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摘 要:当今的时代是科学技术迅猛发展的时代,新的科学知识层出不穷。这就要求学校培养出来的学生必须具有获得知识的能力和解决问题的思想。微元思想是学习高中物理所要具备的一种重要的思维方法,在中学物理教学中经常应用的到。因此,本文就是通过介绍怎样培养中学生的微元思想和高中物理教学中的一些微元法应用范例来探讨微元思想在高中物理教学中的应用的。
关键词:微元法; 无穷小量; 分割; 近似
从数学上讲,微元法是一种微分的思想方法,即求导法。在物理科学中,可以这样定义它:微元法就是把研究对象分为无限多个极小部分(即微元)进行分析处理,从而找出被研究对象整体变化规律的一种思维方法。取微元作为研究对象,可准确的描述变化的物理过程的瞬时状态。微元在求和更是解决物理问题中变量积累的重要方法,这些微元既遵循系统的整体规律有有其单独的特征。它既是一种深刻的思想方法,又是一种解决物理问题的精到的操作方法;它的载体包含物理学中力、热、光、电、原子等领域的诸多因素,包纳了近似、对称、等效、隔离的多种科学方法,也需要几何、三角函数、方程、数列、极限、数学归纳等数学知识与方法作为支持。运用微元法的目的是为了将不易分析和难以确定的研究对象或物理过程变为容易分析的物理模型。那么怎样在高中物理教学中培养学生的微元思想呢?
一、让学生明白微元法的定义:通过教师的实践教学,概括微元法的定义。例如在学习瞬时速度时,教师就可以初步介绍无限分割与近似原理,让学生正确理解v=△s/△t的实際意义,虽然这时他们还不能利用极限知识完全理解△t—0这一概念,但可以用“我们现在的仪器无法分辨的时间”来解释。之后在讲解加速度这一节时,就可以由教师给微元法下定义,并且让学生试着用微元法结合v-t图像来推导解释匀变速直线运动的位移公式。教师在下定义时一定要抓住无限分割与近似这两个要点。
二、让学生了解用微元法解决高中物理问题的基本思想及步骤:微元法的关键是无限分割与近似处理,用微元法解决物理问题的特点时“小处着眼,小处着手”,对系统做整体观察后,取出该系统中的某一具有代表性的微元进行分析,通过对微元进行近似处理,在结合其他数理方法使问题最终解决。所以微元法解决物理问题的两个要诀就是取微元与对微元进行近似处理,取微元对微元进行无限分割。分割的对象可以是各种几何体,得到“线元”“面元”“体元”“角元”等等;可以分割一段时间或过程,得到“时间元”“元过程”;也可以对各种物理量进行分割,得到诸如“元电荷”“元力”“元功”“元电流”等相应的元物理量。这些元都是通过无限分割的到的无穷小量,但解决问题就是要从这些无穷小量入手,对微元近似处理,即通过对微元性质做合理的近似描述,在微元是无穷小量的前提下,通过求极限达到向精确描述的逼近。即微元法解决问题的一般思维和操作程序为:
(1)隔开选择恰当微元作为突破整体研究的对象。微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间,但应就有整体对象的基本特征。
(2)将微元模型化(如视为点电荷、质点、匀速直线运动、匀速转动等)并运用相关物理规律,求解这个微元与所求物体的关联。
(3)将一个微元的求解结果推广到其它微元,并充分利用多微元间的对称关系、矢量方向关系、近似极限关系,对各微元的解出结果进行叠加,以求出整体量的合理解答。
三、帮助学生构建微元理想模型在学习了力学和电磁学以后,中学生的抽象思维已有一定的发展,在上完高中二年级后,教师就可以提出构建微元法理想模型。方式可以多样化,如分组讨论总结、师生课堂讨论等。就如同中学物理中的其他理想模型一样,微元法也有其独有的特点,学生可通过听老师的讲解在习题中应用,抽象归纳出微元法的这些特点。这对学生的抽象思维能力要求较高,所以老师在这项工作中还是起着主要作用。例如:如图一所示,将质量为m的物体从山脚拉到高为h的山顶,且拉力总是与物体所经过的坡面平行,已知物体与坡面的摩擦因数为μ,山脚到山顶的水平距离为s,求将物体从山脚拉到山顶至少要做多少功?在此问题中,由于摩擦力在山坡的不同位置其方向、大小都会发生变化,要求出克服摩擦力所做的功,可通过取一微元段进行分析,求的摩擦力做的功。这时,教师可以组织一些类似的题目,让学生分组讨论这些微元的共同特征,从而建立线元模型,在讨论的同时让同学正确分析各种因数对物理过程的影响,突出主要因数、次要因数(如假设每个微元上的摩擦力为恒力),同理,在复习电磁感应时也可建立面元模型。
图一
图二
四、通过举例说明微元法的使用:在运用模型的过程中体会微元法的作用,教师可收集一些有关微元法运用的具有代表性的例子,然后在讲解中让学生体会微元法的方便与简洁,例如:如图二所示,一辆做变速运动的汽车,我们要确定汽车经过A点的瞬时速度。从A点起取一小段位移AB求出汽车在这段位移上的平均速度,这个平均速度就可以近似表示汽车经过A点的快慢程度,从A点起所取得位移越小AC AD等,汽车在该段时间内的速度变化就越小,所得的平均速度就越能精确地描述汽车经过A点的快慢程度,当位移足够小(时间足够短)时,测量仪器已经分辨不出匀速运动和变速运动的差别,可以认为汽车在这段时间内的运动是匀速的,所得的平均速度就等于汽车经过A点的瞬时速度了。根据不确定原理,当某一物体的位置越精确时,其速度等其他量就越不确定,所以有时要用平均值代替瞬时值。与此例中类似的情况在物理中是很常见的,这在科学研究中也常用到,因此让学生掌握这种方法将对他们很有帮助。
五、在习题中加以引导:在学生逐步理解微元法的基础上,分别对“面元”“体元”“线元”“元过程”等典型模型进行分析,并分类布置专项练习题,让微元法思维在学生头脑中潜移默化,真正成为他们今后学习的工具。
总结起来说,无论是对于我们的学习还是对于我们的生活,微元思想都是一种很重要的思维方式。在数学等其他学科的研究领域微元思想的应用也很广泛,在我们身边的日常生活中,如建筑等方面应用也是很广的。
参考文献
[1] 刘志雅.思维心理学,2005。
[2] 沈晨.微元法简说,2006(12).38-40
[3] 王棣生.中学物理创新教法思维训练方案,1999
收稿日期:2014-08-03
关键词:微元法; 无穷小量; 分割; 近似
从数学上讲,微元法是一种微分的思想方法,即求导法。在物理科学中,可以这样定义它:微元法就是把研究对象分为无限多个极小部分(即微元)进行分析处理,从而找出被研究对象整体变化规律的一种思维方法。取微元作为研究对象,可准确的描述变化的物理过程的瞬时状态。微元在求和更是解决物理问题中变量积累的重要方法,这些微元既遵循系统的整体规律有有其单独的特征。它既是一种深刻的思想方法,又是一种解决物理问题的精到的操作方法;它的载体包含物理学中力、热、光、电、原子等领域的诸多因素,包纳了近似、对称、等效、隔离的多种科学方法,也需要几何、三角函数、方程、数列、极限、数学归纳等数学知识与方法作为支持。运用微元法的目的是为了将不易分析和难以确定的研究对象或物理过程变为容易分析的物理模型。那么怎样在高中物理教学中培养学生的微元思想呢?
一、让学生明白微元法的定义:通过教师的实践教学,概括微元法的定义。例如在学习瞬时速度时,教师就可以初步介绍无限分割与近似原理,让学生正确理解v=△s/△t的实際意义,虽然这时他们还不能利用极限知识完全理解△t—0这一概念,但可以用“我们现在的仪器无法分辨的时间”来解释。之后在讲解加速度这一节时,就可以由教师给微元法下定义,并且让学生试着用微元法结合v-t图像来推导解释匀变速直线运动的位移公式。教师在下定义时一定要抓住无限分割与近似这两个要点。
二、让学生了解用微元法解决高中物理问题的基本思想及步骤:微元法的关键是无限分割与近似处理,用微元法解决物理问题的特点时“小处着眼,小处着手”,对系统做整体观察后,取出该系统中的某一具有代表性的微元进行分析,通过对微元进行近似处理,在结合其他数理方法使问题最终解决。所以微元法解决物理问题的两个要诀就是取微元与对微元进行近似处理,取微元对微元进行无限分割。分割的对象可以是各种几何体,得到“线元”“面元”“体元”“角元”等等;可以分割一段时间或过程,得到“时间元”“元过程”;也可以对各种物理量进行分割,得到诸如“元电荷”“元力”“元功”“元电流”等相应的元物理量。这些元都是通过无限分割的到的无穷小量,但解决问题就是要从这些无穷小量入手,对微元近似处理,即通过对微元性质做合理的近似描述,在微元是无穷小量的前提下,通过求极限达到向精确描述的逼近。即微元法解决问题的一般思维和操作程序为:
(1)隔开选择恰当微元作为突破整体研究的对象。微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、一个小体积、小质量、一小段时间,但应就有整体对象的基本特征。
(2)将微元模型化(如视为点电荷、质点、匀速直线运动、匀速转动等)并运用相关物理规律,求解这个微元与所求物体的关联。
(3)将一个微元的求解结果推广到其它微元,并充分利用多微元间的对称关系、矢量方向关系、近似极限关系,对各微元的解出结果进行叠加,以求出整体量的合理解答。
三、帮助学生构建微元理想模型在学习了力学和电磁学以后,中学生的抽象思维已有一定的发展,在上完高中二年级后,教师就可以提出构建微元法理想模型。方式可以多样化,如分组讨论总结、师生课堂讨论等。就如同中学物理中的其他理想模型一样,微元法也有其独有的特点,学生可通过听老师的讲解在习题中应用,抽象归纳出微元法的这些特点。这对学生的抽象思维能力要求较高,所以老师在这项工作中还是起着主要作用。例如:如图一所示,将质量为m的物体从山脚拉到高为h的山顶,且拉力总是与物体所经过的坡面平行,已知物体与坡面的摩擦因数为μ,山脚到山顶的水平距离为s,求将物体从山脚拉到山顶至少要做多少功?在此问题中,由于摩擦力在山坡的不同位置其方向、大小都会发生变化,要求出克服摩擦力所做的功,可通过取一微元段进行分析,求的摩擦力做的功。这时,教师可以组织一些类似的题目,让学生分组讨论这些微元的共同特征,从而建立线元模型,在讨论的同时让同学正确分析各种因数对物理过程的影响,突出主要因数、次要因数(如假设每个微元上的摩擦力为恒力),同理,在复习电磁感应时也可建立面元模型。
图一
图二
四、通过举例说明微元法的使用:在运用模型的过程中体会微元法的作用,教师可收集一些有关微元法运用的具有代表性的例子,然后在讲解中让学生体会微元法的方便与简洁,例如:如图二所示,一辆做变速运动的汽车,我们要确定汽车经过A点的瞬时速度。从A点起取一小段位移AB求出汽车在这段位移上的平均速度,这个平均速度就可以近似表示汽车经过A点的快慢程度,从A点起所取得位移越小AC AD等,汽车在该段时间内的速度变化就越小,所得的平均速度就越能精确地描述汽车经过A点的快慢程度,当位移足够小(时间足够短)时,测量仪器已经分辨不出匀速运动和变速运动的差别,可以认为汽车在这段时间内的运动是匀速的,所得的平均速度就等于汽车经过A点的瞬时速度了。根据不确定原理,当某一物体的位置越精确时,其速度等其他量就越不确定,所以有时要用平均值代替瞬时值。与此例中类似的情况在物理中是很常见的,这在科学研究中也常用到,因此让学生掌握这种方法将对他们很有帮助。
五、在习题中加以引导:在学生逐步理解微元法的基础上,分别对“面元”“体元”“线元”“元过程”等典型模型进行分析,并分类布置专项练习题,让微元法思维在学生头脑中潜移默化,真正成为他们今后学习的工具。
总结起来说,无论是对于我们的学习还是对于我们的生活,微元思想都是一种很重要的思维方式。在数学等其他学科的研究领域微元思想的应用也很广泛,在我们身边的日常生活中,如建筑等方面应用也是很广的。
参考文献
[1] 刘志雅.思维心理学,2005。
[2] 沈晨.微元法简说,2006(12).38-40
[3] 王棣生.中学物理创新教法思维训练方案,1999
收稿日期:2014-08-03