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摘要：使用基于经济变量的模型来预测汇率长时间占据着国际金融领域研究的重要位置，然而多数都是定性的分析，实证上的成功也不甚明晰。本文通过引入随机贴现因子建立定量的汇率预测公式，并通过比较静态分析具体得出经济基本面的变化对汇率的影响，进而给出外汇市场投资策略。此外，模型从本外币财富增长的角度解释了国际金融中著名的Siegel悖论问题。
关键词：汇率定价 随机贴现 Siegel悖论
研究背景
自上世纪70年代采用浮动汇率制以来，国际上出现了大量有关汇率模型的研究，如一种是货币模型，即假设货币是由供需决定的唯一资产。货币模型的两种主要类型分别是：使用购买力平价理论的浮动价格货币模型（即意味着实际汇率是不变的）和盯住价格货币模型（即假设价格逐渐向商品市场的非均衡性调整）。这些模型全都假设除货币外的资产在不同货币下是可完全替代的。另一种认为非货币资产不完全可替代的是投资组合平衡模型，它扩展分析了国外净资产存量。
这些归于资产市场框架下汇率决定的模型被视为当前理论的代表，并广泛应用于实证研究。然而，模型的结果大多是不确定的：一些模型，特别是货币模型在早期研究中得到了实证的支持，但在近些年内却不能解释汇率行为。
从Meese和Rogoff（1983）开始，大量的实证研究得出基于特定基本面的货币模型并不优于一个原始的随机游走模型。Somanath（1986）、Boothe和Glassman（1987）的研究证实了对于一些重要汇率而言，随机游走模型好于基于基本宏观经济变量（如货币供给、价格水平、利率等）的传统模型。与上述结果相一致，Frankel和Rose（1995）、Mussa（1990）的研究成果显示传统的宏观基本面模型也存在大量改进的空间，特别是在短期内。Mark（1995）、Mark和Sul（2001）的研究表明长期看来汇率和基本面同向运动，但国际金融研究主流观点认为汇率是不可预测的。
Baillie和McMahon（1989）和Gallant，Hsieh和Tauchen（1991）的文章都得出汇率的时间序列因一个不明确的数据生成过程而表现出很大的波动性。Baillie和McMahon（1989），Hsieh（1989），Hong和Lee（2003）证实汇率的变化是非线性相关的。Deboeck（1994）和Atiya（1996）指出汇率序列是内在噪音，非平稳的，混乱的。
一系列的研究试图抓住汇率的不同形式去建立一个更优的预测，但收效甚微。Diebold、Nason、Meese及Rose都在其研究中使用非参数的kernel回归，但并不能使预测好于一个简单的随机游走。Meese和Rose（1991）验证了几个结构汇率模型去考虑潜在的非线性，但结论将非线性包含进结构汇率模型，因此并不能改善结果。Engel和Hamilton（1990），Engel（1994）使用马尔可夫转换模型，但结果同样不能优于随机游走模型。基于以上考量，本文首先由布朗运动引入随机贴现因子推导出汇率预测公式。
在理论上，即期和远期汇率的关系取决于未抛补的利率平价（UIP）假说，它表明远期升水（即当前的远期汇率高于即期汇率）一定与未来汇率变化呈正相关。然而实际上，我们从实证上得出两者之间呈负相关。未抛补利率平价的失效在于基于远期升水的假说通常形成了汇率的可预测性。例如，Backus，Gregory和Telmer（1993）及Backus，Foresi和Telmer（2001）更进一步发现使用滞后的远期升水的可预测性可以作为一个可预测变量的证据。此外，Clarida et al.（2003，2006）及Boudoukh，Richardson和Whitelaw（2006）表明远期汇率（和利率）的期限结构对预测即期汇率提供了有用的信息。
从方法论的角度看，虽然存在大量的文献用统计方法可以准确预测汇率，但几乎没有评价过汇率可预测性的经济价值。至今为止的相关研究，包括早期West，Edison和Cho（1993）提供了一个基于效用的汇率波动性估计，以及最近Abhyankar，Sarno和Valente（2005）使用相关方法研究长期汇率的可预测性。然而，在动态的资产配置策略中，基于经济基本面或远期升水同时允许波动性的经验汇率模型研究缺乏可预测的经济价值。本文通过对汇率预测公式的敏感性分析，给出经济基本量的变化对汇率的影响，以解决这一问题。
理论部分
（一）随机贴现的引入
首先引入随机贴现因子 设 是股票价格， 是零息债券的价格， 分别是股票的收益率和波动率， 是零息债券的无风险收益率。假设股票与债券过程满足如下的随机过程：
设 为投入股票市场的比例，则初始时刻1元钱的财富过程 满足以下随机微分方程：
由这些关系式可以很轻松地得到汇率随其它经济指标的变化规律。例如当本国股票波动率 ，外国的标准化收益 ，两国的股票时间序列相关系数 时，由（0.2）可得 ，说明本国的汇率随着本国债券收益率的增加而上升；再由公式（0.3） ，可知本国的汇率随着本国股票确定性收益率的增加而下降。
同时，这些式子也是有直观的经济意義的。以（0.4）为例，一般来说，股票的确定性收益 总是大于 的，此时 ，因而当 时，即两国股票收益呈现负相关时，本国的股票波动越是剧烈，股票市场越不稳定，相应本国汇率就越会下降。
解释Siegel悖论
在国际金融中有一个重要理论问题即Siegel悖论（Siegel，1972）。该理论认为在一个风险中性的世界里，如果两国的远期汇率相等，预期的即期汇率在本国保持不变，在外国并不能同时成立。假设当前美元对英镑的汇率是1：1.5，一个美国投资者和一个英国投资者都期望远期汇率为1：1.6，这个英国投资者预期的美元回报率为-6.25%，而这个美国投资者预期的英镑回报率为6.67%。这就意味着远期汇率是对未来即期汇率的一个有偏预测，或是存在着即远期预期收益的投机。另一种解释是外汇市场是不均衡的。许多研究（如Roper， 1975； Siegel， 1975； Boyer， 1977； Beenstock， 1985； Sinn， 1989； Obstfeld and Ro- goff， 1996， pp. 587–8； Edlin， 2002）试图解释Siegel悖论，但就像Gandolfo（2001，p.427）所言这个理论问题仍然存在。近三十多年来，国际宏观经济学家们认为这是一个数学上的难题而非经济或经验意义问题的悖论（Frankel，1993，p.211）。 本文的模型可以解釋Siegel悖论，即同一笔钱，从本币角度看财富的增长与兑换成另一种币种看财富的增长是不同的。
事实上，从外币看本币的汇率
实证分析
（一）以参数估计方法估算美日德三国相关数据
关于实证，本文以天为操作窗口，分别用了美、日、德三国1990年—2010年这20年的各国指数、行业数据以及各国之间的汇率。先利用上文的参数估计方法，估计出各国的 ，以及不同国家指数之间的相关系数 ，进而算出预测汇率趋势的 ，根据上述投资策略（S1与S2），用MATLAB模拟财富过程（即持有的股票和债券的总累积金额， 初始值为1），取得了较好的效果。
其中对于德国市场，1990年—2000年以马克为货币单位，2000年—2010年以欧元为货币单位。此外，由于各个国家保证金账户的收益率不统一， 我们用一年期无风险国债收益率来代替这个收益率。
图（1）（5）（9）分别是以美、日、德为本国所做的全球最优投资的财富过程图；图（2）（3）（4）（6）（7）（8）分别是以本币投资、外币计价的投资结果。这可理解为某人在本国投资，故用本币投资策略；但该人在外国养老，故关心本币财富过程转换为外币后的走势。
以下是实证效果图：
（二）财富过程的收益对比
本文，同样关心运用汇率策略（S1）和（S2）后的财富过程与不进行其它任何操作仅仅投入债券的财富过程之间的收益对比。
（三）平均换仓期和预测远期汇率的正确率
结语
本文做出了四件有价值的工作：
第一，导出了汇率的定价公式：
此公式作为本文的原创成果，可定量得出市场指标的变化对汇率的影响，弥补了前人在定性研究中经常得出模棱两可结论的缺陷。
第二，从财富增长的角度解释了Siegel悖论。
第三，实证效果显著。将由汇率定价公式得出的投资策略用于美、日、德三国市场进行实证检验，验证了策略的优越性。由于平均换仓期在4天左右，这使得此策略有很强的可操作性，如果利用保证金或衍生品做交易，更有400倍的放大机制，同时可以引入止损机制，这样在实际操作中将有更大的回报率。
第四，通过比较静态分析给出汇率变化的经济含义。不仅从宏观层面可看出加息对汇率的影响，也可从微观金融市场波动率的角度对汇率做出方向性的判断。
作者单位：翁锡赟 太平基金管理有限公司
徐清 华院数据技术有限公司
张晨辰 首创证券有限责任公司
责任编辑：鹿宁宁 刘颖
参考文献
[1] 李训经， 2003. 李训经数学论文选. 上海：复旦大学出版社.
[2] 雍炯敏， 刘道白， 2004. 数学金融学. 上海： 上海人民出版社.
[3] 弗兰克·法博兹，2002. 债券市场分析和策略. 上海：百家出版社.
[4] Diebold， F.X.， Mariano， R.， 1995. Comparing predictive accuracy. Journal of Business and Economic Statistics 13， 253-265.
[5] Engel， C.， 1994. Can the Markov switching model forecast exchange rates？ Journal of International Economics 36， 151-165.
[6] Engel， C.， Hamilton， J.， 1990. Long swings in the exchange rate： are they in the data and do markets know it？ American Economic Review 80， 689-713.
[7] Engel， C.， West， K.D.， 2005. Exchange rates and fundamentals. Journal of Political Economy 113， 485-517.
[8] Ioannis K.， Steven E. S.， 2004. Methods of Mathematical Finance， Spring.
[9] Marek， M.， Marek， R.， 2007. Martingale Methods in Financial Modelling， Spring.
[10] Meese， R.， Rogoff， K.， 1983. Empirical exchange rate models of the seventies： do they fit out of sample？ Journal of International Economics 14， 3-24.
[11] Meese， R.， Rose， A.K.， 1991. An empirical assessment of non-linearities in models of exchange rate determination. Review of Economic Studies 58， 603-619.
关键词：汇率定价 随机贴现 Siegel悖论
研究背景
自上世纪70年代采用浮动汇率制以来，国际上出现了大量有关汇率模型的研究，如一种是货币模型，即假设货币是由供需决定的唯一资产。货币模型的两种主要类型分别是：使用购买力平价理论的浮动价格货币模型（即意味着实际汇率是不变的）和盯住价格货币模型（即假设价格逐渐向商品市场的非均衡性调整）。这些模型全都假设除货币外的资产在不同货币下是可完全替代的。另一种认为非货币资产不完全可替代的是投资组合平衡模型，它扩展分析了国外净资产存量。
这些归于资产市场框架下汇率决定的模型被视为当前理论的代表，并广泛应用于实证研究。然而，模型的结果大多是不确定的：一些模型，特别是货币模型在早期研究中得到了实证的支持，但在近些年内却不能解释汇率行为。
从Meese和Rogoff（1983）开始，大量的实证研究得出基于特定基本面的货币模型并不优于一个原始的随机游走模型。Somanath（1986）、Boothe和Glassman（1987）的研究证实了对于一些重要汇率而言，随机游走模型好于基于基本宏观经济变量（如货币供给、价格水平、利率等）的传统模型。与上述结果相一致，Frankel和Rose（1995）、Mussa（1990）的研究成果显示传统的宏观基本面模型也存在大量改进的空间，特别是在短期内。Mark（1995）、Mark和Sul（2001）的研究表明长期看来汇率和基本面同向运动，但国际金融研究主流观点认为汇率是不可预测的。
Baillie和McMahon（1989）和Gallant，Hsieh和Tauchen（1991）的文章都得出汇率的时间序列因一个不明确的数据生成过程而表现出很大的波动性。Baillie和McMahon（1989），Hsieh（1989），Hong和Lee（2003）证实汇率的变化是非线性相关的。Deboeck（1994）和Atiya（1996）指出汇率序列是内在噪音，非平稳的，混乱的。
一系列的研究试图抓住汇率的不同形式去建立一个更优的预测，但收效甚微。Diebold、Nason、Meese及Rose都在其研究中使用非参数的kernel回归，但并不能使预测好于一个简单的随机游走。Meese和Rose（1991）验证了几个结构汇率模型去考虑潜在的非线性，但结论将非线性包含进结构汇率模型，因此并不能改善结果。Engel和Hamilton（1990），Engel（1994）使用马尔可夫转换模型，但结果同样不能优于随机游走模型。基于以上考量，本文首先由布朗运动引入随机贴现因子推导出汇率预测公式。
在理论上，即期和远期汇率的关系取决于未抛补的利率平价（UIP）假说，它表明远期升水（即当前的远期汇率高于即期汇率）一定与未来汇率变化呈正相关。然而实际上，我们从实证上得出两者之间呈负相关。未抛补利率平价的失效在于基于远期升水的假说通常形成了汇率的可预测性。例如，Backus，Gregory和Telmer（1993）及Backus，Foresi和Telmer（2001）更进一步发现使用滞后的远期升水的可预测性可以作为一个可预测变量的证据。此外，Clarida et al.（2003，2006）及Boudoukh，Richardson和Whitelaw（2006）表明远期汇率（和利率）的期限结构对预测即期汇率提供了有用的信息。
从方法论的角度看，虽然存在大量的文献用统计方法可以准确预测汇率，但几乎没有评价过汇率可预测性的经济价值。至今为止的相关研究，包括早期West，Edison和Cho（1993）提供了一个基于效用的汇率波动性估计，以及最近Abhyankar，Sarno和Valente（2005）使用相关方法研究长期汇率的可预测性。然而，在动态的资产配置策略中，基于经济基本面或远期升水同时允许波动性的经验汇率模型研究缺乏可预测的经济价值。本文通过对汇率预测公式的敏感性分析，给出经济基本量的变化对汇率的影响，以解决这一问题。
理论部分
（一）随机贴现的引入
首先引入随机贴现因子 设 是股票价格， 是零息债券的价格， 分别是股票的收益率和波动率， 是零息债券的无风险收益率。假设股票与债券过程满足如下的随机过程：
设 为投入股票市场的比例，则初始时刻1元钱的财富过程 满足以下随机微分方程：
由这些关系式可以很轻松地得到汇率随其它经济指标的变化规律。例如当本国股票波动率 ，外国的标准化收益 ，两国的股票时间序列相关系数 时，由（0.2）可得 ，说明本国的汇率随着本国债券收益率的增加而上升；再由公式（0.3） ，可知本国的汇率随着本国股票确定性收益率的增加而下降。
同时，这些式子也是有直观的经济意義的。以（0.4）为例，一般来说，股票的确定性收益 总是大于 的，此时 ，因而当 时，即两国股票收益呈现负相关时，本国的股票波动越是剧烈，股票市场越不稳定，相应本国汇率就越会下降。
解释Siegel悖论
在国际金融中有一个重要理论问题即Siegel悖论（Siegel，1972）。该理论认为在一个风险中性的世界里，如果两国的远期汇率相等，预期的即期汇率在本国保持不变，在外国并不能同时成立。假设当前美元对英镑的汇率是1：1.5，一个美国投资者和一个英国投资者都期望远期汇率为1：1.6，这个英国投资者预期的美元回报率为-6.25%，而这个美国投资者预期的英镑回报率为6.67%。这就意味着远期汇率是对未来即期汇率的一个有偏预测，或是存在着即远期预期收益的投机。另一种解释是外汇市场是不均衡的。许多研究（如Roper， 1975； Siegel， 1975； Boyer， 1977； Beenstock， 1985； Sinn， 1989； Obstfeld and Ro- goff， 1996， pp. 587–8； Edlin， 2002）试图解释Siegel悖论，但就像Gandolfo（2001，p.427）所言这个理论问题仍然存在。近三十多年来，国际宏观经济学家们认为这是一个数学上的难题而非经济或经验意义问题的悖论（Frankel，1993，p.211）。 本文的模型可以解釋Siegel悖论，即同一笔钱，从本币角度看财富的增长与兑换成另一种币种看财富的增长是不同的。
事实上，从外币看本币的汇率
实证分析
（一）以参数估计方法估算美日德三国相关数据
关于实证，本文以天为操作窗口，分别用了美、日、德三国1990年—2010年这20年的各国指数、行业数据以及各国之间的汇率。先利用上文的参数估计方法，估计出各国的 ，以及不同国家指数之间的相关系数 ，进而算出预测汇率趋势的 ，根据上述投资策略（S1与S2），用MATLAB模拟财富过程（即持有的股票和债券的总累积金额， 初始值为1），取得了较好的效果。
其中对于德国市场，1990年—2000年以马克为货币单位，2000年—2010年以欧元为货币单位。此外，由于各个国家保证金账户的收益率不统一， 我们用一年期无风险国债收益率来代替这个收益率。
图（1）（5）（9）分别是以美、日、德为本国所做的全球最优投资的财富过程图；图（2）（3）（4）（6）（7）（8）分别是以本币投资、外币计价的投资结果。这可理解为某人在本国投资，故用本币投资策略；但该人在外国养老，故关心本币财富过程转换为外币后的走势。
以下是实证效果图：
（二）财富过程的收益对比
本文，同样关心运用汇率策略（S1）和（S2）后的财富过程与不进行其它任何操作仅仅投入债券的财富过程之间的收益对比。
（三）平均换仓期和预测远期汇率的正确率
结语
本文做出了四件有价值的工作：
第一，导出了汇率的定价公式：
此公式作为本文的原创成果，可定量得出市场指标的变化对汇率的影响，弥补了前人在定性研究中经常得出模棱两可结论的缺陷。
第二，从财富增长的角度解释了Siegel悖论。
第三，实证效果显著。将由汇率定价公式得出的投资策略用于美、日、德三国市场进行实证检验，验证了策略的优越性。由于平均换仓期在4天左右，这使得此策略有很强的可操作性，如果利用保证金或衍生品做交易，更有400倍的放大机制，同时可以引入止损机制，这样在实际操作中将有更大的回报率。
第四，通过比较静态分析给出汇率变化的经济含义。不仅从宏观层面可看出加息对汇率的影响，也可从微观金融市场波动率的角度对汇率做出方向性的判断。
作者单位：翁锡赟 太平基金管理有限公司
徐清 华院数据技术有限公司
张晨辰 首创证券有限责任公司
责任编辑：鹿宁宁 刘颖
参考文献
[1] 李训经， 2003. 李训经数学论文选. 上海：复旦大学出版社.
[2] 雍炯敏， 刘道白， 2004. 数学金融学. 上海： 上海人民出版社.
[3] 弗兰克·法博兹，2002. 债券市场分析和策略. 上海：百家出版社.
[4] Diebold， F.X.， Mariano， R.， 1995. Comparing predictive accuracy. Journal of Business and Economic Statistics 13， 253-265.
[5] Engel， C.， 1994. Can the Markov switching model forecast exchange rates？ Journal of International Economics 36， 151-165.
[6] Engel， C.， Hamilton， J.， 1990. Long swings in the exchange rate： are they in the data and do markets know it？ American Economic Review 80， 689-713.
[7] Engel， C.， West， K.D.， 2005. Exchange rates and fundamentals. Journal of Political Economy 113， 485-517.
[8] Ioannis K.， Steven E. S.， 2004. Methods of Mathematical Finance， Spring.
[9] Marek， M.， Marek， R.， 2007. Martingale Methods in Financial Modelling， Spring.
[10] Meese， R.， Rogoff， K.， 1983. Empirical exchange rate models of the seventies： do they fit out of sample？ Journal of International Economics 14， 3-24.
[11] Meese， R.， Rose， A.K.， 1991. An empirical assessment of non-linearities in models of exchange rate determination. Review of Economic Studies 58， 603-619.