默化的教学中，来自教师指导下的灵活扎实的思维训练和解题实践。在这个过程中，教师不仅要结合教学内容给学生系统介绍各种思想方法，而且要对凡是能水到渠成的，能为学生所接受的好思想和好方法应不失时机地给学生介绍和示范，及时总结提炼。只有这样经常有意识地进行类似的训练，才能加强学生的函数意识，优化学生的思维品质，真正实现综合能力和素质的提高。
参考文献：
[1]沈桂兰.巧用函数思想，妙解数学问题[J].启迪与智慧（教育），2016（10）.
[2]吴学文.关于中学数学“函数”板块教学策略探究[J].学苑教育，2019（01）.