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数学课堂小结是课堂教学必不可少的一个环节，它不仅可以帮助学生掌握具体的知识和技能,还可以促进认知结构的形成,新知识模块的建立,解题技能的优化和思想方法的提炼，等等.尽管课堂小结对整个课堂教学有着举足轻重的作用，但是审视我们的课堂小结，有些数学教师或多或少地存在忽视数学课堂小结这一环节，有的对课堂小结匆忙一带而过，有的甚至由于下课时间到了也就“省略”掉了.我认为数学课堂小结不该成为被遗忘的角落，这对学生系统、有效地掌握数学课堂知识有很大影响，能否恰当地进行课堂小结，并充分发挥小结的作用，是提升课堂教学有效性的一个重要因素.下面结合自己的教学实践对数学课堂小结方面谈谈肤浅的认识.
一、整理知识，恰当评价，关注每名学生的发展
一个课堂小结意味着学习将进入另一个新的阶段，前面的学习和知识将作为一个新的起点.小结是教学过程中一个固定的程式和必要的环节，其实更是上课教师教育理念和智慧的体现.例如我在高三复习（选物理化学班）设计了这样一道开放性题目：在平面直角坐标系中，已知A（-2，0），B（2，0）,请补充条件后，求轨迹方程.课堂上同学们思维十分活跃，列出许多方法，在生A加了一个条件并采用交轨法求出方程后，我这样做出了如下的小结：很好，生A在求轨迹方程时采用了交轨法，即引入参数，寻找动点的诸个方程，直接消参得方程.交轨法在某种意义上也称消去法，这种方法是由一些元素量间的已知等量关系，通过恒等变换，消去其中的某些元素，得出其他一些元素间的等量关系，从而求动点的轨迹方程.求轨迹方程时还要注意轨迹的纯粹性和完备性，要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”的不同.
这个片段看起来不是那么精彩，甚至感到有些啰嗦.但我认为：课堂小结除了让学生有一个反思和梳理知识的机会之外，还有一个重要的目的就是帮助那些学困生重新整理知识，强化记忆，巩固所学知识.像“学了哪些知识”之类的陈述型小结，尽量让“学困生”完成；像“应注意什么”之类的陈述型小结可先让“中等生”完成；概括性比较强或深层次的“反思型”的小结则由优等生完成.
我们在评价中应该有鼓励、批评，更有学习方法的指导，让学生知道“课堂上自己该怎么做”，解决问题要不断追求，勇于创新.同时，也要求学生明白“自己做得怎么样”“应该怎样进行学习”，引导学生和其他同学横向比较自己的学习情况，反思总结自己的前期行为，促进学习能力提高.
二、提炼思想，承前启后，激发学生的求知欲望
数学课主要目的是让学生获得数学基本知识和技能，并发展数学思维能力.有效的课堂小结可以帮助学生再次经历核心内容，掌握一些数学思想方法，并有可能为进行下一阶段学习提供思路、目标和内容等.
例如，在高三二轮“平面向量的应用”的教学中，在讲解完成下面的例题之后，（2008年青岛市检测卷）已知向量a=(cosα,sinα)，b=(2-sinα,cosα)，α∈-π2,π2.（1）若|a+b|=3+1，求α的值；（2）若向量c=(2,sinα)，求(a-c)•b的最大值.
我进行了这样的小结：本题考查的是平面向量在三角函数中的应用，主要通过向量的坐标运算、模、数量积等知识的运用，将问题化归为三角函数，而后再具体用三角函数知识来解决问题.平面向量除了在三角函数中应用，还在函数、数列等方面应用，下面我们来看下一题……
这样的小结，可以帮助学生整理所学知识，体会平面向量在三角函数中应用的基本方法，潜移默化地渗透科学的思想方法.同时，为学生进行后面的学习创设意境，埋下伏笔，使前后内容衔接严密，过渡自然.同时还可以激发学生探究的欲望，为他们进行开放性思维添加了充足的润滑剂，有利于发展学生的独创思维.
三、自主体验，合作交流，优化学习方法
“不可言传，只可意会”给教学的启示是：学习中，诸多的知识不可能全部由教师传授.建构主义认为，学习不是知识由教师向学生的传递，而是学生建构自己的知识的过程，学习者不是被动的信息吸收者，相反，是主动地建构信息的意义，这种建构不可能由其他人代替.
下面是我在执教“椭圆复习课”中的一个教学片段:
教师在多媒体中出示如下的例题：当m为何值时，直线l：y=x+m与椭圆x2+2y2=2，①有一个交点？②有两个交点？③没有交点？
生1：联立方程组,用Δ法进行判断.
生2：老师，也可利用几何法求解.设F1(1,0)关于直线l:y=x+m的对称点F1′，可求得F1′(-m,m-1)，则dmin=|F1′F2|=(-m-1)2+(m-1)2=2(m2+1)，所以，当dmin=2(m2+1)=22，即m=±3时，直线与椭圆相切……
生3：也可将椭圆转化为圆处理，先将椭圆化为x22+y2=1，然后设x=2x′,y=y′，椭圆变为x′2+y′2=1，同时直线变为y′=2x′+m，所以原题变为：当m为何值时，直线y′=2x′+m与圆x′2+y′2=1，①有一个交点？②有两个交点？③没有交点？因而利用几何法很快可以求解到答案……
面对以上的三种解法，我并没有马上引导学生应该怎么做，也不是根据自己的经验评价这些方法的优劣，而是创造环节让学生继续活动，自主体验，自我小结.
师：以上三名同学都非常不错，都说出了自己的方法.现在，请每名同学与小组的同学交流一下，交流每种方法所花的时间、精力和计算的难易程度等，并比较各种方法的优劣.然后，讨论一下，以上的三种方法哪一种是解决这类问题的常规方法？我们以后该采用哪一种方法求解？
在我们的解题过程中，面对学生的多种方法，如何优化计算方法是高中数学解题教学中经常面对的问题.我们教师引导学生合作交流，自主体验，不仅使他们体会到同一个数学问题可以从不同角度去分析,可以获得不同的解决方法，还能及时纠正自己在思维活动中的偏差，在信息交流中体会优劣，并找出最优和最适合自己的方法，达到“此时无声胜有声”的境界.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、整理知识，恰当评价，关注每名学生的发展
一个课堂小结意味着学习将进入另一个新的阶段，前面的学习和知识将作为一个新的起点.小结是教学过程中一个固定的程式和必要的环节，其实更是上课教师教育理念和智慧的体现.例如我在高三复习（选物理化学班）设计了这样一道开放性题目：在平面直角坐标系中，已知A（-2，0），B（2，0）,请补充条件后，求轨迹方程.课堂上同学们思维十分活跃，列出许多方法，在生A加了一个条件并采用交轨法求出方程后，我这样做出了如下的小结：很好，生A在求轨迹方程时采用了交轨法，即引入参数，寻找动点的诸个方程，直接消参得方程.交轨法在某种意义上也称消去法，这种方法是由一些元素量间的已知等量关系，通过恒等变换，消去其中的某些元素，得出其他一些元素间的等量关系，从而求动点的轨迹方程.求轨迹方程时还要注意轨迹的纯粹性和完备性，要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”的不同.
这个片段看起来不是那么精彩，甚至感到有些啰嗦.但我认为：课堂小结除了让学生有一个反思和梳理知识的机会之外，还有一个重要的目的就是帮助那些学困生重新整理知识，强化记忆，巩固所学知识.像“学了哪些知识”之类的陈述型小结，尽量让“学困生”完成；像“应注意什么”之类的陈述型小结可先让“中等生”完成；概括性比较强或深层次的“反思型”的小结则由优等生完成.
我们在评价中应该有鼓励、批评，更有学习方法的指导，让学生知道“课堂上自己该怎么做”，解决问题要不断追求，勇于创新.同时，也要求学生明白“自己做得怎么样”“应该怎样进行学习”，引导学生和其他同学横向比较自己的学习情况，反思总结自己的前期行为，促进学习能力提高.
二、提炼思想，承前启后，激发学生的求知欲望
数学课主要目的是让学生获得数学基本知识和技能，并发展数学思维能力.有效的课堂小结可以帮助学生再次经历核心内容，掌握一些数学思想方法，并有可能为进行下一阶段学习提供思路、目标和内容等.
例如，在高三二轮“平面向量的应用”的教学中，在讲解完成下面的例题之后，（2008年青岛市检测卷）已知向量a=(cosα,sinα)，b=(2-sinα,cosα)，α∈-π2,π2.（1）若|a+b|=3+1，求α的值；（2）若向量c=(2,sinα)，求(a-c)•b的最大值.
我进行了这样的小结：本题考查的是平面向量在三角函数中的应用，主要通过向量的坐标运算、模、数量积等知识的运用，将问题化归为三角函数，而后再具体用三角函数知识来解决问题.平面向量除了在三角函数中应用，还在函数、数列等方面应用，下面我们来看下一题……
这样的小结，可以帮助学生整理所学知识，体会平面向量在三角函数中应用的基本方法，潜移默化地渗透科学的思想方法.同时，为学生进行后面的学习创设意境，埋下伏笔，使前后内容衔接严密，过渡自然.同时还可以激发学生探究的欲望，为他们进行开放性思维添加了充足的润滑剂，有利于发展学生的独创思维.
三、自主体验，合作交流，优化学习方法
“不可言传，只可意会”给教学的启示是：学习中，诸多的知识不可能全部由教师传授.建构主义认为，学习不是知识由教师向学生的传递，而是学生建构自己的知识的过程，学习者不是被动的信息吸收者，相反，是主动地建构信息的意义，这种建构不可能由其他人代替.
下面是我在执教“椭圆复习课”中的一个教学片段:
教师在多媒体中出示如下的例题：当m为何值时，直线l：y=x+m与椭圆x2+2y2=2，①有一个交点？②有两个交点？③没有交点？
生1：联立方程组,用Δ法进行判断.
生2：老师，也可利用几何法求解.设F1(1,0)关于直线l:y=x+m的对称点F1′，可求得F1′(-m,m-1)，则dmin=|F1′F2|=(-m-1)2+(m-1)2=2(m2+1)，所以，当dmin=2(m2+1)=22，即m=±3时，直线与椭圆相切……
生3：也可将椭圆转化为圆处理，先将椭圆化为x22+y2=1，然后设x=2x′,y=y′，椭圆变为x′2+y′2=1，同时直线变为y′=2x′+m，所以原题变为：当m为何值时，直线y′=2x′+m与圆x′2+y′2=1，①有一个交点？②有两个交点？③没有交点？因而利用几何法很快可以求解到答案……
面对以上的三种解法，我并没有马上引导学生应该怎么做，也不是根据自己的经验评价这些方法的优劣，而是创造环节让学生继续活动，自主体验，自我小结.
师：以上三名同学都非常不错，都说出了自己的方法.现在，请每名同学与小组的同学交流一下，交流每种方法所花的时间、精力和计算的难易程度等，并比较各种方法的优劣.然后，讨论一下，以上的三种方法哪一种是解决这类问题的常规方法？我们以后该采用哪一种方法求解？
在我们的解题过程中，面对学生的多种方法，如何优化计算方法是高中数学解题教学中经常面对的问题.我们教师引导学生合作交流，自主体验，不仅使他们体会到同一个数学问题可以从不同角度去分析,可以获得不同的解决方法，还能及时纠正自己在思维活动中的偏差，在信息交流中体会优劣，并找出最优和最适合自己的方法，达到“此时无声胜有声”的境界.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文