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摘 要已知某种三角函数值，求其他三角函数值是高中数学学习过程中的一个难题，很多学生面对这类问题的时候，往往感觉无从下手。数列问题涉及的内容比较广泛，很多问题设置的比较巧妙，主要考察学生综合运用能力和创新思维能力，近年来成为高考的热点考题。一些三角求值问题，可以通过有关知识巧妙的构造等比差数列，利用数列知识解答三角函数值。本文结合实际案例，通过构成等比等差数列达到解答三角求值问题，希望能给大家解答题目提供一些参考，提高解答题目的速度和效率。
【关键词】等比差数列；三角函数；函数值
三角函数是高中阶段学习的重点，也是难点，由于该类型的题目变化大，有时候已经条件比较少，所以增加了问题的难度。将一些看似与数列没有关系的三角函数问题，将已知条件转化为ab=c2或者a+b=2A的形式，那么就可以通过构造等比或者等差数列改变题目结构，将三角函数转化为数列，这样就能简化题型，从而快速解答三角函数问题。本文以实际例子分析等比等差數列如何解决三角函数求值问题，希望对大家解答三角求值问题提供一些帮助。
1 巧构等比数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个等差数列的常数就是等差数列的公差，一般用字母d表示。
例题1：在△ABC中，lgtanA+tanC= 2lgtanB，求证≤B≤
解题思路：题目中的已知条件比较少，如果通过三角函数现有的条件去证明≤B≤，要利用等比数列解答这类问题显然是有一定的难度，所以只能利用等比等差数列。通过上述的条件，可以得出tanA、tanB、tanC为正数，所以A、∠B、∠C都是锐角，那么tanA、tanB、tanC则成等比数列，设三者的公差比为q，那么tanA=，tanC=qtanB（其中q>0）
从上面的条件可以得出，tanA+tanC=（+q）tanB，又因为tanA+tanC=tan（A+C）（1-tanAtanC）=-tanB（1-tan2B），-tanB（1-tan2B）=（+q）tanB。所以，将数值带入公式中，得到tan2B=+q+1=（-）2+3≥3，所以tanB≥，想要公式成立，那么只有q=1，因此，tanB在（0，）范围内是增函数，在△ABC中，lgtanA+tanC=2lgtanB前提下，≤B≤成立。
例题2：sinɑcosɑ=，而且<ɑ<，求sinɑ和cosɑ的值？
解题思路：已知sinɑcosɑ==（）2，那么可以得到cosɑ，，sinɑ构成等比数列，设三者的公比是q，那么cosɑ=，sinɑ=。根据<ɑ<，所以得到sinɑ>cosɑ>0，q>1。根据函数公式sin2ɑ+cos2ɑ=1，那么可以得到+=1，所以得出60q4-169q2+60=0，那么可以得出q=或者q=（答案不符合题目要求，所以舍去），根据上面公式可以得到sinɑ=，cosɑ。
例题3：在锐角△ABC中，∠A<∠B<∠C，那么lgtanA+lgtanC=21lgtanB，且tan（A+C）=-2，那么求tan（A-C）的值？
解题思路：从题目中的已知条件lgtanA+lgtanC=21lgtanB，可以得出tanAtanC=tan2B，所以tanA、tanB、tanC构成等差数列，设三者的公比差是q，那么则可以得出tanA=，那么tanC=qtanB。又因为∠A<∠B<∠C<90°，所以01，又因为tanB=tan[π-（A+C）]=-tan（A+C）=2，所以得出
。根据上述推论，整理得到q2-3q+1=0，那么可以得到q=或者（由于该答案不符合题目要求，因此舍去答案）那么可以得到
。
在解答此类题目的时候，由于三角函数的正弦函数和余弦函数是一对互余函数，有很多对称问题，比如sin2ɑ+cos2ɑ=1，在三角函数中，a/sinA=b/sin B=c/sin C=2R（其中，R为△ABC的外接圆的半径）以及sin（π/2-α） = cosαcos（π/2-α） =sinα等一些推导公式，所以在解决三角求值得时候，可以构造对偶式对公式进行配对。同时，这也要求大家要对这些公式非常熟悉，在解答题目的时候可以根据实际情况进行配对。
2 巧构等差数列
例题4：tanɑ+cotɑ=ɑ，那么ɑ∈（，），求cos2ɑ和sin（2ɑ+）的值。
解题思路：根据题目中的已知条件tanɑ+cotɑ=ɑ，那么可以得出tanɑ，，cotɑ是等差数列，设d为三者的公差，那么得到tanɑ=-d，cotɑ=+d，将其带入公式中可以得到tanɑcotɑ=1，那么可以得出d=±。又因为ɑ∈（，）所以cotɑ<1，所以得出d=-，tanɑ=2，cos2ɑ=-，sin2ɑ=，sin（2ɑ+）=sin2ɑcosɑ+cos2ɑsin=。
例题5 ：某三角形△ABC中内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知c=2，C=，如果sinB=2sinA，求△ABC的面积。
解题思路：根据题目中的已知条件，C=，得出A+B=，所以A、、B是等差数列，设公差为θ，那么A=—θ，B=+θ。由sinB=2sinA，也就是sin（+θ）=2sin（-θ），将公式化简得到sinθ=cosθ，由此推算出tanθ=，θ=。根据A、B、C是△ABC的内角，所以得到A=，B=由此可以知道△ABC是一个直角三角形，根据C=2，得出a=，所以△ABC的面积S=ac=。
从上述的例子可以看出，在解答三角函数值问题的时候，必须选择合适的构造机会，并且学生自己能够熟练的运用sin2ɑ+cos2ɑ=1， cos（π/2-α）= sinα，
1+tan2ɑ=sec2ɑ等公式，这样才能在合适的机会将公式引入到解题中，提高解答问题的速度。
3 结束语
三角函数是基本初等函数之一，是高中数学的重点考察内容，三角函数在测绘、航海航空、工程建筑等领域应用十分广泛，它包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等等，函数涉及的公式和理论比较多，所以给学生的学习增加了很大的难度。内容考察的比较灵活，所以对学生的综合素质要求比较高。因此，在解答此类的题目的时候，可以通过构建等差数列，快速求得三角函数值。
参考文献
[1]肖秋莲.构造直角三角形巧解一类三角求值问题[J].中学数学，2012（05）：96-97.
[2]谢爱金.由一道课本习题谈构造法求数列通项[J].数学教学通讯，2016（06）：53-54.
[3]王晓锋.对一道解三角形最值问题解法及变式的研究[J].数理化学习（高一二版），2014（08）：8-9.
作者单位
湖南省长沙市麓山滨江实验学校 湖南省长沙市 410000
【关键词】等比差数列；三角函数；函数值
三角函数是高中阶段学习的重点，也是难点，由于该类型的题目变化大，有时候已经条件比较少，所以增加了问题的难度。将一些看似与数列没有关系的三角函数问题，将已知条件转化为ab=c2或者a+b=2A的形式，那么就可以通过构造等比或者等差数列改变题目结构，将三角函数转化为数列，这样就能简化题型，从而快速解答三角函数问题。本文以实际例子分析等比等差數列如何解决三角函数求值问题，希望对大家解答三角求值问题提供一些帮助。
1 巧构等比数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个等差数列的常数就是等差数列的公差，一般用字母d表示。
例题1：在△ABC中，lgtanA+tanC= 2lgtanB，求证≤B≤
解题思路：题目中的已知条件比较少，如果通过三角函数现有的条件去证明≤B≤，要利用等比数列解答这类问题显然是有一定的难度，所以只能利用等比等差数列。通过上述的条件，可以得出tanA、tanB、tanC为正数，所以A、∠B、∠C都是锐角，那么tanA、tanB、tanC则成等比数列，设三者的公差比为q，那么tanA=，tanC=qtanB（其中q>0）
从上面的条件可以得出，tanA+tanC=（+q）tanB，又因为tanA+tanC=tan（A+C）（1-tanAtanC）=-tanB（1-tan2B），-tanB（1-tan2B）=（+q）tanB。所以，将数值带入公式中，得到tan2B=+q+1=（-）2+3≥3，所以tanB≥，想要公式成立，那么只有q=1，因此，tanB在（0，）范围内是增函数，在△ABC中，lgtanA+tanC=2lgtanB前提下，≤B≤成立。
例题2：sinɑcosɑ=，而且<ɑ<，求sinɑ和cosɑ的值？
解题思路：已知sinɑcosɑ==（）2，那么可以得到cosɑ，，sinɑ构成等比数列，设三者的公比是q，那么cosɑ=，sinɑ=。根据<ɑ<，所以得到sinɑ>cosɑ>0，q>1。根据函数公式sin2ɑ+cos2ɑ=1，那么可以得到+=1，所以得出60q4-169q2+60=0，那么可以得出q=或者q=（答案不符合题目要求，所以舍去），根据上面公式可以得到sinɑ=，cosɑ。
例题3：在锐角△ABC中，∠A<∠B<∠C，那么lgtanA+lgtanC=21lgtanB，且tan（A+C）=-2，那么求tan（A-C）的值？
解题思路：从题目中的已知条件lgtanA+lgtanC=21lgtanB，可以得出tanAtanC=tan2B，所以tanA、tanB、tanC构成等差数列，设三者的公比差是q，那么则可以得出tanA=，那么tanC=qtanB。又因为∠A<∠B<∠C<90°，所以0
。根据上述推论，整理得到q2-3q+1=0，那么可以得到q=或者（由于该答案不符合题目要求，因此舍去答案）那么可以得到
。
在解答此类题目的时候，由于三角函数的正弦函数和余弦函数是一对互余函数，有很多对称问题，比如sin2ɑ+cos2ɑ=1，在三角函数中，a/sinA=b/sin B=c/sin C=2R（其中，R为△ABC的外接圆的半径）以及sin（π/2-α） = cosαcos（π/2-α） =sinα等一些推导公式，所以在解决三角求值得时候，可以构造对偶式对公式进行配对。同时，这也要求大家要对这些公式非常熟悉，在解答题目的时候可以根据实际情况进行配对。
2 巧构等差数列
例题4：tanɑ+cotɑ=ɑ，那么ɑ∈（，），求cos2ɑ和sin（2ɑ+）的值。
解题思路：根据题目中的已知条件tanɑ+cotɑ=ɑ，那么可以得出tanɑ，，cotɑ是等差数列，设d为三者的公差，那么得到tanɑ=-d，cotɑ=+d，将其带入公式中可以得到tanɑcotɑ=1，那么可以得出d=±。又因为ɑ∈（，）所以cotɑ<1，所以得出d=-，tanɑ=2，cos2ɑ=-，sin2ɑ=，sin（2ɑ+）=sin2ɑcosɑ+cos2ɑsin=。
例题5 ：某三角形△ABC中内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知c=2，C=，如果sinB=2sinA，求△ABC的面积。
解题思路：根据题目中的已知条件，C=，得出A+B=，所以A、、B是等差数列，设公差为θ，那么A=—θ，B=+θ。由sinB=2sinA，也就是sin（+θ）=2sin（-θ），将公式化简得到sinθ=cosθ，由此推算出tanθ=，θ=。根据A、B、C是△ABC的内角，所以得到A=，B=由此可以知道△ABC是一个直角三角形，根据C=2，得出a=，所以△ABC的面积S=ac=。
从上述的例子可以看出，在解答三角函数值问题的时候，必须选择合适的构造机会，并且学生自己能够熟练的运用sin2ɑ+cos2ɑ=1， cos（π/2-α）= sinα，
1+tan2ɑ=sec2ɑ等公式，这样才能在合适的机会将公式引入到解题中，提高解答问题的速度。
3 结束语
三角函数是基本初等函数之一，是高中数学的重点考察内容，三角函数在测绘、航海航空、工程建筑等领域应用十分广泛，它包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等等，函数涉及的公式和理论比较多，所以给学生的学习增加了很大的难度。内容考察的比较灵活，所以对学生的综合素质要求比较高。因此，在解答此类的题目的时候，可以通过构建等差数列，快速求得三角函数值。
参考文献
[1]肖秋莲.构造直角三角形巧解一类三角求值问题[J].中学数学，2012（05）：96-97.
[2]谢爱金.由一道课本习题谈构造法求数列通项[J].数学教学通讯，2016（06）：53-54.
[3]王晓锋.对一道解三角形最值问题解法及变式的研究[J].数理化学习（高一二版），2014（08）：8-9.
作者单位
湖南省长沙市麓山滨江实验学校 湖南省长沙市 410000