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从上个世纪到今天，传统的“几何”现名之为“空间与图形”，经过了多次重大变革，在推理能力培养的要求上存在着“钟摆现象”：20世纪20年代初到四五十年代的几何教学，注重内容的系统性与推理的严密性，指出“定理不熟，推开无从”；到了50年代末的大跃进时期，在打倒“欧家店”思潮的冲击下，推理能力的培养遭到严重的削弱；60年代初到“文革”前，由于提倡“双基”——基础知识的教学与基本技能的训练，几何教学又重视逻辑演绎；“文化大革命”时期对几何课程学习只要求学生会制图测量，体现了严重的实用主义；1978年拨乱反正以后的几何教学又重新重视“双基”，重视思想方法，注重发展学生的演绎推理。
然而，在当前实施新课程的过程中又出现相反的情况。由于一些教师对动手实践、自主探索、合作交流等学习方式的理解与使用不当，在数学教学过程中只注重合情推理能力的培养，强调通过操作实验归纳出结论，不善于引导学生从合情推理上升到论证推理。以教学“长方体的认识”为例，一位教师在教学时的流程是这样的：
1.通过观察得出结论。首先画出两条平行线，任意作出平行线之间的数条公垂线段，要求学生通过观察，说出这数条公垂线段的关系——相等。
2. 动手实践合作交流。学生分组，各自画平行线的公垂线段，通过动手测量，验证由观察得到的结论。
3.小组汇报，教师归纳。在各组代表汇报的基础上教师进行总结。
一堂课就这样戛然而止了，学生思维能力特别是推理能力的培养显得苍白无力。问题是，如果不仅仅依靠观察与实验，学生能否凭借已有的知识推出未知的结论呢？其实，如果我们在“空间与图形”的教学中，只满足于“合情推理” 模式，强调“科学性让位于可接受性”的观念，那就只会阻碍儿童思维逻辑性与抽象性的发展，不利于学生推理能力的培养与综合素质的提高。
《数学课程标准》在“空间与图形”教学建议中指出，要让学生经历观察、实验、猜想、证明等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例，以发展学生的合情推理的能力和初步的演绎推理的能力。笔者认为，理解和践行这一教学建议，须在厘清“空间与图形”教学中的“钟摆现象”的基础上，引导学生正确认识合情推理与论证推理的内涵与价值，经历从合情推理与论证推理的过程，既在观察、实验、联想等活动中获得数学判断，又掌握论证判断真实性、给出证明的方法，从而训练理性思维，培养推理能力。
“空间与图形”的教学可以培养学生初步的比较与分类、分析与综合、抽象与概括、判断与推理等逻辑思维的能力。因为认识图形的特征，需要在对感性材料进行分析、比较的基础上研究概念之间的关系，需要同中求异或异中求同，在分析的基础上比较事物的异同，进而根据概念的定义和图形性质作出判断并进行推理。如何在数学教学中注重合情推理与论证推理，切實可行地培养学生的推理能力呢？
让我们从合情推理与论证推理的内涵与价值说起。推理是由一个或几个已知判断（前提）推出另一个未知判断（结论）的思维形式。学生获得数学知识的过程实质上是从合情推理上升到演绎推理的过程。合情推理就是合理的猜测。它以类比和归纳为主要形式，是探索规律和发现真理的有效手段，对于培养学生的创造性思维是不可缺少的。然而，合情推理得到的结论未必可靠，例如，在过去，由于人们看到鸟都会飞、金属都沉到水里，于是便归纳出“所有的鸟都会飞”“一切金属的比重都比水大”的结论。但是到后来，发现了与上述结论相矛盾的情况，这就表明合情推理的结论未必可靠。
数学通常被人们看做是一门以严格论证为特征的演绎科学，严格的数学理论总是建立在论证推理的基础上的。论证推理包括演绎推理和完全归纳推理。合情推理导致猜想和发现，论证推理可以证实猜想。正如华罗庚所说，“数学教学实质上是推理的教学”，数学学习是合情推理与论证推理这两种形式不同而又相辅相成的推理交互作用的过程。
数学家与数学教育家历来都十分重视推理能力的训练与培养。史宁中教授指出：“对于推理能力的培养，我们现在缺少的是根据情况预测结果的能力和根据结果探究成因的能力。这两个能力很重要，是创新的基础。前者有利于创造新产品，形成新工艺，后者有利于发现新理论。”合情推理既是数学创造工作赖以进行的必要技能，也是在未来的生活和生产中进行有效思维的需要。因此，合情推理对于培养学生的探索能力和创新精神有着重要的教育价值。
能力的形成绝不等同于知识与技能的获取，它是一个缓慢的过程，有着自身的特点与规律。推理能力的形成不能只停留在浅表的合情推理的层面上。心理学家克鲁茨基在《中小学数学能力心理学》一书中提出：“对教学对象进行推理的能力是卓越数学家最重要的品质；数学是最适宜于发展严格推理能力的学科，而严格的推理则是数学上发展得很好的主要标志之一。”由此可见，在教学中培养论证推理能力具有重要价值。因此，对于已有结论的正确性提出理性的思考和合乎逻辑的质疑是推理能力培养的高级行为，引导学生从合情推理上升到论证推理是数学教学的根本任务。
“空间与图形”的教学，从以前偏重于演绎推理，调整为现在合情推理与论证推理相结合，即不但要求学生在观察与操作中认识图形的性质，而且进一步要求学生作出理性思考的推理，形成证明的意识，理解证明的过程，掌握证明的格式和基本方法，进而感受公理化思想。
仍以“长方体的认识”教学为例来分析。长方体的认识是在学生直观认识长方体，并且拥有了长方体的有关知识的基础上教学的。在直观感受和抽象思维相结合、合情推理和论证推理相结合方面，教学应增加论证推理的分量，以便做好与中学数学教学的衔接。笔者提出如下教学思路供老师们参考和讨论。
1．从实例抽象出长方体的图形。复习一年级学过的知识。让学生从一堆物体中找出长方体，并且说明辨别长方体的依据是什么，从而明确长方体就是由6个长方形的平面部分围成的物体。
2．让学生就实物或模型研究长方体6个面的大小，认识到: 6个面可能有大有小，但相对的两个面总是相同的。
3．定义长方体的棱和顶点。让学生数一数一个长方体有多少条棱、多少个顶点并交流数的方法。从逐个计数到按群计数，再到根据长方体的基本特征推算：因为长方体有6个面，每个面有4条边，每条棱都是两个面的公共边。所以，一个长方体有4×6÷2=12条棱。同理，可以推算出长方体有8个顶点。从一个一个地数到分组数，再到推理和计算，反映了思维训练的强化和思维活动由低级向高级的发展。
4．关于长方体中“相对的面完全相同”“相对的（即方向相同的）棱长相等”，仅仅让学生通过教具或多媒体的演示，或者通过量一量、比一比的操作活动来认识是不够的。在演示和操作前，可以先引导学生在观察的基础上猜测，即运用空间直觉作出猜测性的判断。在演示或操作后，要及时地将学生引向抽象思维，让他们想一想：如果我们不看教具和动画，也不动手操作，而仅仅根据已有知识，能不能得出同样的结论？例如，根据长方体的6个面都是长方形，以及长方形的对边相等，可以推出长方体中方向相同的每4条棱的长度都相等，进一步又可以证明长方体中相对的面是长与宽分别相等的长方形，所以它们“完全相同”。以上从“直观几何”到“实验几何”再到“论证几何”的教学过程，可使学生在具体的问题情境中既领悟合情推理，又认识到论证推理的意义和作用。
须注意的是，对学生而言，在数学学习中处处都进行“论证推理”是不可能的，正如处处都要用“动手实践”“发现探索”也绝无可能一样。关键是教师要善于把握时机，既要适时适度地让学生经历探索的过程，又要使学生获取演绎论证的体验；既要引导学生通过实验发现猜想，又要使学生通过演绎验证猜想，使之上升为科学的结论，这样才能拓宽发展学生推理能力的空间。（作者单位：南京晓庄学院）■
□责任编辑 邓园生
E-mail: jxjydys@126.com
然而，在当前实施新课程的过程中又出现相反的情况。由于一些教师对动手实践、自主探索、合作交流等学习方式的理解与使用不当，在数学教学过程中只注重合情推理能力的培养，强调通过操作实验归纳出结论，不善于引导学生从合情推理上升到论证推理。以教学“长方体的认识”为例，一位教师在教学时的流程是这样的：
1.通过观察得出结论。首先画出两条平行线，任意作出平行线之间的数条公垂线段，要求学生通过观察，说出这数条公垂线段的关系——相等。
2. 动手实践合作交流。学生分组，各自画平行线的公垂线段，通过动手测量，验证由观察得到的结论。
3.小组汇报，教师归纳。在各组代表汇报的基础上教师进行总结。
一堂课就这样戛然而止了，学生思维能力特别是推理能力的培养显得苍白无力。问题是，如果不仅仅依靠观察与实验，学生能否凭借已有的知识推出未知的结论呢？其实，如果我们在“空间与图形”的教学中，只满足于“合情推理” 模式，强调“科学性让位于可接受性”的观念，那就只会阻碍儿童思维逻辑性与抽象性的发展，不利于学生推理能力的培养与综合素质的提高。
《数学课程标准》在“空间与图形”教学建议中指出，要让学生经历观察、实验、猜想、证明等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例，以发展学生的合情推理的能力和初步的演绎推理的能力。笔者认为，理解和践行这一教学建议，须在厘清“空间与图形”教学中的“钟摆现象”的基础上，引导学生正确认识合情推理与论证推理的内涵与价值，经历从合情推理与论证推理的过程，既在观察、实验、联想等活动中获得数学判断，又掌握论证判断真实性、给出证明的方法，从而训练理性思维，培养推理能力。
“空间与图形”的教学可以培养学生初步的比较与分类、分析与综合、抽象与概括、判断与推理等逻辑思维的能力。因为认识图形的特征，需要在对感性材料进行分析、比较的基础上研究概念之间的关系，需要同中求异或异中求同，在分析的基础上比较事物的异同，进而根据概念的定义和图形性质作出判断并进行推理。如何在数学教学中注重合情推理与论证推理，切實可行地培养学生的推理能力呢？
让我们从合情推理与论证推理的内涵与价值说起。推理是由一个或几个已知判断（前提）推出另一个未知判断（结论）的思维形式。学生获得数学知识的过程实质上是从合情推理上升到演绎推理的过程。合情推理就是合理的猜测。它以类比和归纳为主要形式，是探索规律和发现真理的有效手段，对于培养学生的创造性思维是不可缺少的。然而，合情推理得到的结论未必可靠，例如，在过去，由于人们看到鸟都会飞、金属都沉到水里，于是便归纳出“所有的鸟都会飞”“一切金属的比重都比水大”的结论。但是到后来，发现了与上述结论相矛盾的情况，这就表明合情推理的结论未必可靠。
数学通常被人们看做是一门以严格论证为特征的演绎科学，严格的数学理论总是建立在论证推理的基础上的。论证推理包括演绎推理和完全归纳推理。合情推理导致猜想和发现，论证推理可以证实猜想。正如华罗庚所说，“数学教学实质上是推理的教学”，数学学习是合情推理与论证推理这两种形式不同而又相辅相成的推理交互作用的过程。
数学家与数学教育家历来都十分重视推理能力的训练与培养。史宁中教授指出：“对于推理能力的培养，我们现在缺少的是根据情况预测结果的能力和根据结果探究成因的能力。这两个能力很重要，是创新的基础。前者有利于创造新产品，形成新工艺，后者有利于发现新理论。”合情推理既是数学创造工作赖以进行的必要技能，也是在未来的生活和生产中进行有效思维的需要。因此，合情推理对于培养学生的探索能力和创新精神有着重要的教育价值。
能力的形成绝不等同于知识与技能的获取，它是一个缓慢的过程，有着自身的特点与规律。推理能力的形成不能只停留在浅表的合情推理的层面上。心理学家克鲁茨基在《中小学数学能力心理学》一书中提出：“对教学对象进行推理的能力是卓越数学家最重要的品质；数学是最适宜于发展严格推理能力的学科，而严格的推理则是数学上发展得很好的主要标志之一。”由此可见，在教学中培养论证推理能力具有重要价值。因此，对于已有结论的正确性提出理性的思考和合乎逻辑的质疑是推理能力培养的高级行为，引导学生从合情推理上升到论证推理是数学教学的根本任务。
“空间与图形”的教学，从以前偏重于演绎推理，调整为现在合情推理与论证推理相结合，即不但要求学生在观察与操作中认识图形的性质，而且进一步要求学生作出理性思考的推理，形成证明的意识，理解证明的过程，掌握证明的格式和基本方法，进而感受公理化思想。
仍以“长方体的认识”教学为例来分析。长方体的认识是在学生直观认识长方体，并且拥有了长方体的有关知识的基础上教学的。在直观感受和抽象思维相结合、合情推理和论证推理相结合方面，教学应增加论证推理的分量，以便做好与中学数学教学的衔接。笔者提出如下教学思路供老师们参考和讨论。
1．从实例抽象出长方体的图形。复习一年级学过的知识。让学生从一堆物体中找出长方体，并且说明辨别长方体的依据是什么，从而明确长方体就是由6个长方形的平面部分围成的物体。
2．让学生就实物或模型研究长方体6个面的大小，认识到: 6个面可能有大有小，但相对的两个面总是相同的。
3．定义长方体的棱和顶点。让学生数一数一个长方体有多少条棱、多少个顶点并交流数的方法。从逐个计数到按群计数，再到根据长方体的基本特征推算：因为长方体有6个面，每个面有4条边，每条棱都是两个面的公共边。所以，一个长方体有4×6÷2=12条棱。同理，可以推算出长方体有8个顶点。从一个一个地数到分组数，再到推理和计算，反映了思维训练的强化和思维活动由低级向高级的发展。
4．关于长方体中“相对的面完全相同”“相对的（即方向相同的）棱长相等”，仅仅让学生通过教具或多媒体的演示，或者通过量一量、比一比的操作活动来认识是不够的。在演示和操作前，可以先引导学生在观察的基础上猜测，即运用空间直觉作出猜测性的判断。在演示或操作后，要及时地将学生引向抽象思维，让他们想一想：如果我们不看教具和动画，也不动手操作，而仅仅根据已有知识，能不能得出同样的结论？例如，根据长方体的6个面都是长方形，以及长方形的对边相等，可以推出长方体中方向相同的每4条棱的长度都相等，进一步又可以证明长方体中相对的面是长与宽分别相等的长方形，所以它们“完全相同”。以上从“直观几何”到“实验几何”再到“论证几何”的教学过程，可使学生在具体的问题情境中既领悟合情推理，又认识到论证推理的意义和作用。
须注意的是，对学生而言，在数学学习中处处都进行“论证推理”是不可能的，正如处处都要用“动手实践”“发现探索”也绝无可能一样。关键是教师要善于把握时机，既要适时适度地让学生经历探索的过程，又要使学生获取演绎论证的体验；既要引导学生通过实验发现猜想，又要使学生通过演绎验证猜想，使之上升为科学的结论，这样才能拓宽发展学生推理能力的空间。（作者单位：南京晓庄学院）■
□责任编辑 邓园生
E-mail: jxjydys@126.com