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摘要：函数方程是高中数学课程中的重点难点，也因此一些高中生在学习时、做函数方程的相关试题时，往往会感到手足无措，最终考试的成绩也就不理想。但是通过利用函数方程的连续性、有界性这两种性质可以解决部分函数方程试题。因此，本文在结合实际经验的基础上，举例介绍了如何利用函数的连续性、有界性快速高效地解答函数方程的试题。希望能够为广大有志于破解函数方程难题的高中生一点帮助。
关键词：高中数学；函数方程；连续解；连续解
一、函数方程的连续解
这是运用函数方程的连续性进行解题的方法。接下来将通过含变上、下限积分的函数方程和不含积分号也不含未知函数导数的函数方程、不含积分号但含未知函数导数的函数方程这三种函数方程进行具体的说明如何运用函数方程的连续性解题。
（一）含变上、下限积分的函数方程
有些函数方程含有上、下变限积分，这些变上、下限积分的被积函数或积分上、下限中就是未知函数所处的位置，而要求得微分方程就要通过求导数来进行转变[1]。同时需要注意的是，这个微分方程的特解中包含着一个需要求解的函数。这一过程的进行需要先根据变上、下限积分上、下限确定初始条件。
例：设f（x）在[0，+∞）上可导，f（0）=0，其反函数为g（x）。若g（t）dt=x2ex，求f（x）。
解：两边对g（t）dt=x2ex关于x求导，得：g（f（x））f′（x）=2xex+x2ex注意到g（f（x））=x，故xf′（x）=2xex+x2ex。x≠0时，有f′（x）=2ex+xex，f（x）=（x+1）ex+c，（x≠0）。由于f（x）在x=0连续，则有f（x）=[（x+1）ex+c]=1+c=0则c=﹣1。可知f（x）=（x+1）ex-1。
（二）不含积分号也不含未知函数导数的函数方程
使用导数定义得出f′（x）表达式，即未知函数f（x）的微分方程，一般用在无法确定未知函数是否可导的时候。
例：在所给等式中令x=y=0，可得：f（0）=0。即f（y）=f（0）=0。则f′（x）= （1+4f2（x））=f′（0）（1+4f2（x））=a（1+4f2（x））=a+4af2（x），则可知=adx，可解得f（x）=tg（2ax+c）注意到f（0）=0，故c=0。于是f（x）=tg（2ax）。
（三）不含积分号但含未知函数导数的函数方程
在这种情况下，求解函数方程其实就是求解微分方程。
例：设f（x）在[0，+∞）上连续，且f（x）=1，且当m→+∞时，+y=f（x）的一切解都趋于1。
解：此微分方程是一阶线性方程，可运用常数变易法解得y=e-x[∫f（x）exdx+c]=e-x[f（t）etdt+c]=。因f（x）=1，故x充分大时，有f（x）>，因而f（x）ex>，f（t）etdt>dt=（ex`-ex）→+∞，（→+∞）。即（t）etdt=+∞。于是f（x）=1。
由上文所述诸例可看出，当前函数方程尚未有一个较为具有通用性的方法。因此在解题时，需要仔细分析思考题目中所给条件，然后选择合适的解法进行解答。同时在利用函数方程的连续性进行解题时，还要注意题目中所给条件是否符合函数方程连续性的前提条件。
二、函数方程的有界解
所谓函数的有界性是指，如果函数在定义域x所属范围内，即D内连续，且存在一个正数M，使在上的函数值都满足则称函数在有上界。如果函数在定义域内连续，且存在一个正数N，使在上的函数值都满足则称函数在有下界。当这两个条件同时满足时，则称函数在内有界。以下简举两例介绍三角函数的有界解法。
例1：若f（x），g（x）满足方程f（x-y）-f（x+y）=2g（x）g（y），且二者为R→R的连续函数，f（x）≠C，同时supf=1，inff=﹣1。请证明令α=inf{x：g（x）=0，x>0}时，则0<α<+∞。
证：假设α=+∞，则在（0，+∞）上g（x）恒大于0或恒小于0，任取x>0。
则有：f（0）-f（2mx）=[f（2（k-1））-f（2kx）]=2g（x）（（2k-1）x）
∵g2（kx）-g2（x）=g（（k+1）x）g（（k-1）x）>0，若k>1；可得g（x）g（（2k-1）x≥g2（x）。∴2≥f（0）-f（2mx）≥2mg2（x），令m→∞，∴g（x）=0，矛盾。假设α=0，则存在→0+，s.t.g（）=0，n=1，2，……
∵1-f（2x）=2g2（x）∴f（2）=1，n=1，2，……∵f（y-）-f（y+）=2g（y）g（）=0∴f（2k）=f（0）=1，k，n∈Z+
集合{2k：k，n∈Z+}在R+上，又f（x）為连续偶函数，所以f（x）=1，矛盾，故可证得0<α<+∞。
例2：若f（x），g（x）为方程f（x-y）-f（x+y）=2g（x）g（y）的解，且满足二者为R→R的连续函数，f（x）≠C，同时supf=1，inff=﹣1的条件，同时α=inf{x：g（x）=0，x>0}。请证明f（x），g（x）是以2α为周期的周期函数。
证：f（α-x）-f（α+x）=2g（α）g（x）=0，∴f（x-α）=f（x+α），故f（x）是以2α为周期的周期函数。
[g（α-x）+g（α+x）]2=g2（α-x）+g2（α+x）+2g（α-x）g（α+x）=[1-f（2α-2x）]+[1-f（2α+2x）]+2[g2（α）-g2（x）]=1-[f（﹣2x）+f（2x）]-g2（x）=1-f（2x）-2g2（x）=0∴g（x-α）=﹣g（α-x）=g（α+x），故g（x）是以2α为周期函数。
由上例可知，当前考察函数方程的有界性这一知识点的试题复杂多变，对高中生来说实在是“超纲”了。针对于此，如果一些高中生在遇到这种题目时想要获得一个比较理想的成绩，首先还是要具有牢固的基础知识，同时还要多了解高等数学的相关知识，平日里在这方面也要多下苦功夫。
三、结束语
可知函数方程由于是以函数作为未知量的方程，因此尚无一般性的解法，在解答时就比较困难。然而通过熟练地掌握函数方程的基本知识点并且灵活运用这些知识能够解决大部分函数方程相关问题。因此为了获得一个比较理想的成绩，高中生在平日学习时，就应该好好学习函数方程的基础知识点，争取对其有一个较为系统、深刻的了解。同时还应该注意训练灵活运用这些知识解决问题的能力。（作者单位：湖南省怀化市湖天中学）
参考文献
[1]陈佳.浅谈中学数学方程与函数关系[J].教育科学，2016，（5）：00285-00285.
关键词：高中数学；函数方程；连续解；连续解
一、函数方程的连续解
这是运用函数方程的连续性进行解题的方法。接下来将通过含变上、下限积分的函数方程和不含积分号也不含未知函数导数的函数方程、不含积分号但含未知函数导数的函数方程这三种函数方程进行具体的说明如何运用函数方程的连续性解题。
（一）含变上、下限积分的函数方程
有些函数方程含有上、下变限积分，这些变上、下限积分的被积函数或积分上、下限中就是未知函数所处的位置，而要求得微分方程就要通过求导数来进行转变[1]。同时需要注意的是，这个微分方程的特解中包含着一个需要求解的函数。这一过程的进行需要先根据变上、下限积分上、下限确定初始条件。
例：设f（x）在[0，+∞）上可导，f（0）=0，其反函数为g（x）。若g（t）dt=x2ex，求f（x）。
解：两边对g（t）dt=x2ex关于x求导，得：g（f（x））f′（x）=2xex+x2ex注意到g（f（x））=x，故xf′（x）=2xex+x2ex。x≠0时，有f′（x）=2ex+xex，f（x）=（x+1）ex+c，（x≠0）。由于f（x）在x=0连续，则有f（x）=[（x+1）ex+c]=1+c=0则c=﹣1。可知f（x）=（x+1）ex-1。
（二）不含积分号也不含未知函数导数的函数方程
使用导数定义得出f′（x）表达式，即未知函数f（x）的微分方程，一般用在无法确定未知函数是否可导的时候。
例：在所给等式中令x=y=0，可得：f（0）=0。即f（y）=f（0）=0。则f′（x）= （1+4f2（x））=f′（0）（1+4f2（x））=a（1+4f2（x））=a+4af2（x），则可知=adx，可解得f（x）=tg（2ax+c）注意到f（0）=0，故c=0。于是f（x）=tg（2ax）。
（三）不含积分号但含未知函数导数的函数方程
在这种情况下，求解函数方程其实就是求解微分方程。
例：设f（x）在[0，+∞）上连续，且f（x）=1，且当m→+∞时，+y=f（x）的一切解都趋于1。
解：此微分方程是一阶线性方程，可运用常数变易法解得y=e-x[∫f（x）exdx+c]=e-x[f（t）etdt+c]=。因f（x）=1，故x充分大时，有f（x）>，因而f（x）ex>，f（t）etdt>dt=（ex`-ex）→+∞，（→+∞）。即（t）etdt=+∞。于是f（x）=1。
由上文所述诸例可看出，当前函数方程尚未有一个较为具有通用性的方法。因此在解题时，需要仔细分析思考题目中所给条件，然后选择合适的解法进行解答。同时在利用函数方程的连续性进行解题时，还要注意题目中所给条件是否符合函数方程连续性的前提条件。
二、函数方程的有界解
所谓函数的有界性是指，如果函数在定义域x所属范围内，即D内连续，且存在一个正数M，使在上的函数值都满足则称函数在有上界。如果函数在定义域内连续，且存在一个正数N，使在上的函数值都满足则称函数在有下界。当这两个条件同时满足时，则称函数在内有界。以下简举两例介绍三角函数的有界解法。
例1：若f（x），g（x）满足方程f（x-y）-f（x+y）=2g（x）g（y），且二者为R→R的连续函数，f（x）≠C，同时supf=1，inff=﹣1。请证明令α=inf{x：g（x）=0，x>0}时，则0<α<+∞。
证：假设α=+∞，则在（0，+∞）上g（x）恒大于0或恒小于0，任取x>0。
则有：f（0）-f（2mx）=[f（2（k-1））-f（2kx）]=2g（x）（（2k-1）x）
∵g2（kx）-g2（x）=g（（k+1）x）g（（k-1）x）>0，若k>1；可得g（x）g（（2k-1）x≥g2（x）。∴2≥f（0）-f（2mx）≥2mg2（x），令m→∞，∴g（x）=0，矛盾。假设α=0，则存在→0+，s.t.g（）=0，n=1，2，……
∵1-f（2x）=2g2（x）∴f（2）=1，n=1，2，……∵f（y-）-f（y+）=2g（y）g（）=0∴f（2k）=f（0）=1，k，n∈Z+
集合{2k：k，n∈Z+}在R+上，又f（x）為连续偶函数，所以f（x）=1，矛盾，故可证得0<α<+∞。
例2：若f（x），g（x）为方程f（x-y）-f（x+y）=2g（x）g（y）的解，且满足二者为R→R的连续函数，f（x）≠C，同时supf=1，inff=﹣1的条件，同时α=inf{x：g（x）=0，x>0}。请证明f（x），g（x）是以2α为周期的周期函数。
证：f（α-x）-f（α+x）=2g（α）g（x）=0，∴f（x-α）=f（x+α），故f（x）是以2α为周期的周期函数。
[g（α-x）+g（α+x）]2=g2（α-x）+g2（α+x）+2g（α-x）g（α+x）=[1-f（2α-2x）]+[1-f（2α+2x）]+2[g2（α）-g2（x）]=1-[f（﹣2x）+f（2x）]-g2（x）=1-f（2x）-2g2（x）=0∴g（x-α）=﹣g（α-x）=g（α+x），故g（x）是以2α为周期函数。
由上例可知，当前考察函数方程的有界性这一知识点的试题复杂多变，对高中生来说实在是“超纲”了。针对于此，如果一些高中生在遇到这种题目时想要获得一个比较理想的成绩，首先还是要具有牢固的基础知识，同时还要多了解高等数学的相关知识，平日里在这方面也要多下苦功夫。
三、结束语
可知函数方程由于是以函数作为未知量的方程，因此尚无一般性的解法，在解答时就比较困难。然而通过熟练地掌握函数方程的基本知识点并且灵活运用这些知识能够解决大部分函数方程相关问题。因此为了获得一个比较理想的成绩，高中生在平日学习时，就应该好好学习函数方程的基础知识点，争取对其有一个较为系统、深刻的了解。同时还应该注意训练灵活运用这些知识解决问题的能力。（作者单位：湖南省怀化市湖天中学）
参考文献
[1]陈佳.浅谈中学数学方程与函数关系[J].教育科学，2016，（5）：00285-00285.