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摘 要：本文基于区间规划的基础上，研究了在不同的交易费用情况下的模糊投资组合。由正态隶属函数对区间数进行估值，并且在修正未来回报额时，考虑了一个符合实际情况的因素——涨跌停板；同时对于用换手率来研究的不足，本文引入新的流动性的定义方法。由上述方法，建立在不同交易费下可调整策略的模糊投资组合模型。
关键词：交易费用；模糊投资组合；隶属函数
1、基本概念
1.1可能性均值和λ-截集
定义1.1.1 关于论域X到[0，1]闭区间上的任意映射μA：X→[0，1]，x→μA（x），都确定X上的一个模糊集合，μ叫做的隶属函数，μ（x） 叫做x 对模糊集的隶属度，记为：={（x，μ（x））|x∈X}。使μ（x）=0.5的点x（0） 称为模糊集的过渡点，此点最具模糊性。
定义1.1.2 设任取λ∈[0，1]，则称λ为的λ-截集，而λ称为阈值或置信水平。
定义1.1.3 设区间数I=al+aμ，则称E（I）=12al+aμ为二元区间数I的期望值，也称为中点值。
定义1.1.4 设二元区间数I=al+aμ，则称W（I）=12al-aμ为二元区间数I的宽度。
1.2可能性预期回报额
涨跌停板制度的限制存在于现实交易市场中。涨跌停板制度要求期货或股票合约在一个交易日中的成交价格不能高于以该合约上一交易日结算价为基准的某一涨跌幅度，同时也不能低于以该合约上一交易日结算价为基准的某一涨跌幅度，如果超出这个范围的报价，那么期货或股票合约将认为无效，也就不能成交。在涨跌停板制度的交易市场下中，涨停板是指前交易日结算价加上允许的最大涨幅构成当日价格上涨的上限；跌停板是指前一交易日结算价减去允许的最大跌幅构成价格下跌的下限。在我们国内证劵市场中，一般A股的涨跌幅以百分之十为限，涨停板就是当日涨幅达到百分之十限为上限；跌停板就是当日跌幅达到百分之十限为上限。如果一只股票已处在涨跌停板，则股票的交易就只能在这个值下。
若进行投资时r0i为资产i的上个交易日的收盘值，如果交易市场上涨率或下跌率的额度为ρ（ρ<1），那么资产i 在未来t天内的最大幅度回报额Ni（ρ）=[NLi，Nυi]=[r0i（1-ρ）t-r0i，r0i（1+ρ）t-r0i]，若同时考虑最大幅度回报额和可能性均值，那么资产i的未来回报额为ri=（rli，rμi）。
2、凸交易费下可调整策略的模糊投资组合模型
在证券投资中交易费用是不可避免的。当交易量xi比较小时，平均每单位资产交易产生的交易费用比较大，但随着交易量xi增加，平均每单位交易量产生的交易费用递减，如果交易量超过一定的量，平均每单位资产交易量产生的交易费用会逐渐增加。出现这中现象是由市场流动资产的数量和买卖双方的心理所影响的，因为当投资者在市场上以一定的价格大量买入某一资产时，如果市场有足够数量的资产还好，如果没有，肯定会导致资产的价格快速上涨，直到涨停板，这样就会导致交易费急速上涨，反之亦然。下面我们讨论的交易量都高于A的交易情形，即当交易费用为一个凸函数的情形。
如果投资者起始投资的风险资产为x0=（x01，x02，…，x0n），投资一段时间之后，风险资产持有量为x=（x1，x2，…，xn），并且设u=（u1，u2，…，un）为投资的上限，并其限制卖空。
ri=（rli，rμi）为资产i的预期回报额，Ri为资产i 的随机回报率。ci为资产i的调整费用。li=（lli，lμi） 为资产i 的流动性值，turni为资产i 的换手率。l0为投资者要求的流动性值。则资产总的调整费用为：c（x）=∑ni=1ci（xi-x0i）。
假定调整后所拥有的收益在ω=（ωl，ωμ）区间，调整后的资产收益为
f（x）=∑ni=1rixi-∑ni=1ci（xi-x0i≤ω）
由前面我们对于资产的流动性可得到xili=xi|ri|/turni≥l0
则平均绝对偏差模糊投资组合模型可表达为：
从约束条件中去掉非线性条件κ+iκ-i=0，ν+iν-i=0，这样模型（PCT1）就能转为为如下形式：
未来的回报额是以区间数出现的，又由于投资者的风险偏好是各不相同的，因此我们引入不同的风险偏好因子（≤0.5），根据我们对风险偏好的定义，我们可得到投资者的未来回报额：
ri=（rli+rui）2++（rui-rli）2
投资者的目的是为了赚钱，因此，对于投资者已投资的股票来说，如果得到负面状态的未来收益估计，那么投资者将会对这只股票进行抛售。因此，对于模糊的投资组合来说，股票未来的收益额ri的区间[rli，rui]，中的rli，rui，我们根据投资者心理预期可知：|rli| 若|rli|>rui，则得到负面的股票收益展望，与投资者的目的相违，因此对于模型（PFT4）可以转化为：
3、总结与展望
本文通过正态隶属函数和涨跌停板联合来估计未来收益额的区间。在考虑证券的流动性时，引入了更加客观的定义方法——收益额与换手率的比值。在此基础上，利用区间数学规划建立新的模型。此外，通过赌博当量法来评估处理风险偏好。在估计投资者的回报额时，也存在一些缺陷，如人们的心理因素变化——羊群效应；人们对于不同的股票的收益，有着不同的心理反应，决定人们不同的投资决定；现实中的投资是一个连续的和动态的过程，而此文只对讨论了单阶段投资过程，因此有待将其推广到更为特殊的情形—连续的多阶段的情形。（作者单位：广东科技学院管理系）
参考文献：
[1] H Markowitz.Portfolio selection[J].The Journal of Finance.1952，7（1）：77-99.
[2] F.Modigliani，M.H.M，The cost of capital Corporationbfinance，and the theory of investment[J].American Economic Review.1958，（48）：261-297.
[3] 路应金，唐小我，周宗放.证券组合投资的区间数线性规划方法[J].系统工程学报.2004，19（1）：33-37.
[2] 陈国华，陈收，汪寿阳.区间数模糊投资组合模型[J].系统工程.2007，25（8）：34-37.
[3] 费忠华，陈又星.姜忠义，徐辉，区间值模糊线性规划在证券组合投资优化中的应用[J].数学的实践与认识.2010，40（7）：25-30.
关键词：交易费用；模糊投资组合；隶属函数
1、基本概念
1.1可能性均值和λ-截集
定义1.1.1 关于论域X到[0，1]闭区间上的任意映射μA：X→[0，1]，x→μA（x），都确定X上的一个模糊集合，μ叫做的隶属函数，μ（x） 叫做x 对模糊集的隶属度，记为：={（x，μ（x））|x∈X}。使μ（x）=0.5的点x（0） 称为模糊集的过渡点，此点最具模糊性。
定义1.1.2 设任取λ∈[0，1]，则称λ为的λ-截集，而λ称为阈值或置信水平。
定义1.1.3 设区间数I=al+aμ，则称E（I）=12al+aμ为二元区间数I的期望值，也称为中点值。
定义1.1.4 设二元区间数I=al+aμ，则称W（I）=12al-aμ为二元区间数I的宽度。
1.2可能性预期回报额
涨跌停板制度的限制存在于现实交易市场中。涨跌停板制度要求期货或股票合约在一个交易日中的成交价格不能高于以该合约上一交易日结算价为基准的某一涨跌幅度，同时也不能低于以该合约上一交易日结算价为基准的某一涨跌幅度，如果超出这个范围的报价，那么期货或股票合约将认为无效，也就不能成交。在涨跌停板制度的交易市场下中，涨停板是指前交易日结算价加上允许的最大涨幅构成当日价格上涨的上限；跌停板是指前一交易日结算价减去允许的最大跌幅构成价格下跌的下限。在我们国内证劵市场中，一般A股的涨跌幅以百分之十为限，涨停板就是当日涨幅达到百分之十限为上限；跌停板就是当日跌幅达到百分之十限为上限。如果一只股票已处在涨跌停板，则股票的交易就只能在这个值下。
若进行投资时r0i为资产i的上个交易日的收盘值，如果交易市场上涨率或下跌率的额度为ρ（ρ<1），那么资产i 在未来t天内的最大幅度回报额Ni（ρ）=[NLi，Nυi]=[r0i（1-ρ）t-r0i，r0i（1+ρ）t-r0i]，若同时考虑最大幅度回报额和可能性均值，那么资产i的未来回报额为ri=（rli，rμi）。
2、凸交易费下可调整策略的模糊投资组合模型
在证券投资中交易费用是不可避免的。当交易量xi比较小时，平均每单位资产交易产生的交易费用比较大，但随着交易量xi增加，平均每单位交易量产生的交易费用递减，如果交易量超过一定的量，平均每单位资产交易量产生的交易费用会逐渐增加。出现这中现象是由市场流动资产的数量和买卖双方的心理所影响的，因为当投资者在市场上以一定的价格大量买入某一资产时，如果市场有足够数量的资产还好，如果没有，肯定会导致资产的价格快速上涨，直到涨停板，这样就会导致交易费急速上涨，反之亦然。下面我们讨论的交易量都高于A的交易情形，即当交易费用为一个凸函数的情形。
如果投资者起始投资的风险资产为x0=（x01，x02，…，x0n），投资一段时间之后，风险资产持有量为x=（x1，x2，…，xn），并且设u=（u1，u2，…，un）为投资的上限，并其限制卖空。
ri=（rli，rμi）为资产i的预期回报额，Ri为资产i 的随机回报率。ci为资产i的调整费用。li=（lli，lμi） 为资产i 的流动性值，turni为资产i 的换手率。l0为投资者要求的流动性值。则资产总的调整费用为：c（x）=∑ni=1ci（xi-x0i）。
假定调整后所拥有的收益在ω=（ωl，ωμ）区间，调整后的资产收益为
f（x）=∑ni=1rixi-∑ni=1ci（xi-x0i≤ω）
由前面我们对于资产的流动性可得到xili=xi|ri|/turni≥l0
则平均绝对偏差模糊投资组合模型可表达为：
从约束条件中去掉非线性条件κ+iκ-i=0，ν+iν-i=0，这样模型（PCT1）就能转为为如下形式：
未来的回报额是以区间数出现的，又由于投资者的风险偏好是各不相同的，因此我们引入不同的风险偏好因子（≤0.5），根据我们对风险偏好的定义，我们可得到投资者的未来回报额：
ri=（rli+rui）2++（rui-rli）2
投资者的目的是为了赚钱，因此，对于投资者已投资的股票来说，如果得到负面状态的未来收益估计，那么投资者将会对这只股票进行抛售。因此，对于模糊的投资组合来说，股票未来的收益额ri的区间[rli，rui]，中的rli，rui，我们根据投资者心理预期可知：|rli|
3、总结与展望
本文通过正态隶属函数和涨跌停板联合来估计未来收益额的区间。在考虑证券的流动性时，引入了更加客观的定义方法——收益额与换手率的比值。在此基础上，利用区间数学规划建立新的模型。此外，通过赌博当量法来评估处理风险偏好。在估计投资者的回报额时，也存在一些缺陷，如人们的心理因素变化——羊群效应；人们对于不同的股票的收益，有着不同的心理反应，决定人们不同的投资决定；现实中的投资是一个连续的和动态的过程，而此文只对讨论了单阶段投资过程，因此有待将其推广到更为特殊的情形—连续的多阶段的情形。（作者单位：广东科技学院管理系）
参考文献：
[1] H Markowitz.Portfolio selection[J].The Journal of Finance.1952，7（1）：77-99.
[2] F.Modigliani，M.H.M，The cost of capital Corporationbfinance，and the theory of investment[J].American Economic Review.1958，（48）：261-297.
[3] 路应金，唐小我，周宗放.证券组合投资的区间数线性规划方法[J].系统工程学报.2004，19（1）：33-37.
[2] 陈国华，陈收，汪寿阳.区间数模糊投资组合模型[J].系统工程.2007，25（8）：34-37.
[3] 费忠华，陈又星.姜忠义，徐辉，区间值模糊线性规划在证券组合投资优化中的应用[J].数学的实践与认识.2010，40（7）：25-30.