浅谈几何证明的教与学

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  平面几何是初中学生面临的一门新课,而几何证明又是初中几何教学的难点。如果教学不得法,不把准几何证明教学中的各要点,就很难掌握几何证明,相应地,就难以顺利闯过几何入门关。几何证明教学中,应怎样把准教与学中的各要素呢?我认为应从以下几点入手。
  一、切实抓好几何基础知识的教学是学好几何证明的前提
  不用质疑,学好几何基础知识是学好证明的前提条件。定义、公理、定理等几何基础知识是进行几何证明的理论依据,对概念要深刻理解其含义,对定理、公理要彻底弄清其题设和结论,学会理解和掌握概念的本质。对于相近的概念,要认真分析比较,找出联系和区别。如“直角”和“90°”,似乎差不多,但前者指的是这种特殊角的图形,而后者指这种角度数的大小;再如“对顶角”的概念是建立在两条直线相交的基础上,若理解为“相同顶点”的角是对顶角就显然错了。
  二、强练几何学习基本功是学好几何证明的关键
  (一)引导学生逐步熟悉使用几何语言,过好语言关
  就表述的方式而言,几何语言可分为文字语言、符号语言与图形语言等。学好几何语言对学习几何证明很重要。要学好它,关键要把几何图形与文字语言相联系,切实掌握文字语言、符号语言和图形语言互译的技巧。例如,文字语言中的“∠A、∠B互余”译为符号语言是“∠A+∠B=90°”,译为图形语言,就可以画出两个角∠A、∠B,条件是∠A与∠B的度数的和为90°,两角的位置关系就可不考虑了。
  (二)学会正确识图与画图,过好图形关
  几何图形是几何的主要研究对象。识图,就是观察,分析和认识几何图形,做到既能识别表示各个概念的简单图形,又能在复杂图形中识别出表示某个概念的图形;所谓画图,就是指能独立而正确地画出表示概念的各种图形,注意题与图的对应关系,使所画图形符合题意。
  三、熟练掌握证明的步骤是学好几何证明的基础
  《几何》第一册第二章教材中明确指出了证明的四个步骤:仔细读题,领会题意,分清题设和结论;根据题意,画出正确图形,并在图上标注字母和符号;根据题设、结论,结合图形,写出已知、求证;经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。
  四、灵活运用分析法与综合法是学好几何证明的条件
  分析是把研究对象分解为各个组成部分,然后对这些组成部分加以研究,从而认识事物的本质和规律的一种思维方法,把它运用到逻辑证明上,就形成了证明中的分析证法。分析证法是由命题的结论开始,逐步追溯这个结论成立的条件,直到最后找到命题的条件就是保证这个结论成立的条件为止的证明方法,而综合是把研究对象的各个部分有机地联系起来加以研究,从而达到认识对象整体性质的一种思维方法,把它运用到逻辑证明中,就形成了证明中的综合证法。综合证法是由命题的条件出发,逐步推导出这个条件可能得出的结论,直到最后推出这个命题的结论为止。几何证明中,为了寻求某个命题的证明方法,常常交替地使用分析和综合,使问题更快地得到解决。
  五、明确证明必须有根有据、因果对立是学好几何证明的重点
  证明离不开图形,但证明不能仅凭直观图形为依据。证明的依据必须是定义、公理、定理、已知条件或已证明的结论,在书写推理依据时,必须注意因果关系的对立和统一。
  六、变换角度、归纳知识点是学好几何证明的核心
  由于是复习课,更容易简单地罗列旧知识点。老一套的方法,陈旧的知识,简单重复,味同嚼蜡,学生有兴趣吗?效果好吗?答案是显然的。考虑到既要复习又不让学生厌烦,在复习时,我从与课本顺序不同的角度去归纳知识点。
  1.从定义看矩形、菱形、正方形。相同点是:都是以平行四边形为基础定义,因此它们都是特殊的平行四边形,比平行四边形有更加独特的性质。不同点是:矩形特殊在直角,菱形特殊在邻边相等。
  2.从性质、判定定理看。就图形而言,无论是平行四边形还是矩形、菱形、正方形都不外乎三要素:边、角、对角线,因此可以从这三个方面归纳性质。因为它们都是特殊的平行四边形,所以理所当然具备平行四边形的一般性质:矩形特殊在对角线相等,而菱形特殊在对角线相互垂直且互相平分一组对角,而对应的判定只不过是性质定理的逆命题而已。
  3.从判定定理的题设部分归纳。所有定理按题设可分为已知四边形和已知平行四边形两类。在复习时还可以加入一些新的内容。如书上只有以对角线判定平行四边形是矩形的定理,可加入用对角线判定四边形是矩形的条件:对角线互相平分且相等的四边形是矩形。与书上定理作比较:对角线相等的平行四边形是矩形。对菱形也可如法炮制,这很容易做到,不一一列举。
  这样将旧知识换新角度归类,知识是熟知的,方法是新颖的,学生感兴趣,完成复习任务时不觉得是在堆叠旧知识,能喜新而不致厌旧。既帮助学生建构知识框架,又教给学生整理知识体系的方法,使学生更清楚知识内在本质的联系。
  七、分清证明的层次关系是学好几何证明的保障
  几何命题的证明通常由若干个推理组成,且每个推理都包含“因”“果”“事实”三部分,而实际上,从第二条推理起常省略它的“因”。因为这个“因”往往就是上一推理的结果。我在教学中,常常指导学生把几何证明过程轻松地看成是写一完整的短小的“因果数学作文”,既然像写“作文”,那就应该有条理、层次,更需要说明理由。
  八、变式练习,由浅入深、由易到难是学好几何证明的策略
  开始讲证明题时,做一些较简单的证明题。然后逐步添加条件,把题目改造成通过多步证明才能完成的题目。在改造中逐步添加条件,改造结论,学生做起来有一个循序渐进的过程,就不会感到困难了。在几何题证明教学中,设置好阶梯,这也为完成课时目标打下了坚实的基础。
  九、养成良好的学习习惯,培养学生自主学习能力,是学好几何证明的根本
  几何证明中涉及的命题多,知识面广,决定了几何证明教与学本身具有的复杂性、艰巨性、灵活性。因此培养学生良好的学习习惯就显得更加重要了。这样突破了思维定势,使学生没有停留在简单的证明上,而是被引到更深、更广的发展空间,有利于创新能力和发散思维的培养,丰富了想象力。如果在复习时充分挖掘例题习题功能,以图形题型的变化激发学生兴趣,切实提高分析问题解决问题的能力,真正做到举一反三,触类旁通。因此,在几何证明教学中,必须培养学生自主学习的能力,让学生养成迎难而上、独立思考、勤动口、动手、动脑的学习习惯。这样在教学过程中才能收到事半功倍的效果。
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