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3.1 函数的概念和图象
考点、易混易错点解读
考点：平面直角坐标系中点的坐标特征，函数及其自变量的取值范围，函数图象的分析及判断，
易混易错点：在平面直角坐标系中点的坐际问题，主要有两种类型：一是规律探索问题，这类问题不容易发现规律，确定点坐标时易出潜;二是静态情形下确定点的坐标问题，点的横、纵坐标易混淆.要区分点的坐标与线段的长，同时要正确理解实际问题中图象上点的横、纵坐标的意义.
高频考点例题点拨
高频考点1平面直角坐标系中点的坐标物征
例1 （2019.菏泽）在平面直角坐標系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图1所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点An，则点A2019的坐标是（ ）.
A. （1 010，0）
B. （1 010，1）
C. （1 009，0）
D. （1 009，1）
解析：由题意可得A.（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1） ，A6（3，1）…
∵2019÷4=504-3.
∴A2019的坐标为（504x2+1，0），即（1009，0）.
∴选C.
点拨：对于平面直角坐标系中点的坐标的规律探索问题，根据图形中点的坐标的变化特点，可以将这类题概括为两种形式：一种是点的坐标是在同一象限内递推变化，另一种是点的坐标在坐标轴上或象限内循环递推变化.解决这类题首先作出正确判断，然后根据图形的变化规律分别求出起始几个点的坐标，看看后一个点的坐标与前一个点的坐标之间有没有倍数关系，或者点的坐标与序数之间有没有关系.如果属于第一种情况，只需根据倍数关系确定所求第n个点的坐标;如果属于第二种情况，只需找出循环“一周”的变换次数，然后确定点的坐标变化的规律，求出第n个点的坐标.
例2（2019.绵阳）如图2，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O点的坐标为（0，0），A点的坐标为（4，0），∠AOC=60°.则对角线交点E的坐标为（ ）.
A.（2，√3）
B.（√3，2）
C. （√3 ，3）
D. （3 ， √3）
解析：过点E作ED⊥x轴，垂足为点D，如图3.
因为四边形OABC为菱形.∠AOC=60°.所以∠AOE=30°.在Rt△OEA中.∠OEA=90°，OA =4，可得OE=2、√3，AE=2.
根据面积法或解直角三角形，可得ED=√3.OD=3.故选D.
点拨：在平面直角坐标系中，求静态情形下点的坐标，方法是利用解直角三角形、勾股定理或相似三角形的知识求线段的长.
高频考点2 函数图象的分析
例3 （2019.潍坊）如图4，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3.动点P沿折线BCD从点B开始向点D运动（不与点D重合）.设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）.
解析方法1：动点P沿折线BCD从点B开始向点D运动（不与点D重合），可以分为两个阶段：
（1）点P在BC上运动，S△APD=1/2x3x2=3.
（2）点P在CD上运动，S△APD=1/2×3×（2+3一x）=一3/2x+15/2，此时自变量x的范围是3≤x<5.
选D.
方法2：从动点P的运动轨迹看，点C是一个分界点，此时自变量x的值为3，点P在BC上运动时△APD的面积不变，这样可以判断出正确答案为D.
点拨：解答以几何图形中的动点为背景判断函数图象的题目，一般的思路有两种：（1）找因变量与自变量之间存在的函数关系，再找出相对应的函数图象，要注意分类讨论自变量的取值范围.（2）直接根据几何量的变化趋势（注意分界点）判断函数图象，
分析函数图象的步骤是：（1）弄清楚图象中点的横、纵坐标代表的量及函数自变量的取值范围.（2）找出分段函数的分界点，函数增减性发生变化的点，以及函数图象与坐标轴的交点，根据这些特殊点的坐标求出动点运动到特殊位置上的几何量.
中考命题预测
1.如图5，在△OAB中，已知顶点0（0，0），A（-3，4），B（3，4）.将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（ ）.
A.（10，3）
B.（-3，10）
C.（10，-3）
D.（3.-10）
2.如图6，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB= ∠B=30°，OA =2.将△AOB绕点O逆时针旋转90°得△OA’B’，点B的对应点B’的坐标是（ ）.
A.（-1，2+√3）
B.（-√3，3）
C.（-√3，2+√3）
D.（-3，√3）
3.如图7，正方形ABCD的边长为2 cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1 cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为y，cm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）.
考点、易混易错点解读
考点：平面直角坐标系中点的坐标特征，函数及其自变量的取值范围，函数图象的分析及判断，
易混易错点：在平面直角坐标系中点的坐际问题，主要有两种类型：一是规律探索问题，这类问题不容易发现规律，确定点坐标时易出潜;二是静态情形下确定点的坐标问题，点的横、纵坐标易混淆.要区分点的坐标与线段的长，同时要正确理解实际问题中图象上点的横、纵坐标的意义.
高频考点例题点拨
高频考点1平面直角坐标系中点的坐标物征
例1 （2019.菏泽）在平面直角坐標系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图1所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点An，则点A2019的坐标是（ ）.
A. （1 010，0）
B. （1 010，1）
C. （1 009，0）
D. （1 009，1）
解析：由题意可得A.（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1） ，A6（3，1）…
∵2019÷4=504-3.
∴A2019的坐标为（504x2+1，0），即（1009，0）.
∴选C.
点拨：对于平面直角坐标系中点的坐标的规律探索问题，根据图形中点的坐标的变化特点，可以将这类题概括为两种形式：一种是点的坐标是在同一象限内递推变化，另一种是点的坐标在坐标轴上或象限内循环递推变化.解决这类题首先作出正确判断，然后根据图形的变化规律分别求出起始几个点的坐标，看看后一个点的坐标与前一个点的坐标之间有没有倍数关系，或者点的坐标与序数之间有没有关系.如果属于第一种情况，只需根据倍数关系确定所求第n个点的坐标;如果属于第二种情况，只需找出循环“一周”的变换次数，然后确定点的坐标变化的规律，求出第n个点的坐标.
例2（2019.绵阳）如图2，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O点的坐标为（0，0），A点的坐标为（4，0），∠AOC=60°.则对角线交点E的坐标为（ ）.
A.（2，√3）
B.（√3，2）
C. （√3 ，3）
D. （3 ， √3）
解析：过点E作ED⊥x轴，垂足为点D，如图3.
因为四边形OABC为菱形.∠AOC=60°.所以∠AOE=30°.在Rt△OEA中.∠OEA=90°，OA =4，可得OE=2、√3，AE=2.
根据面积法或解直角三角形，可得ED=√3.OD=3.故选D.
点拨：在平面直角坐标系中，求静态情形下点的坐标，方法是利用解直角三角形、勾股定理或相似三角形的知识求线段的长.
高频考点2 函数图象的分析
例3 （2019.潍坊）如图4，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3.动点P沿折线BCD从点B开始向点D运动（不与点D重合）.设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）.
解析方法1：动点P沿折线BCD从点B开始向点D运动（不与点D重合），可以分为两个阶段：
（1）点P在BC上运动，S△APD=1/2x3x2=3.
（2）点P在CD上运动，S△APD=1/2×3×（2+3一x）=一3/2x+15/2，此时自变量x的范围是3≤x<5.
选D.
方法2：从动点P的运动轨迹看，点C是一个分界点，此时自变量x的值为3，点P在BC上运动时△APD的面积不变，这样可以判断出正确答案为D.
点拨：解答以几何图形中的动点为背景判断函数图象的题目，一般的思路有两种：（1）找因变量与自变量之间存在的函数关系，再找出相对应的函数图象，要注意分类讨论自变量的取值范围.（2）直接根据几何量的变化趋势（注意分界点）判断函数图象，
分析函数图象的步骤是：（1）弄清楚图象中点的横、纵坐标代表的量及函数自变量的取值范围.（2）找出分段函数的分界点，函数增减性发生变化的点，以及函数图象与坐标轴的交点，根据这些特殊点的坐标求出动点运动到特殊位置上的几何量.
中考命题预测
1.如图5，在△OAB中，已知顶点0（0，0），A（-3，4），B（3，4）.将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（ ）.
A.（10，3）
B.（-3，10）
C.（10，-3）
D.（3.-10）
2.如图6，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB= ∠B=30°，OA =2.将△AOB绕点O逆时针旋转90°得△OA’B’，点B的对应点B’的坐标是（ ）.
A.（-1，2+√3）
B.（-√3，3）
C.（-√3，2+√3）
D.（-3，√3）
3.如图7，正方形ABCD的边长为2 cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1 cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为y，cm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）.