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摘要在开放式环境中,在挖掘教材内涵的基础上,运用“延伸式”教学方法,逐级深入研究题目(1)所蕴藏的数学功能、发展功能和教育功能,揭示问题的本质,展现数学应用的广泛性,优化教学过程,提高教学效益,使学生在重新认识、理解与归纳知识网络的同时,也能获得良好的思维品质和驾驭知识的能力。
关键词延伸 变式习题 思维发散 创新能力
中图分类号:G633.6文献标识码:A
高中数学教材《立体几何》中有些例题本身就是具有很强的应用性,在课堂教学中,如果我们能注意利用这些习题的思想方法去解决相关的变式习题及延伸性综合题,这样不但能拓宽学生的思维空间,而且能促使学生通过一个问题学会解决一串问题的本领,提高数学思维能力。
题目(1)《立体几何》(必修本)P117第2题,如图,AB是园O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上异于A、B的任意点,求证△PAC所在的平面垂直于△PBA所在的平面。
1 潜入式提问,鼓励学生参与
把题目(1)结论变成开放性问题,让学生人人参与。引导学生多角度、多侧面、多层次思考,探究题目(1)级基本属性。
①你能从图(1)中找出所有的Rt△吗?
②你能从图(1)中找出几组直线垂直于平面?
③你能从图(1)中找出几对相互垂直的平面?
④你能从图(1)中找出三垂线定理的影子吗?
经过对①-④的逐级潜入式探究,学生初步认清了图形。然而学生的认识有待深化,获得的知识有待于提高。进一步提出:
⑤你能找出图(1)中P-BC-A二面角的平面角吗?
⑥你能找出图(1)中B-PC-A二面角的平面角吗?
⑦你能找出图(1)中C-PB-A二面角的平面角吗?
关键是⑦由学生尝试、交流、讨论,教师“点拨”、归纳如下:
方法1(直接法)
作AE⊥PB于E ,EF⊥PB交PC于F→∠AEF就是所找的角。
鉴于不易算求,须证AF⊥PC.
方法2(间接法):
作AE⊥PB于E, AF⊥PC于F, 连接EF→EF⊥PB
∠AEF就是二面角C-PB-A的平面角。
运用习题变式教学时,应当充分重视其潜在的功能,过提出类似的问题和对上述各问题的进一步探究、讨论和概括,不仅大大提升了教师的教学空间,也使学生在弄清平面角概念内涵和外延的基础上,同时拓宽了思维空间,更加使学生的探究能力和创新能力得到发展。
2 突出问题变式、同化,深化认识
认识新事物的过程,不是独立于大脑外的知识世界进行的发明创造,而是应用已有的方法和知识去分析、重组、同化新问题,数学课堂教学正是着眼于这样的教学目的前提下,致力于将多向性、多层次的交互作用引进教学过程,以消除学生对新问题的神秘感、畏惧感,克服自身的思维和心理定势,这样不仅可以吸引学生自主学习和主体智力参与,更能唤起学生到未知领域去进行探索的欲望,而且深化了对题目(1)的动态认识。
题目(2):如图AB于平面∝所成的角是1,AC,AC和AB的射影AB’成2角,设∠BAC=,求证:COS1COS2=COS。
题目(3):如图,正四棱锥P-ABCD,侧棱为1,侧面与底面成角,求这个棱锥的体积V。
题目(4):如图,OQ为圆锥SO的底面⊙O的一条半径,且OQ=20cm,OQ与母线SA互相垂直,P为SA的中点,PQ与SO所成的角的正切值为2,求圆锥的体积。
教学实践表明,使学生解决数学问题的过程成为学生学习数学知识再创造的过程,是一种积极鼓励学生主动学习的教学策略,具有潜移默化的教育功能,能明显起到激发学生学习数学的兴趣。本文在不改变知识的本质特征的前提下,通过对题目(2)、(3)、(4)分解、同化、重组,变换问题自身非本质的特征。既有效的避免了学生在知识和能力层次同一水平上的简单重复,同时又创造性地将知识、能力和思想方法寓于更高的层次中反复渗透,让学生不断在不同的新情境应用中加强对问题本质特征的理解,达到螺旋式的再认识、再深化乃至升华的学习效果。
3 变式习题延伸,抓住问题本质
罗增儒先生曾经说过:“看透本质就可以延伸”,数学习题变式教学中,若能引导学生对同一来源材料,多角度、全方位思考问题,寻求同类问题的解题规律,这不仅能强化学生对基础知识的理解和掌握,而且对拓广思路,启迪学生的发散性思维能力也大有裨益。本文正是通过潜入式问题变式,让学生对题目(1)认识、再认识,使学生认清了问题本质,提高了对几何图形的认识的敏锐性和实用性。无论是从解题本身,还是从智力开发角度,都会取得事半功倍的效果。而题目(1)堪称立几经典,它浓缩了立几之精华,几乎在历届高考中都有展现,如1995年24题、1996年23题、1998年23题、1999年21题、2000年18题、2001年17题。下面具体探究1998年、2001年高考题目(1)是如何展现的。
1998年23题:如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,∠ABC=90€啊C=2AC=2√3 ,且AA1⊥A1C,AA1=A1C
①求侧棱A1A图底面ABC所成二面角的大小。
②求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小。
③求顶点c到侧面A1ABB1的距离。
2001年7题:如图,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=90€埃琒A⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=1/2
①求四棱錐S—ABCD体积;
②面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。
综上所述,《立体几何》中,如题目(1)这样有应用价值的习题还很多,它们在解相关的变式习题时,在实现学生学习过程中完成知识迁移、认识升华、思维发散等方面都发挥了较大的作用,教学时应引起足够的重视。本文通过题目(1)的专题探究延伸,并巧设思维情境,循循善诱指导学生利用已有的知识去探究问题本质,使学生的创新和实践能力得以激发,同时又优化了学习过程,提高了学习效率和教学质量,不失为培养学生创造性思维的一条有效途径。
关键词延伸 变式习题 思维发散 创新能力
中图分类号:G633.6文献标识码:A
高中数学教材《立体几何》中有些例题本身就是具有很强的应用性,在课堂教学中,如果我们能注意利用这些习题的思想方法去解决相关的变式习题及延伸性综合题,这样不但能拓宽学生的思维空间,而且能促使学生通过一个问题学会解决一串问题的本领,提高数学思维能力。
题目(1)《立体几何》(必修本)P117第2题,如图,AB是园O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上异于A、B的任意点,求证△PAC所在的平面垂直于△PBA所在的平面。
1 潜入式提问,鼓励学生参与
把题目(1)结论变成开放性问题,让学生人人参与。引导学生多角度、多侧面、多层次思考,探究题目(1)级基本属性。
①你能从图(1)中找出所有的Rt△吗?
②你能从图(1)中找出几组直线垂直于平面?
③你能从图(1)中找出几对相互垂直的平面?
④你能从图(1)中找出三垂线定理的影子吗?
经过对①-④的逐级潜入式探究,学生初步认清了图形。然而学生的认识有待深化,获得的知识有待于提高。进一步提出:
⑤你能找出图(1)中P-BC-A二面角的平面角吗?
⑥你能找出图(1)中B-PC-A二面角的平面角吗?
⑦你能找出图(1)中C-PB-A二面角的平面角吗?
关键是⑦由学生尝试、交流、讨论,教师“点拨”、归纳如下:
方法1(直接法)
作AE⊥PB于E ,EF⊥PB交PC于F→∠AEF就是所找的角。
鉴于不易算求,须证AF⊥PC.
方法2(间接法):
作AE⊥PB于E, AF⊥PC于F, 连接EF→EF⊥PB
∠AEF就是二面角C-PB-A的平面角。
运用习题变式教学时,应当充分重视其潜在的功能,过提出类似的问题和对上述各问题的进一步探究、讨论和概括,不仅大大提升了教师的教学空间,也使学生在弄清平面角概念内涵和外延的基础上,同时拓宽了思维空间,更加使学生的探究能力和创新能力得到发展。
2 突出问题变式、同化,深化认识
认识新事物的过程,不是独立于大脑外的知识世界进行的发明创造,而是应用已有的方法和知识去分析、重组、同化新问题,数学课堂教学正是着眼于这样的教学目的前提下,致力于将多向性、多层次的交互作用引进教学过程,以消除学生对新问题的神秘感、畏惧感,克服自身的思维和心理定势,这样不仅可以吸引学生自主学习和主体智力参与,更能唤起学生到未知领域去进行探索的欲望,而且深化了对题目(1)的动态认识。
题目(2):如图AB于平面∝所成的角是1,AC,AC和AB的射影AB’成2角,设∠BAC=,求证:COS1COS2=COS。
题目(3):如图,正四棱锥P-ABCD,侧棱为1,侧面与底面成角,求这个棱锥的体积V。
题目(4):如图,OQ为圆锥SO的底面⊙O的一条半径,且OQ=20cm,OQ与母线SA互相垂直,P为SA的中点,PQ与SO所成的角的正切值为2,求圆锥的体积。
教学实践表明,使学生解决数学问题的过程成为学生学习数学知识再创造的过程,是一种积极鼓励学生主动学习的教学策略,具有潜移默化的教育功能,能明显起到激发学生学习数学的兴趣。本文在不改变知识的本质特征的前提下,通过对题目(2)、(3)、(4)分解、同化、重组,变换问题自身非本质的特征。既有效的避免了学生在知识和能力层次同一水平上的简单重复,同时又创造性地将知识、能力和思想方法寓于更高的层次中反复渗透,让学生不断在不同的新情境应用中加强对问题本质特征的理解,达到螺旋式的再认识、再深化乃至升华的学习效果。
3 变式习题延伸,抓住问题本质
罗增儒先生曾经说过:“看透本质就可以延伸”,数学习题变式教学中,若能引导学生对同一来源材料,多角度、全方位思考问题,寻求同类问题的解题规律,这不仅能强化学生对基础知识的理解和掌握,而且对拓广思路,启迪学生的发散性思维能力也大有裨益。本文正是通过潜入式问题变式,让学生对题目(1)认识、再认识,使学生认清了问题本质,提高了对几何图形的认识的敏锐性和实用性。无论是从解题本身,还是从智力开发角度,都会取得事半功倍的效果。而题目(1)堪称立几经典,它浓缩了立几之精华,几乎在历届高考中都有展现,如1995年24题、1996年23题、1998年23题、1999年21题、2000年18题、2001年17题。下面具体探究1998年、2001年高考题目(1)是如何展现的。
1998年23题:如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,∠ABC=90€啊C=2AC=2√3 ,且AA1⊥A1C,AA1=A1C
①求侧棱A1A图底面ABC所成二面角的大小。
②求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小。
③求顶点c到侧面A1ABB1的距离。
2001年7题:如图,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=90€埃琒A⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=1/2
①求四棱錐S—ABCD体积;
②面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。
综上所述,《立体几何》中,如题目(1)这样有应用价值的习题还很多,它们在解相关的变式习题时,在实现学生学习过程中完成知识迁移、认识升华、思维发散等方面都发挥了较大的作用,教学时应引起足够的重视。本文通过题目(1)的专题探究延伸,并巧设思维情境,循循善诱指导学生利用已有的知识去探究问题本质,使学生的创新和实践能力得以激发,同时又优化了学习过程,提高了学习效率和教学质量,不失为培养学生创造性思维的一条有效途径。