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热点一 结合向量考查三角函数的图象和性质问题
三角函数性质的考查，不仅考查函数的有关概念，还考查三角变换技巧，包括三角函数的奇偶性、对称性、单调性与函数图象的交点坐标及图象变换等问题. 解此类问题一定要注意三角函数的周期在解题中的决定作用.
例1 已知向量[a=（cosωx-sinωx，sinωx）]，[b=（-cosωx-sinωx，23cosωx）]，设函数[f（x）=a?b][+λ][（x∈R）]的图象关于直线[x=π]对称，其中[ω，λ]为常数，且[ω∈（12，1）].
（1）求函数[f（x）]的最小正周期；
（2）若[y=f（x）]的图象经过点[（π4，0）]，求函数[f（x）]在区间[[0，3π5]]上的取值范围.
解析 （1）[∵][f（x）=sin2ωx-cos2ωx+23sinωx?]
[cosωx+λ]
[=-cos2ωx+3sin2ωx+λ]
[=2sin（2ωx-π6）+λ].
由[x=π]是[y=f（x）]图象的一条对称轴可得，
[sin（2ωπ-π6）=±1]，
[∴][2ωπ-π6=kπ+π2（k∈Z）]，
即[ω=k2+13（k∈Z）].又[ω∈（12，1）]，[k∈Z]，
[∴][k=1]，[ω=56].
[∴][f（x）]的最小正周期是[6π5].
（2）由[y=f（x）]的图象过点[（π4，0）]得，[f（π4）=0]，
即[λ=-2sin（56×π2-π6）=-2sinπ4=-2]，
[∴λ=-2].
故[f（x）=2sin（53x-π6）-2]，由[0x3π5]，
有[-π653x-π65π6]，
[∴][-12sin（53x-π6）1]，
即[-1-22sin（53x-π6）-22-2].
故[f（x）]在[[0，3π5]]上的取值范围为[[-1-2，2-2]].
点拨 本题是三角函数和平面向量的综合题，考查了向量的数量积，三角函数的最小正周期，三角恒等变形；考查了转化与划归、运算求解的能力.其中二倍角公式、辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛，它们在三角恒等变形中占有重要的地位，可谓是百考不厌. 求三角函数的值域，一般先根据自变量[x]的范围确定函数[ωx+φ]的范围.
例2 函 数[f（x）=6cos2ωx2+3cosωx-3（ω>0）]在一个周期内的图象如图所示，[A]为图象的最高点，[B]，[C]为图象与[x]轴的交点，且[△ABC]为正三角形.
（1）求[ω]的值及函数[f（x）]的值域；
（2）若[f（x0）=835]，且[x0∈（-103，23）]，求[f（x0+1）]的值.
解析 （1）由已知可得，
[f（x）=6cos2ωx2+3cosωx-3（ω>0）]
[=3cosωx+3sinωx]=[23sin（ωx+π3）.]
又由于正[△ABC]的高为[23]，则[BC=4.]
所以，函数[f（x）]的周期[T=4×2=8]，即[2πω=8]，得[ω=π4].
所以，函数[f（x）]的值域为[[-23，23]].
（2）因为[f（x0）=835，]由（1）有，
[f（x0）=23sin（πx04+π3）=835，]
即[sin（πx04+π3）=45.]
由[x0∈（-103，23）得，][（πx04+π3）∈（-π2，π2）.]
所以，即[cos（πx04+π3）=1-（45）2=35.]
故[f（x0+1）=23sin（πx04+π4+π3）]
[=23sin[（πx04+π3）+π4]]
[=23[sin（πx04+π3）cosπ4+cos（πx04+π3）sinπ4]]
[=23（45×22+35×22）=765.]
点拨 本题主要考查三角函数的图象与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力以及数形结合思想、化归与转化思想.
热点二 利用三角函数公式进行三角函数的变形和求值
三角函数求值问题，必须明确求值的目标.一般来说，题设中给出的是一个或几个特定角或是某种或几种参变量关系，解题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌盲目地运用三角公式.
例3 已知函数[f（x）=Acosx4+π6]，[x∈R]，且[fπ3=2].
（1）求[A]的值；
（2）设[α，β∈0，π2]，[f4α+43π=-3017]，[f4β-23π=85]，求[cos（α+β）]值.
解析 （1）[fπ3=Acosπ12+π6]
[=Acosπ4=22A=2]，解得[A=2].
（2）[∵f4α+43π=2cosα+π3+π6]
[=2cosα+π2=-2sinα=-3017]，
[∴sinα=1517]，
[∵f4β-23π=2cosβ-π6+π6=2cosβ=85]，
[∴cosβ=45].
[∵][α，β∈0，π2]，
[∴cosα=1-sin2α=817，][sinβ=1-cos2α=35.]
[∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ]
[=817×45-1517×35=-1385.]
点拨 本题考查同角三角函数间的基本关系、两角和的余弦公式等. 要求我们会进行简单的恒等变换，熟练掌握三角公式，而灵活变换是解决这类问题的关键.
热点三 利用正弦定理或余弦定理解三角形
例4 设△[ABC]的内角[A，B，C]所对边的长分别为[a，b，c]，且有[2sinBcosA=sinAcosC+][cosAsinC].
（1）求角A的大小；
（2）若[b=2]，[c=1]，[D]为[BC]的中点，求[AD]的长.
解析 （1）[A+C=π-B，][A，B∈（0，π）]
[?sin（A+C）=sinB>0].
[2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB]
[?cosA=12?A=π3.]
（2）[a2=b2+c2-2bc cosA?a=3]
[?b2=a2+c2?B=π2.]
在[Rt△ABD]中，
[AD= AB2+BD2=12+（32）2=72].
点拨 本题考查解三角形，三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中，解三角形的解答题主要是运用正、余弦定理来求解边长、角度、周长、面积等.
三角函数性质的考查，不仅考查函数的有关概念，还考查三角变换技巧，包括三角函数的奇偶性、对称性、单调性与函数图象的交点坐标及图象变换等问题. 解此类问题一定要注意三角函数的周期在解题中的决定作用.
例1 已知向量[a=（cosωx-sinωx，sinωx）]，[b=（-cosωx-sinωx，23cosωx）]，设函数[f（x）=a?b][+λ][（x∈R）]的图象关于直线[x=π]对称，其中[ω，λ]为常数，且[ω∈（12，1）].
（1）求函数[f（x）]的最小正周期；
（2）若[y=f（x）]的图象经过点[（π4，0）]，求函数[f（x）]在区间[[0，3π5]]上的取值范围.
解析 （1）[∵][f（x）=sin2ωx-cos2ωx+23sinωx?]
[cosωx+λ]
[=-cos2ωx+3sin2ωx+λ]
[=2sin（2ωx-π6）+λ].
由[x=π]是[y=f（x）]图象的一条对称轴可得，
[sin（2ωπ-π6）=±1]，
[∴][2ωπ-π6=kπ+π2（k∈Z）]，
即[ω=k2+13（k∈Z）].又[ω∈（12，1）]，[k∈Z]，
[∴][k=1]，[ω=56].
[∴][f（x）]的最小正周期是[6π5].
（2）由[y=f（x）]的图象过点[（π4，0）]得，[f（π4）=0]，
即[λ=-2sin（56×π2-π6）=-2sinπ4=-2]，
[∴λ=-2].
故[f（x）=2sin（53x-π6）-2]，由[0x3π5]，
有[-π653x-π65π6]，
[∴][-12sin（53x-π6）1]，
即[-1-22sin（53x-π6）-22-2].
故[f（x）]在[[0，3π5]]上的取值范围为[[-1-2，2-2]].
点拨 本题是三角函数和平面向量的综合题，考查了向量的数量积，三角函数的最小正周期，三角恒等变形；考查了转化与划归、运算求解的能力.其中二倍角公式、辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛，它们在三角恒等变形中占有重要的地位，可谓是百考不厌. 求三角函数的值域，一般先根据自变量[x]的范围确定函数[ωx+φ]的范围.
例2 函 数[f（x）=6cos2ωx2+3cosωx-3（ω>0）]在一个周期内的图象如图所示，[A]为图象的最高点，[B]，[C]为图象与[x]轴的交点，且[△ABC]为正三角形.
（1）求[ω]的值及函数[f（x）]的值域；
（2）若[f（x0）=835]，且[x0∈（-103，23）]，求[f（x0+1）]的值.
解析 （1）由已知可得，
[f（x）=6cos2ωx2+3cosωx-3（ω>0）]
[=3cosωx+3sinωx]=[23sin（ωx+π3）.]
又由于正[△ABC]的高为[23]，则[BC=4.]
所以，函数[f（x）]的周期[T=4×2=8]，即[2πω=8]，得[ω=π4].
所以，函数[f（x）]的值域为[[-23，23]].
（2）因为[f（x0）=835，]由（1）有，
[f（x0）=23sin（πx04+π3）=835，]
即[sin（πx04+π3）=45.]
由[x0∈（-103，23）得，][（πx04+π3）∈（-π2，π2）.]
所以，即[cos（πx04+π3）=1-（45）2=35.]
故[f（x0+1）=23sin（πx04+π4+π3）]
[=23sin[（πx04+π3）+π4]]
[=23[sin（πx04+π3）cosπ4+cos（πx04+π3）sinπ4]]
[=23（45×22+35×22）=765.]
点拨 本题主要考查三角函数的图象与性质、同角三角函数的关系、两角和差公式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力以及数形结合思想、化归与转化思想.
热点二 利用三角函数公式进行三角函数的变形和求值
三角函数求值问题，必须明确求值的目标.一般来说，题设中给出的是一个或几个特定角或是某种或几种参变量关系，解题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌盲目地运用三角公式.
例3 已知函数[f（x）=Acosx4+π6]，[x∈R]，且[fπ3=2].
（1）求[A]的值；
（2）设[α，β∈0，π2]，[f4α+43π=-3017]，[f4β-23π=85]，求[cos（α+β）]值.
解析 （1）[fπ3=Acosπ12+π6]
[=Acosπ4=22A=2]，解得[A=2].
（2）[∵f4α+43π=2cosα+π3+π6]
[=2cosα+π2=-2sinα=-3017]，
[∴sinα=1517]，
[∵f4β-23π=2cosβ-π6+π6=2cosβ=85]，
[∴cosβ=45].
[∵][α，β∈0，π2]，
[∴cosα=1-sin2α=817，][sinβ=1-cos2α=35.]
[∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ]
[=817×45-1517×35=-1385.]
点拨 本题考查同角三角函数间的基本关系、两角和的余弦公式等. 要求我们会进行简单的恒等变换，熟练掌握三角公式，而灵活变换是解决这类问题的关键.
热点三 利用正弦定理或余弦定理解三角形
例4 设△[ABC]的内角[A，B，C]所对边的长分别为[a，b，c]，且有[2sinBcosA=sinAcosC+][cosAsinC].
（1）求角A的大小；
（2）若[b=2]，[c=1]，[D]为[BC]的中点，求[AD]的长.
解析 （1）[A+C=π-B，][A，B∈（0，π）]
[?sin（A+C）=sinB>0].
[2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB]
[?cosA=12?A=π3.]
（2）[a2=b2+c2-2bc cosA?a=3]
[?b2=a2+c2?B=π2.]
在[Rt△ABD]中，
[AD= AB2+BD2=12+（32）2=72].
点拨 本题考查解三角形，三角和差公式以及正弦定理的应用.高考中，解三角形的解答题主要是运用正、余弦定理来求解边长、角度、周长、面积等.