转化与化归思想在高中数学中的应用

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  摘 要:进入高中学习阶段后,相较于初中时候的计算和证明,高中数学更加注重数学的思维应用,加之题干材料较为繁杂、冗长,学生在面对这样的难题往往会容易失分。如果掌握好一定的数学方法,就能够解答相应的题目。在数学试题中,试题的形式往往是由一些简单的内容复合或者经过演化而成的,如果学生能够适当地予以拆分或化简为简单的形式,那么就能正确的解答试题,这种解题的思路就称为转化与化归思想。
  关键词:高中数学;转化与化归;应用
  转化与化归的思想是数学思想的根本,只有掌握了这种思想,学生才能够从根本上解决数学问题,灵活地运用数学知识,提升自己的数学思维。常用的转化与化归思想有题干材料的等价转化、换元法、函数和方程的思想、数形结合的思想等。本文就下面几种方法为例,阐述转化与化归思想的具体应用。
  一、 等价转化思想的应用
  等价转化是指将未知的数学难题转化为能够解决的问题,通过转化的过程,将复杂的材料转化为简单的问题,这种思想在历年的考试试题中屡见不鲜,教师应当在日常授课中注重训练学生的这种意识,使其遇到此类问题时能够自然地想到等价转化思想,从而快速、准确地解答试题。
  例 若x,y,z∈R ,且x y z=1,求1x-1
  1y-11z-1的最小值。
  解析:解题的关键是合理的变形,即等价转化。
  1x-11y-11z-1=1xyz(1-x)(1-y)(1-z)=1xyz(1-x-y-z xy yz zx-xyz)=1x 1y 1z-1≥331xyz-1=33
  xyz-1≥3x y z3-1=8。
  通过将式子进行等价变化,即先进行通分、再整理公式、最后再拆分。将问题化为求1x 1y 1z-1的最小值,最终能够简单地解决。
  二、 换元法思想的应用
  换元法也是数学思想中的一项重要组成内容。通过换元方法,学生可以将高次方程化为低次方程、将分式化为整式、将无理式化为有理式等,最终达到由繁入简的目的。
  例 求函数y=(4-3sinx)(4-3cosx)的最小值。
  解析:我们可以假设t=sinx cosx,其中t∈[-2,2],得到y关于t的函数表达式,最终求得它的最小值。
  三、 函数与方程思想的应用
  函数与方程思想就是根据题干中的材料来构造函数或者方程,对问题进行正确的解答,通过设置未知量来求取未知量。在授课过程中,教师要注重这种思想的传授,让学生能够熟练掌握这种思想进行分析、解题,从而求得正确的答案。
  例 设函数f(x)的定义域为R,对于任意的实数α,β,有f(α) f(β)=2fα β2fα-β2,且fπ3=12,fπ2=0。求证:f(-x)=f(x)=-f(π-x)。
  解析:(1)∵fπ3 fπ3=2fπ3f(0),且fπ3=12,∴f(0)=1。
  又f(-x) f(x)=2f(x)f(0),∴f(-x)=f(x),
  ∵f(x) f(π-x)=2fπ2fx-π2,且fπ2=0,∴f(x)=f(-x)=-f(π-x)。
  四、 數形结合思想的应用
  在高中试题中,有的题干看起来难以理解,但是如果画出它的图形,就会显得较为容易理解,这就是数形结合的思想。数形结合的思想能够将抽象的问题变得更加直观和形象,从而简化计算的过程,使解题方法更加简单、直接。
  例 求函数f(x)=2-sinx2 cosx的值域。
  解析:函数f(x)=2-sinx2 cosx可视为点(2,2),(-cosx,sinx)两点连线的斜率。点(-cosx,sinx)的轨迹为x2 y2=1。
  函数值域即为(2,2)与单位圆x2 y2=1上点连线斜率的范围,过(2,2)且与单位圆相切的斜率存在,我们不妨设为k。
  ∴切线方程为y-2=k(x-2),即,kx-y-2k 2=0,
  ∴满足|2-2k|1 k2=1,解之得k=4±73。函数f(x)的值域为4-73,4 73。
  总之,广大数学教师应当重视转化与化归思想,帮助学生掌握这种思想,使其能够在解题中熟练运用,最终取得较好的分数。
  参考文献:
  [1]陈伟兰.议转化与化归思想的几种方法[J].数学学习与研究,2017(7).
  [2]肖春仔.高中数学中转化与化归思想的应用[J].数学学习与研究,2017(10).
  作者简介:牟振华,高淑娟,黑龙江省大兴安岭区,黑龙江省大兴安岭实验中学。
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