绘制地图，除了要求保证其准确性外，如何给地图着色，从而能明显地区分地图上的各个区域，也是十分重要的. 很早以前，绘图员就发现，只要配置几种颜色就可以给任何地图着色了. 究竟最少要用几种颜色呢？这倒变成数学家们十分感兴趣的问题了.
　　四色问题的提出
　　1852年，毕业于伦敦大学的英国青年数学家格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色. ”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟决心试一试. 兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作依然没有进展.
　　1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师——著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友——著名数学家哈密顿爵士请教. 哈密顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证. 但直到1865年哈密顿逝世为止，问题也没有能够解决.
　　1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题.
　　世界上许多数学家争相进行研究，其中有肯普、希伍德、闵可夫斯基等，结果仍然进展甚微. 人们开始认识到，这貌似简单的题目，其实是一道超级数学难题.
　　四色问题的证明
　　1878～1880两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了. 谁知到了1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞. 不久，泰勒的证明也被人们否定了. 人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理，就是说对地图着色，用五种颜色就够了.
　　1913年，美国著名数学家、哈佛大学的伯克霍夫利用肯普的想法，结合自己新的设想，证明了某些大的构形是可约的. 后来美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色. 1950年，温恩从22国推进到35国，1968年，奥尔又证明了39国，随后在1975年又有报道称有人已证明到了50国.
　　地图与拓扑
　　对于地图着色问题来说，各个区域的实际形状与大小都不重要，重要的仅仅是它们的相对位置. 右边四幅图，有地图，有从地图演变过来的图，这些图对于着色来说都是等价的，每幅图5个区域之间的相互位置是一样的，按数学家的说法，它们具有拓扑的等价性.
　　二色地图
　　大多数地图都需要用4种颜色来上色，但是有些特殊的情况不要用这么多的颜色，其中一种就是地图中只有端点在整幅地图边界上的线段的情况. 在这种情况下只需要2种颜色. 将线一条一条地画在一张纸上，每增加一条线时，将新增加的直线的一边的地区全部换成另一种颜色，这使得在旧的邻边和新的邻边两边的颜色都不相同.
　　同样的方法也可以推广到穿过整个纸面的简单曲线或者闭合的圆圈的情况. 当一张地图中的所有交点均为偶点，即所有交点有且仅有偶数条邻边时，这张地图就可以用2种颜色上色.
　　三色地图
　　当一张地图中的交点出现奇点的情况（即交点有奇数条邻边），运用2色就不可能了，必须用3种以上的颜色. 这里的三张地图恰好都只需要3种颜色. 想想看，它们有什么特殊的地方？
　　我们还是回到大多数地图的情况，这里是我们制作的3张“数学”地图，看看它们是不是必须用四色才能完成着色任务，如果用二色、三色试一下，有没有可能.
　　给点涂色
　　这里有一个图形，上面有若干个顶点（交叉点）. 如果我们给这些点涂色，并要求任何一根线的两个顶点的颜色不同，最少需要多少种颜色？
　　给线涂色
　　如果我们给这里的图形中的曲线涂色，并要求相邻的线段的颜色不同，最少需要多少种颜色？