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〔关键词〕 数学教学；分式方程；去
分母；检验；增根；无解
〔中图分类号〕 G633.62
〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463（2011）
10（B）—0088—０1
分式方程是初中阶段学习的主要方程之一。新课标对分式方程的目标是“会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）”。而现实情况是学生常把解分式方程的步骤当做固定的格式和程序，只是机械地按照这一程序来解题。根本不理解为什么要去分母、为什么会产生增根、为什么要验根等问题。
人教版教材通过具体例子渗透了上述问题，配套的教师用书中说“教科书力求做到既说明做法的合理性，又适可而至，不超越学生的实际水平”。笔者认为这不是对例题的就题论题，更不是对上述问题的避而不谈，而是要用反复渗透的方式让学生理解和掌握上面的问题。这就要求教师必须深刻理解下面几个方面。
一、解分式方程的数学思想方法
数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动而产生的结果。它是对数学事实和数学理论(概念、定理、公式、法则等)的本质认识。数学方法是解决数学问题，体现数学思想的手段和工具。如何才能把主要的数学思想方法贯穿于教学之中呢?这既需要教材的渗透，也需要教师的点拨，最后还需要学生自身的感受和理解。
分式方程是“分母含有未知数的方程”，也就是方程的某些项是分式。解方程的实质是利用等式的性质对方程不断进行变形。解一元一次方程是解一切方程的基础，多元、高次方程都是通过向一元一次方程的转化寻求解法的。比如，解二元一次方程组和三元一次方程组都是通过“消元”转化为一元一次方程的，“加减”和“代入”只是实现这一转化的具体方法。类比二元一次方程的解法，自然可想到是否把分式方程转化为一元一次方程呢？分式方程的特点（分母含有未知数、某些项是分式）决定了这种转化的方法不是消元而是把分式方程化为整式方程即可。从而我们明确了去分母的目的——把未知的分式方程转化为已知的整式方程。
二、解分式方程的步骤及需注意的问题
1.去分母。去分母是把分式方程转化为整式方程的方法，具体方法为“将方程的左右两边同时乘各分母的最简公分母”。首先，由方程左右两边同时乘各分母的最简公分母决定了这一步的根据是等式性质而不是分式的性质，只是方程的每一项在乘最简公分母的过程中约分时才用到了分式的性质。其次，等式的性质2是“等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等”，分式方程两边同时乘的最简公分母是一个式子，即是一个未知数，那就意味着这个式子的值有可能为零，也就意味着这一步操作可能不符合等式的性质，甚至这是一步错误的又不得已而为之的操作。再次，由分式方程转化为整式方程后，方程自身所隐含的条件发生了变化。例如，方程＝的隐含条件为x≠5且x≠-5，化为整式方程x+5=10后x可取任意实数，即x的取值范围扩大了。
2.检验。检验的方法：在数据计算正确的前提下，“将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解”。为什么解整式方程不需要检验，而解分式方程必须要检验呢？这是因为：分式方程化为整式方程后解出的未知数的值有时候使原方程无意义,即有时产生增根。
为什么会出现增根？自然应从解方程的过程中找原因：解分式方程与解整式方程的区别就在去分母上，故问题肯定出在去分母一步。仍以人教版教材例题＝为例，此方程隐含着x≠5且x≠-5的条件，而去分母后的整式方程x+5=10没有这一隐含条件，且它的解x=5正好与原方程的隐含条件相矛盾，所以不是原方程的根。
这也就说明了增根的特点：使得去分母所得的整式方程成立，而使原方程无意义；增根的可能值只能是使最简公分母为零的那些数。
三、关于增根和无解
分式方程的增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，无解不是分式方程独有的。分式方程无解包含两种情形：一种是原方程化去分母后的整式方程无解；一种是原方程去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解。
编辑：刘立英
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
分母；检验；增根；无解
〔中图分类号〕 G633.62
〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463（2011）
10（B）—0088—０1
分式方程是初中阶段学习的主要方程之一。新课标对分式方程的目标是“会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）”。而现实情况是学生常把解分式方程的步骤当做固定的格式和程序，只是机械地按照这一程序来解题。根本不理解为什么要去分母、为什么会产生增根、为什么要验根等问题。
人教版教材通过具体例子渗透了上述问题，配套的教师用书中说“教科书力求做到既说明做法的合理性，又适可而至，不超越学生的实际水平”。笔者认为这不是对例题的就题论题，更不是对上述问题的避而不谈，而是要用反复渗透的方式让学生理解和掌握上面的问题。这就要求教师必须深刻理解下面几个方面。
一、解分式方程的数学思想方法
数学思想就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动而产生的结果。它是对数学事实和数学理论(概念、定理、公式、法则等)的本质认识。数学方法是解决数学问题，体现数学思想的手段和工具。如何才能把主要的数学思想方法贯穿于教学之中呢?这既需要教材的渗透，也需要教师的点拨，最后还需要学生自身的感受和理解。
分式方程是“分母含有未知数的方程”，也就是方程的某些项是分式。解方程的实质是利用等式的性质对方程不断进行变形。解一元一次方程是解一切方程的基础，多元、高次方程都是通过向一元一次方程的转化寻求解法的。比如，解二元一次方程组和三元一次方程组都是通过“消元”转化为一元一次方程的，“加减”和“代入”只是实现这一转化的具体方法。类比二元一次方程的解法，自然可想到是否把分式方程转化为一元一次方程呢？分式方程的特点（分母含有未知数、某些项是分式）决定了这种转化的方法不是消元而是把分式方程化为整式方程即可。从而我们明确了去分母的目的——把未知的分式方程转化为已知的整式方程。
二、解分式方程的步骤及需注意的问题
1.去分母。去分母是把分式方程转化为整式方程的方法，具体方法为“将方程的左右两边同时乘各分母的最简公分母”。首先，由方程左右两边同时乘各分母的最简公分母决定了这一步的根据是等式性质而不是分式的性质，只是方程的每一项在乘最简公分母的过程中约分时才用到了分式的性质。其次，等式的性质2是“等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等”，分式方程两边同时乘的最简公分母是一个式子，即是一个未知数，那就意味着这个式子的值有可能为零，也就意味着这一步操作可能不符合等式的性质，甚至这是一步错误的又不得已而为之的操作。再次，由分式方程转化为整式方程后，方程自身所隐含的条件发生了变化。例如，方程＝的隐含条件为x≠5且x≠-5，化为整式方程x+5=10后x可取任意实数，即x的取值范围扩大了。
2.检验。检验的方法：在数据计算正确的前提下，“将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解”。为什么解整式方程不需要检验，而解分式方程必须要检验呢？这是因为：分式方程化为整式方程后解出的未知数的值有时候使原方程无意义,即有时产生增根。
为什么会出现增根？自然应从解方程的过程中找原因：解分式方程与解整式方程的区别就在去分母上，故问题肯定出在去分母一步。仍以人教版教材例题＝为例，此方程隐含着x≠5且x≠-5的条件，而去分母后的整式方程x+5=10没有这一隐含条件，且它的解x=5正好与原方程的隐含条件相矛盾，所以不是原方程的根。
这也就说明了增根的特点：使得去分母所得的整式方程成立，而使原方程无意义；增根的可能值只能是使最简公分母为零的那些数。
三、关于增根和无解
分式方程的增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，无解不是分式方程独有的。分式方程无解包含两种情形：一种是原方程化去分母后的整式方程无解；一种是原方程去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解。
编辑：刘立英
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