论文部分内容阅读
摘 要：为了更好地进行“鸡兔同笼”教学，文章在分析课程标准、教材和学生的基础上，从问题解决教学的角度，针对各年龄阶段学生的能力发展状况，进行能够展现问题解决过程的优化教学设计，力求提高教学效果，启迪学生思维，培养学生解决问题的能力。
关键词：小学数学;问题解决;优化教学
在“鸡兔同笼”问题的课后检测中，往往会出现两大问题。问题一：学生假设是兔（鸡），求出来的也是兔（鸡），只知套用不知根本;问题二：只知鸡兔，不知其他，不能根据已學的知识产生类比联想。基于以上两点，笔者试着从以下四方面对本课做一个系统的梳理与思考。
一、凸显课标内蕴，借“优化”明晰教学本质
2011年版的新课标中，关于“教材编写”的建议特别强调：“教材中编入一些拓宽知识或者方法的选学内容，增加的内容应注重介绍重要的数学概念、数学思想和方法，而不应片面追求内容的深度、问题的难度、解题的技巧。”因此，教师在教学实施中要注重数量变化中关系的分析与推理，提炼出解决问题过程中所蕴含的思想与方法，展现出解决问题的思维模型，并使学生能感受、体会、领悟它们，受到熏陶。
二、紧扣教材联系，借“优化”探寻多元方式
笔者尝试将各版本教材中的“鸡兔同笼”问题进行比较，尝试从单一逼仄的问题解决策略向多元高效的方式方法迈进。
（一）筛查对比，求“同”存“异”
从教材的编排顺序上看，“鸡兔同笼”这一教学内容被安排到了不同年级进行教学。从表1中，我们还可以明显地看出，该内容所涉及的教学对象，最小的是二年级学生，最大的是六年级学生，跨度之大，前所未有。那么，面对如此大的编排顺序差异，编者想渗透的方式方法又是怎样的呢？
1. 共同点
各个版本的教材基本都蕴含了：猜想——验证——推理——调整、修改猜想——再验证，直至问题解决的尝试这一科学发现方法;抽象提炼其中的规律与问题模型与思维模型，都体现了“由特殊到一般”“由具体到抽象”的哲学思想;都注重了实际问题的编排和应用所学知识解决实际问题能力的培养;都注重了数学文化的渗透。
2. 不同点
（1）途径多样
不同版本教材的例题所要渗透的解决方法并不完全一致，呈现多样性。人教版解决问题的途径更加多样化，其中“列方程”只出现在旧人教版教材的例题中。
（2）策略聚焦
“列表法”成为唯一一种被各版本教材都采用的解决方法。尤其是在北师大版教材中，只选择了列表的策略，让学生在大胆的猜测、尝试和不断调整的过程中，体会出解决问题的一般策略——列表枚举。
（3）方法互通
“画图法与列表法”“列表法与假设法”有机结合，方法之间互相沟通，帮助学生理解并解决问题。如苏教版例题的解答介绍了提出猜测性假设，画图和列表两种验证、推理、调整的尝试办法，但更突出画图。旨在使学生通过直观的画图，感悟、找出其中的数量变化规律和调整的办法。
（二）稳中求变，推“陈”出“新”
基于对教材的比较，笔者对“鸡兔同笼”问题产生了一些新的思考，为了更好地找到解决这些问题的突破口，教研组还对每个思考点进行了任务序列的分解（见表1）。
三、把握学情分析，借“优化”推进深度剖析
（一）纵览学情，寻“路”探“径”
笔者围绕“对于鸡兔同笼这样的问题学生已经学会了什么？”“本课学习学生真正的思维困难在哪里？”“学生通过本课学习能有怎样的提升发展？”三个问题对学生进行了课前调查。
能够准确回答第1小题的学生占到总数的85%，说明大多数学生都有一定的生活常识;在明确表示头和脚后，81%的学生能够较好地画出鸡和兔;受第2题的影响，超过半数的学生选择了用画图法解决第3题，有20名程度较好的学生直接用算式解决;72%的学生能将画图或列式的方法迁移到第4题;在前面都是顺向思考的情况下，第5小题出现了逆向思考，从前测中可以发现，前面掌握画图法的学生，在此题中也进行了很好的应用的学生共有13个，11个学生用了凑数法，4个学生用了连减的方法解决，不知道怎么解决的学生有40人。可见学生的思维困难在逆向解决问题上。
“鸡兔同笼”问题对于四年级学生来说具有挑战性（正确率为35.7%），正确解决问题的学生主要采用猜测法，其次是列表列举法。假设全是鸡或兔的方法，如果学生没有经过课外辅导都不会正确运用。因此，列举法是适合学生认知发展水平的有价值的方法，需要学生重点学习掌握。在学生的作品中可以看到，脚数与头数的内在变化关联是学生解决问题的思维障碍所在，其中顾“脚”不顾“头”的错误近20%。可见多数学生解题时只盲目计算，缺乏假设推演，已有的单一线性的解题经验固化了思维，解题的策略性思考能力比较弱。
六年级的前测题只不过将4年级的测试题调大了数据，但前测结果却大不相同（正确率为70.6%）。由于5年级学习了方程，所以用方程来解决“鸡兔同笼”问题的人数明显增多;另外，六年级的学生随着年龄的增长和知识面的不断拓宽，假设法、削足法也纷纷出现，可见学生的思维水平有明显的提高。
（二）横觅发展，顺“藤”摸“瓜”
顺着三个年级的前测分析这根“藤”，我们能逐渐摸到“教学设计优化”这个“瓜”。笔者认为，如何让学生用画图法来解决“鸡兔同笼”问题并解决最简单的变式，是一年级教学的重点;如何让学生从不会列举或错误列举到真正学会列举方法，会用列举法解决问题，并进行有序思考是四年级学生学习提升的关键;假设是列举等方法的有效提升，代数是假设的联想的产物，如何将两者有机结合，并为第三学段的学习埋下伏笔，是六年级的课堂所要重点思考的。
四、依循认知序列，借“优化”形成高效策略
正是由于数学知识之间的紧密联系，数学教材在内容的选择上遵循了一定的“序列”。这种序列既有数学知识逻辑关系的前后之序，也有遵循学生认知规律的发展之序。而“鸡兔同笼”问题由于其特殊性，这方面还存在着急需填补的空白。因此依循序列，借“优化”形成高效策略是笔者力求突破与创新之处。
（一）借“石”攻“玉”—— 精选“问题解决”模式
那么如何依循认知序列，进行优化设计呢？笔者和教研组的教师尝试依循着内容之间的内在联系将“鸡兔同笼”问题进行分散处理，并按问题解决教学的模式进行教学。
（二）积“微”成“著”——巧用“前期数据”分析
通过“找”基石——课标、教材对比;“理”思路——学情分析;“搭”架子——“问题解决”模式，巧用这些“前期数据”分析，从而优化教学设计，形成“鸡兔同笼”序列课。
把准“学”的起点，在关联处生长核心问题;捕捉“学”的路径，在断层处设置核心问题;彰显“学”的需求，在疑点处派生核心问题;丰盈“学”的厚度，在创生中整合核心问题。笔者所在的教研组尝试以“问题解决”模式为基点，以“核心问题”为引领，以“校本教研”为平台，分别为一、四、六年级设计出“鸡兔同笼”问题的策略：注重思维提升，建立代数模型;掌握列举策略，培养有序思考;经历画图过程，积累数学经验。
以“问题”促内化，借“优化”求发展，“鸡兔同笼”问题的教学实践在笔者和教研组教师的共同努力下，逐渐明朗和充盈：方法各有侧重、序列建构合理、学生能力提升。在尝试的过程中，变化的不仅仅是课堂的框架和路径，还有教学理念上的变化，是源头上的蜕变和教学行动上的华丽转身。而这之后，师生必将有不同的收获。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]刘慧，刘孙渊.画画数数解难题，思维升华展奇迹——“鸡兔同笼”活动课教学实录与评析[J].小学教学参考，2014（29）.
[3]许卫兵，朱乐平.感受“模型”的力量——“鸡兔同笼”教学新解[J].小学教学（数学版），2009（06）.
关键词：小学数学;问题解决;优化教学
在“鸡兔同笼”问题的课后检测中，往往会出现两大问题。问题一：学生假设是兔（鸡），求出来的也是兔（鸡），只知套用不知根本;问题二：只知鸡兔，不知其他，不能根据已學的知识产生类比联想。基于以上两点，笔者试着从以下四方面对本课做一个系统的梳理与思考。
一、凸显课标内蕴，借“优化”明晰教学本质
2011年版的新课标中，关于“教材编写”的建议特别强调：“教材中编入一些拓宽知识或者方法的选学内容，增加的内容应注重介绍重要的数学概念、数学思想和方法，而不应片面追求内容的深度、问题的难度、解题的技巧。”因此，教师在教学实施中要注重数量变化中关系的分析与推理，提炼出解决问题过程中所蕴含的思想与方法，展现出解决问题的思维模型，并使学生能感受、体会、领悟它们，受到熏陶。
二、紧扣教材联系，借“优化”探寻多元方式
笔者尝试将各版本教材中的“鸡兔同笼”问题进行比较，尝试从单一逼仄的问题解决策略向多元高效的方式方法迈进。
（一）筛查对比，求“同”存“异”
从教材的编排顺序上看，“鸡兔同笼”这一教学内容被安排到了不同年级进行教学。从表1中，我们还可以明显地看出，该内容所涉及的教学对象，最小的是二年级学生，最大的是六年级学生，跨度之大，前所未有。那么，面对如此大的编排顺序差异，编者想渗透的方式方法又是怎样的呢？
1. 共同点
各个版本的教材基本都蕴含了：猜想——验证——推理——调整、修改猜想——再验证，直至问题解决的尝试这一科学发现方法;抽象提炼其中的规律与问题模型与思维模型，都体现了“由特殊到一般”“由具体到抽象”的哲学思想;都注重了实际问题的编排和应用所学知识解决实际问题能力的培养;都注重了数学文化的渗透。
2. 不同点
（1）途径多样
不同版本教材的例题所要渗透的解决方法并不完全一致，呈现多样性。人教版解决问题的途径更加多样化，其中“列方程”只出现在旧人教版教材的例题中。
（2）策略聚焦
“列表法”成为唯一一种被各版本教材都采用的解决方法。尤其是在北师大版教材中，只选择了列表的策略，让学生在大胆的猜测、尝试和不断调整的过程中，体会出解决问题的一般策略——列表枚举。
（3）方法互通
“画图法与列表法”“列表法与假设法”有机结合，方法之间互相沟通，帮助学生理解并解决问题。如苏教版例题的解答介绍了提出猜测性假设，画图和列表两种验证、推理、调整的尝试办法，但更突出画图。旨在使学生通过直观的画图，感悟、找出其中的数量变化规律和调整的办法。
（二）稳中求变，推“陈”出“新”
基于对教材的比较，笔者对“鸡兔同笼”问题产生了一些新的思考，为了更好地找到解决这些问题的突破口，教研组还对每个思考点进行了任务序列的分解（见表1）。
三、把握学情分析，借“优化”推进深度剖析
（一）纵览学情，寻“路”探“径”
笔者围绕“对于鸡兔同笼这样的问题学生已经学会了什么？”“本课学习学生真正的思维困难在哪里？”“学生通过本课学习能有怎样的提升发展？”三个问题对学生进行了课前调查。
能够准确回答第1小题的学生占到总数的85%，说明大多数学生都有一定的生活常识;在明确表示头和脚后，81%的学生能够较好地画出鸡和兔;受第2题的影响，超过半数的学生选择了用画图法解决第3题，有20名程度较好的学生直接用算式解决;72%的学生能将画图或列式的方法迁移到第4题;在前面都是顺向思考的情况下，第5小题出现了逆向思考，从前测中可以发现，前面掌握画图法的学生，在此题中也进行了很好的应用的学生共有13个，11个学生用了凑数法，4个学生用了连减的方法解决，不知道怎么解决的学生有40人。可见学生的思维困难在逆向解决问题上。
“鸡兔同笼”问题对于四年级学生来说具有挑战性（正确率为35.7%），正确解决问题的学生主要采用猜测法，其次是列表列举法。假设全是鸡或兔的方法，如果学生没有经过课外辅导都不会正确运用。因此，列举法是适合学生认知发展水平的有价值的方法，需要学生重点学习掌握。在学生的作品中可以看到，脚数与头数的内在变化关联是学生解决问题的思维障碍所在，其中顾“脚”不顾“头”的错误近20%。可见多数学生解题时只盲目计算，缺乏假设推演，已有的单一线性的解题经验固化了思维，解题的策略性思考能力比较弱。
六年级的前测题只不过将4年级的测试题调大了数据，但前测结果却大不相同（正确率为70.6%）。由于5年级学习了方程，所以用方程来解决“鸡兔同笼”问题的人数明显增多;另外，六年级的学生随着年龄的增长和知识面的不断拓宽，假设法、削足法也纷纷出现，可见学生的思维水平有明显的提高。
（二）横觅发展，顺“藤”摸“瓜”
顺着三个年级的前测分析这根“藤”，我们能逐渐摸到“教学设计优化”这个“瓜”。笔者认为，如何让学生用画图法来解决“鸡兔同笼”问题并解决最简单的变式，是一年级教学的重点;如何让学生从不会列举或错误列举到真正学会列举方法，会用列举法解决问题，并进行有序思考是四年级学生学习提升的关键;假设是列举等方法的有效提升，代数是假设的联想的产物，如何将两者有机结合，并为第三学段的学习埋下伏笔，是六年级的课堂所要重点思考的。
四、依循认知序列，借“优化”形成高效策略
正是由于数学知识之间的紧密联系，数学教材在内容的选择上遵循了一定的“序列”。这种序列既有数学知识逻辑关系的前后之序，也有遵循学生认知规律的发展之序。而“鸡兔同笼”问题由于其特殊性，这方面还存在着急需填补的空白。因此依循序列，借“优化”形成高效策略是笔者力求突破与创新之处。
（一）借“石”攻“玉”—— 精选“问题解决”模式
那么如何依循认知序列，进行优化设计呢？笔者和教研组的教师尝试依循着内容之间的内在联系将“鸡兔同笼”问题进行分散处理，并按问题解决教学的模式进行教学。
（二）积“微”成“著”——巧用“前期数据”分析
通过“找”基石——课标、教材对比;“理”思路——学情分析;“搭”架子——“问题解决”模式，巧用这些“前期数据”分析，从而优化教学设计，形成“鸡兔同笼”序列课。
把准“学”的起点，在关联处生长核心问题;捕捉“学”的路径，在断层处设置核心问题;彰显“学”的需求，在疑点处派生核心问题;丰盈“学”的厚度，在创生中整合核心问题。笔者所在的教研组尝试以“问题解决”模式为基点，以“核心问题”为引领，以“校本教研”为平台，分别为一、四、六年级设计出“鸡兔同笼”问题的策略：注重思维提升，建立代数模型;掌握列举策略，培养有序思考;经历画图过程，积累数学经验。
以“问题”促内化，借“优化”求发展，“鸡兔同笼”问题的教学实践在笔者和教研组教师的共同努力下，逐渐明朗和充盈：方法各有侧重、序列建构合理、学生能力提升。在尝试的过程中，变化的不仅仅是课堂的框架和路径，还有教学理念上的变化，是源头上的蜕变和教学行动上的华丽转身。而这之后，师生必将有不同的收获。
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]刘慧，刘孙渊.画画数数解难题，思维升华展奇迹——“鸡兔同笼”活动课教学实录与评析[J].小学教学参考，2014（29）.
[3]许卫兵，朱乐平.感受“模型”的力量——“鸡兔同笼”教学新解[J].小学教学（数学版），2009（06）.