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方程、函数及不等式三者之间有着紧密的内在联系，它们是可以相互转化的。在解题过程中同学们应克服思维的单向性，注意知识的迁移，使之互相渗透，相互转化。通过转化，可以化深奥为浅显、化抽象为具体、化模糊为直观，达到事半功倍的效果。下面从六个方面探究一下它们之间的相互转化。
一、 化方程问题为函数问题
例1已知一元二次方程7x2-(k+13)x-k+2=0的两实根x1、x2满足0 分析此题单从方程知识考虑很难找到解决办法，如果把方程和函数图象联系起来，将数转化成形，问题就迎刃而解了。
解： 令y=7x2-(k+13)x-k+2,则由已知条件可知，此抛物线与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0），由0＜x1＜1.1＜x2＜2，且开口向上画出其大致图像（如下图），
由图象可得：
二、 化不等式问题为函数问题
例2k为何值时，二次三项式kx2-(k-8)x+1对一切实数x均为正值？
分析本题题意是不等式kx2-(k-8)x+1＞0的解集为全体实数，将它转化成函数问题就很简单明了。
解： 由题意可知抛物线y=kx2-(k-8)x+1在x 轴上方，于是有：
故，当4＜k＜16,时，对一切实数x二次三项式kx2-(k-8)x+1均为正值。
三、 化函数问题为方程问题
例3已知抛物线y=x2-(k-1）x-3k-2与x轴交于A(α，0）、B（β，0）两点，且α2+β2=17，求k的值。
分析已知函数图象与x轴的交点坐标，及交点坐标之间的和、差、倍、分关系，把它转化成方程问题更得心应手。
解： 由题意可知方程x2-(k-1）x-3k-2=0的两根为α、β，则：
α+β=k-1①
α β=-3k-2②
又 α2+β2=17③
联立 ①、 ②、 ③，解之得k1=2、k2=-6,
但当k=-6时，方程无实根，不合题意，应舍去，
∴k=2
四、 化不等式问题为方程问题
五、 化方程问题为不等式问题
例5已知关于x的方程2ax2-2x-3a-2=0的一根大于1，另一根小于1，求a的取值范围。
分析若设方程两根为α、β，则由题意可得（α-1）（β-1）＜0，这就将方程问题转化成不等式问题了。
六、 综合运用问题
例6已知二次函数y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+(a-3)x+b2-1的图像都经过x轴上两个不同的点M、N，求a、b 之值。
分析二次函數y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+
(a-3)x+b2-1的图像都经过x轴上两个不同的点M(x1,0)、N(x2,0)，可推出下列结论：（1）方程
x2+2ax-2b+1=0和-x2+(a-3)x+b2-1=0是同解方程，它们的根为x1、x2;(2)两条抛物线的对称轴相同。
解： 抛物线y=x2+2ax-2b+1的对称轴为x=-a，
抛物线y=-x2+(a-3)x+b2-1的对称轴为x= ,
由题意得-a= ,解得a=1。
∴两函数分别为：y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+
(a-3)x+b2-1。
令y=0,有x2+2x-2b+1=0①-x2 -2x+b2-1=0②
由①+②得b2-2b=0,
∴b1=0,b2=2,
∴a=1b=0或a=1b=2,
当a=1，b=0时，抛物线与x轴只有一个交点，不合题意，应舍去。
∴a=1,b=2(本题的结论有多解，应注意检验）
方程、函数、不等式是初等代数的重点，也是难点。中考时，考点多，题型广，分数权重大，同学们务必多读多想多练，提高解题技能。
（责任编辑 钱家庆）
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
一、 化方程问题为函数问题
例1已知一元二次方程7x2-(k+13)x-k+2=0的两实根x1、x2满足0
解： 令y=7x2-(k+13)x-k+2,则由已知条件可知，此抛物线与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0），由0＜x1＜1.1＜x2＜2，且开口向上画出其大致图像（如下图），
由图象可得：
二、 化不等式问题为函数问题
例2k为何值时，二次三项式kx2-(k-8)x+1对一切实数x均为正值？
分析本题题意是不等式kx2-(k-8)x+1＞0的解集为全体实数，将它转化成函数问题就很简单明了。
解： 由题意可知抛物线y=kx2-(k-8)x+1在x 轴上方，于是有：
故，当4＜k＜16,时，对一切实数x二次三项式kx2-(k-8)x+1均为正值。
三、 化函数问题为方程问题
例3已知抛物线y=x2-(k-1）x-3k-2与x轴交于A(α，0）、B（β，0）两点，且α2+β2=17，求k的值。
分析已知函数图象与x轴的交点坐标，及交点坐标之间的和、差、倍、分关系，把它转化成方程问题更得心应手。
解： 由题意可知方程x2-(k-1）x-3k-2=0的两根为α、β，则：
α+β=k-1①
α β=-3k-2②
又 α2+β2=17③
联立 ①、 ②、 ③，解之得k1=2、k2=-6,
但当k=-6时，方程无实根，不合题意，应舍去，
∴k=2
四、 化不等式问题为方程问题
五、 化方程问题为不等式问题
例5已知关于x的方程2ax2-2x-3a-2=0的一根大于1，另一根小于1，求a的取值范围。
分析若设方程两根为α、β，则由题意可得（α-1）（β-1）＜0，这就将方程问题转化成不等式问题了。
六、 综合运用问题
例6已知二次函数y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+(a-3)x+b2-1的图像都经过x轴上两个不同的点M、N，求a、b 之值。
分析二次函數y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+
(a-3)x+b2-1的图像都经过x轴上两个不同的点M(x1,0)、N(x2,0)，可推出下列结论：（1）方程
x2+2ax-2b+1=0和-x2+(a-3)x+b2-1=0是同解方程，它们的根为x1、x2;(2)两条抛物线的对称轴相同。
解： 抛物线y=x2+2ax-2b+1的对称轴为x=-a，
抛物线y=-x2+(a-3)x+b2-1的对称轴为x= ,
由题意得-a= ,解得a=1。
∴两函数分别为：y=x2+2ax-2b+1和y=-x2+
(a-3)x+b2-1。
令y=0,有x2+2x-2b+1=0①-x2 -2x+b2-1=0②
由①+②得b2-2b=0,
∴b1=0,b2=2,
∴a=1b=0或a=1b=2,
当a=1，b=0时，抛物线与x轴只有一个交点，不合题意，应舍去。
∴a=1,b=2(本题的结论有多解，应注意检验）
方程、函数、不等式是初等代数的重点，也是难点。中考时，考点多，题型广，分数权重大，同学们务必多读多想多练，提高解题技能。
（责任编辑 钱家庆）
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