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20世纪最伟大的数学家之一庞加莱(Poincare，1854—1912，法国)敏锐地指出：“逻辑并非不毛之地，它那里生长着矛盾。”即使成就辉煌的大数学家康托尔，在他首创的理论之中也蕴含了危机和矛盾。历史上的第三次数学危机产生了“公理集合论”这一数学分支，而哥德尔的不可判定理论推翻了曾经统治数学的“希尔伯特纲领”。
3．第三次数学危机——产生公理集合论
悖论不是谬论，悖论中充满着令人惊奇的内容——悖论可以推导出自相矛盾的结论，人们却不能指出悖论非法的理由。
集合是数学最基本的概念之一，也是整个数学大厦的基础，当今数学的每个分支都在使用集合论的言语进行表述与推理。
集合概念的建立，起首要作用的人物当属德国大数学家康托尔，他是大家公论的集合论的创始人。
康托尔(cantor，1845-1918)，生于俄国彼得堡的一个犹太富商之家。他17岁入苏黎世大学，后转入格丁根大学和法兰克福大学，1866年获得博士学位，1879年任哈雷大学教授。1891年，康托尔组建德国数学家联合会，被选为第一任主席。1904年，伦敦皇家学会授予他当时数学界最高荣誉——西尔威斯特(Sylvester)奖章。
康托尔的老师克罗内克是一个“有穷论者”，他反对康托尔的“超穷数”观点，他不仅对康托尔的学术工作粗暴攻击，还竭力阻止康托尔去柏林大学工作。由于克罗内克的权威地位，其他数学家也跟着他攻击康托尔，致使康托尔患上严重的精神病，并于1918年死于抑郁症。康托尔的下场不比古希腊的希帕苏斯好多少，两位数学史上的功臣都为了事业而牺牲。
康托尔这个人是数学界的奇才，对数学的新奇思路和独特创造，使他成了当时数学界颇有争议的人物。他用“一一对应”的原理突破了“整体大于部分”这个天经地义的旧观念，例如全体正整数与全体正偶数一一对应，称正整数集与正偶数集等势，相当于传统的“个数相等”。
1871年康托尔给出集合的第一个朴素定义：“把一定的并且彼此可以明确识别的事物——这种事物可以是直观的对象，也可以是思维的对象——放在一起，成为一个集合，这些事物的每一个称为该集合的一个元素。”
在之后的工作中，康托尔已经察觉到他的这种朴素集合论在逻辑上要出事儿，他向数学家戴德金谈过禁提“一切集合组成的集合”。可惜他本人没有来得及建立一套公理系统，给出明确无误的集合论概念。
1902年，英国数学家罗素受到“理发师悖论”的启发，提出一个所谓的“罗素悖论”。
理发师悖论说：“一个理发师宣称，他不给自己刮脸的人刮脸，但给所有不自己刮脸的人刮脸。”人们问：“理发师先生，您自己的脸谁刮?”如果理发师回答自己刮，那么违背了约定的前半部分；如果回答不是自己刮，那么按他约定的后半部分，他必须给自己刮脸。理发师不可能自圆其说。
罗素假设，集合A由一切不属于这个集合的元素所组成，然后问A是否属于该集合?对这个看似简单的问题，怎样回答都会陷入矛盾的境地。如果承认A属于集合A，根据该集合的定义，A是不能属于A的；反之如果否认A属于集合A，同样根据该集合的定义，A就必须属于A。
矛盾回避不了啦!康托尔的朴素集合论里发生了严重的逻辑混乱，于是出现了第三次数学危机。德国数学家、逻辑代数的创始人弗雷格抱怨说：“当大厦即将竣工之时，基础却崩溃了!”
1908年，法国数学家策墨罗(Zermelo)和弗伦克尔(Fraenkel)合作提出一套所谓ZF公理，创建公理集合论，从集合论中剔除了罗素悖论，解除了第三次数学危机。第三次数学危机催生了“公理集合论”这一重要数学分支，使得数学基础更加巩固了。
在公理集合论中，到目前为止还没有发现任何悖论或矛盾，策墨罗宣称没有任何人会从中再制造出矛盾来。庞加莱则反唇相讥道：“为了防备狼，羊群已用篱笆圈起来了，却不知圈里还有没有狼。”
1925年，希尔伯特自豪地说：“我们曾亲历过两次危机，头一次是微积分悖论，第二次是集合论悖论，我们不会再经历第三次，而且永远不会。”他显然过于乐观了。1930年数学家贝尔说：“所谓建立在数学基础上的合理共识，在任何意义上都是不存在的。”
贝尔的话是对的。三次数学危机之后，数学界果然又发生了更令人难堪的矛盾。
4．数学的家丑——真假不可判定
公元前6世纪，希腊人伊比孟德说：“我说这句话时正在说谎。”伊翁问听众，他下面说的那句话是真话还是假话？该怎么回答伊翁呢？
当代数学史上有个大人物叫做哥德尔，1906年他出生于奥地利布吕恩城，1924年他考入维也纳大学攻读理论物理专业，1930年获哲学博士学位。其代表作是1931年发表的《论‘数学原理’及有关系统中的不可判定命题》，该文被誉为“20世纪最有意义的数学真理”。
哥德尔的不可判定命题对数学基础进行严肃的挑战。一个命题就是一种判定，不论是否已经知道它的真假，总归或真或假，二者必居其一。例如“秦始皇是20世纪的中国皇帝”是一个命题，“2 2=4”则是另一个命题。显然假命题是不可证明的。
1931年哥德尔提出如下的命题：
A：A不可证。
下面证明了哥德尔命题A与其否定命题A┐(读成“非A”)皆不可证明。
(1)A真
事实上，若A假，即“A不可证”为假，于是A可证，从而A假且A可证，此与假命题不可证明矛盾，由反证法知A真。
(2)A不可证
若A可证，则“A不可证”为假，即A假，与(1)中得到的A真相违，所以A不可证。
(3)┐A不可证
由(1)知A真，于是┐A是假的，而假命题不可证，所以┐A不可证。
由(2)与(3)知A与┐A同时不可证，即对于命题A，不可证明也不可反驳，其真假不可判定!
数学家克服了三次数学危机，巩固了数学的基础，建立了丰功伟绩。数学界一派乐观情绪，甚至认为凡能用数学语言明确提出的问题，都必须而且能够严格地加以证明或证伪，谁也没想到会存在不能证其真也不能证其伪的命题。大数学家希尔伯特1930年发表《数学的基础》一文，提出闻名于世的“希尔伯特纲领”，其要点有二：一是证明形式化(建立公理系统，使用形式语言)之后，一切数学系统内的定理都是可证的；二是证明形式化之后，数学系统是完备的，即一切数学真理都将是这个形式系统的定理。
哥德尔的不可判定命题如晴天霹雳无情地宣判了希尔伯特纲领的崩溃。
古今中外，多少人赞不绝口地歌颂着数学的完美、严谨与和谐。哥德尔则更令人肃然起敬，他并不因为自己是数学家而陶醉于数学光明的一面，他严正地揭露了数学不完备性的黑暗面，不忌讳数学的家丑。正如美国著名数学家克莱因所说：“数学的确定性正在丧失!”
一部充满光辉成就的数学史，同时也是一部数学灾难史，悖论和危机此起彼伏，矛盾和难题层出不穷……数学是美丽的，数学是丑陋的，它的丑与美都值得我们研究，都值得我们鉴赏。
(中国科技大学科技传播系的王国燕老师为本文的撰写提供了许多有益的建议，特表感谢。)
作者简介：王树禾。中国科学技术大学教授，微分方程与应用数学专家，数学科普作家。已出版了《数学聊斋》《数学演义》《数学思想史》等著作，主持编写了高中数学新教材中“数学史”部分。
3．第三次数学危机——产生公理集合论
悖论不是谬论，悖论中充满着令人惊奇的内容——悖论可以推导出自相矛盾的结论，人们却不能指出悖论非法的理由。
集合是数学最基本的概念之一，也是整个数学大厦的基础，当今数学的每个分支都在使用集合论的言语进行表述与推理。
集合概念的建立，起首要作用的人物当属德国大数学家康托尔，他是大家公论的集合论的创始人。
康托尔(cantor，1845-1918)，生于俄国彼得堡的一个犹太富商之家。他17岁入苏黎世大学，后转入格丁根大学和法兰克福大学，1866年获得博士学位，1879年任哈雷大学教授。1891年，康托尔组建德国数学家联合会，被选为第一任主席。1904年，伦敦皇家学会授予他当时数学界最高荣誉——西尔威斯特(Sylvester)奖章。
康托尔的老师克罗内克是一个“有穷论者”，他反对康托尔的“超穷数”观点，他不仅对康托尔的学术工作粗暴攻击，还竭力阻止康托尔去柏林大学工作。由于克罗内克的权威地位，其他数学家也跟着他攻击康托尔，致使康托尔患上严重的精神病，并于1918年死于抑郁症。康托尔的下场不比古希腊的希帕苏斯好多少，两位数学史上的功臣都为了事业而牺牲。
康托尔这个人是数学界的奇才，对数学的新奇思路和独特创造，使他成了当时数学界颇有争议的人物。他用“一一对应”的原理突破了“整体大于部分”这个天经地义的旧观念，例如全体正整数与全体正偶数一一对应，称正整数集与正偶数集等势，相当于传统的“个数相等”。
1871年康托尔给出集合的第一个朴素定义：“把一定的并且彼此可以明确识别的事物——这种事物可以是直观的对象，也可以是思维的对象——放在一起，成为一个集合，这些事物的每一个称为该集合的一个元素。”
在之后的工作中，康托尔已经察觉到他的这种朴素集合论在逻辑上要出事儿，他向数学家戴德金谈过禁提“一切集合组成的集合”。可惜他本人没有来得及建立一套公理系统，给出明确无误的集合论概念。
1902年，英国数学家罗素受到“理发师悖论”的启发，提出一个所谓的“罗素悖论”。
理发师悖论说：“一个理发师宣称，他不给自己刮脸的人刮脸，但给所有不自己刮脸的人刮脸。”人们问：“理发师先生，您自己的脸谁刮?”如果理发师回答自己刮，那么违背了约定的前半部分；如果回答不是自己刮，那么按他约定的后半部分，他必须给自己刮脸。理发师不可能自圆其说。
罗素假设，集合A由一切不属于这个集合的元素所组成，然后问A是否属于该集合?对这个看似简单的问题，怎样回答都会陷入矛盾的境地。如果承认A属于集合A，根据该集合的定义，A是不能属于A的；反之如果否认A属于集合A，同样根据该集合的定义，A就必须属于A。
矛盾回避不了啦!康托尔的朴素集合论里发生了严重的逻辑混乱，于是出现了第三次数学危机。德国数学家、逻辑代数的创始人弗雷格抱怨说：“当大厦即将竣工之时，基础却崩溃了!”
1908年，法国数学家策墨罗(Zermelo)和弗伦克尔(Fraenkel)合作提出一套所谓ZF公理，创建公理集合论，从集合论中剔除了罗素悖论，解除了第三次数学危机。第三次数学危机催生了“公理集合论”这一重要数学分支，使得数学基础更加巩固了。
在公理集合论中，到目前为止还没有发现任何悖论或矛盾，策墨罗宣称没有任何人会从中再制造出矛盾来。庞加莱则反唇相讥道：“为了防备狼，羊群已用篱笆圈起来了，却不知圈里还有没有狼。”
1925年，希尔伯特自豪地说：“我们曾亲历过两次危机，头一次是微积分悖论，第二次是集合论悖论，我们不会再经历第三次，而且永远不会。”他显然过于乐观了。1930年数学家贝尔说：“所谓建立在数学基础上的合理共识，在任何意义上都是不存在的。”
贝尔的话是对的。三次数学危机之后，数学界果然又发生了更令人难堪的矛盾。
4．数学的家丑——真假不可判定
公元前6世纪，希腊人伊比孟德说：“我说这句话时正在说谎。”伊翁问听众，他下面说的那句话是真话还是假话？该怎么回答伊翁呢？
当代数学史上有个大人物叫做哥德尔，1906年他出生于奥地利布吕恩城，1924年他考入维也纳大学攻读理论物理专业，1930年获哲学博士学位。其代表作是1931年发表的《论‘数学原理’及有关系统中的不可判定命题》，该文被誉为“20世纪最有意义的数学真理”。
哥德尔的不可判定命题对数学基础进行严肃的挑战。一个命题就是一种判定，不论是否已经知道它的真假，总归或真或假，二者必居其一。例如“秦始皇是20世纪的中国皇帝”是一个命题，“2 2=4”则是另一个命题。显然假命题是不可证明的。
1931年哥德尔提出如下的命题：
A：A不可证。
下面证明了哥德尔命题A与其否定命题A┐(读成“非A”)皆不可证明。
(1)A真
事实上，若A假，即“A不可证”为假，于是A可证，从而A假且A可证，此与假命题不可证明矛盾，由反证法知A真。
(2)A不可证
若A可证，则“A不可证”为假，即A假，与(1)中得到的A真相违，所以A不可证。
(3)┐A不可证
由(1)知A真，于是┐A是假的，而假命题不可证，所以┐A不可证。
由(2)与(3)知A与┐A同时不可证，即对于命题A，不可证明也不可反驳，其真假不可判定!
数学家克服了三次数学危机，巩固了数学的基础，建立了丰功伟绩。数学界一派乐观情绪，甚至认为凡能用数学语言明确提出的问题，都必须而且能够严格地加以证明或证伪，谁也没想到会存在不能证其真也不能证其伪的命题。大数学家希尔伯特1930年发表《数学的基础》一文，提出闻名于世的“希尔伯特纲领”，其要点有二：一是证明形式化(建立公理系统，使用形式语言)之后，一切数学系统内的定理都是可证的；二是证明形式化之后，数学系统是完备的，即一切数学真理都将是这个形式系统的定理。
哥德尔的不可判定命题如晴天霹雳无情地宣判了希尔伯特纲领的崩溃。
古今中外，多少人赞不绝口地歌颂着数学的完美、严谨与和谐。哥德尔则更令人肃然起敬，他并不因为自己是数学家而陶醉于数学光明的一面，他严正地揭露了数学不完备性的黑暗面，不忌讳数学的家丑。正如美国著名数学家克莱因所说：“数学的确定性正在丧失!”
一部充满光辉成就的数学史，同时也是一部数学灾难史，悖论和危机此起彼伏，矛盾和难题层出不穷……数学是美丽的，数学是丑陋的，它的丑与美都值得我们研究，都值得我们鉴赏。
(中国科技大学科技传播系的王国燕老师为本文的撰写提供了许多有益的建议，特表感谢。)
作者简介：王树禾。中国科学技术大学教授，微分方程与应用数学专家，数学科普作家。已出版了《数学聊斋》《数学演义》《数学思想史》等著作，主持编写了高中数学新教材中“数学史”部分。