创新题是指以已有的知识为基础，设计一个陌生的数学情景，并给出一个新的定义或新的运算、法则等，通过阅读相关信息进行解答的一类新题型．下面例析以初等函数为背景的拓展创新题．
　　一、是否存在问题
　　例1 对于区间，若函数y=f(x)同时满足下列两个条件：①函数y=f(x)在上是单调函数；②函数y=f(x)，x∈的值域是，则称区间为函数y=f(x)的“保值”区间．
　　（1）写出函数y=x2的“保值”区间；
　　（2）函数y=x2+m(m≠0)是否存在“保值”区间？若存在，求出相应的实数m的取值范围；若不存在，试说明理由．
　　分析：求解本题需要明确保值的含义：需要满足两点，一是函数具有单调性；二是函数定义域与值域的关系．
　　解：（1）∵y=x2, ∴y≥0又y=x2在上的值域是，故上单调递增，故有a2=ab2=b a=0或a=1b=0或b=1，又a　　（2）若y=x2+m存在“保值”区间，则应有：
　　Ⅰ. 若a　　Ⅱ. 若b>a≥0，则有a2+m=ab2+m=b 等价于方程x2-x=-m(x≥0)有两个不相等的根，∴-m=(x-12)2-14(x≥0)，由图象知：-14<-m≤0, ∴0≤m<14，又∵m≠0，∴0　　综上所述，函数y=x2+m存在保值区间，此时m的取值范围是0　　点评：本题考查了函数的性质同时，也考查了解决问题的思想方法，如分类讨论思想、构造方程的思想以及数形结合思想．
　　二、开放探索创新
　　这类问题是指条件和结论答案不确定，要求在读懂题意的基础上，确定探索方向，寻找合理的解题途径．
　　例2 如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的六个点M（1，1），N（1，2），P(12,12)，Q（2，1），G（2，2），H(2,12)中，“好点”的个数为__________ ．
　　解：设指数函数为y=ax(a>0,a≠1)，对数函数为y=logbx(b>0,b≠1)；
　　由题意可知：好点必须既在指数函数的图象上又在对数函数的图象上，验证如下：
　　（1）若点M（1，1）在指数函数的图象上，则1=a1，这与a≠1矛盾，所以点M不是好点；
　　（2）若点N（1，2）在指数函数的图象上，则2=a1；若点N（1，2）在对数函数的图象上，则2=logb1(b>0,b≠1)，这显然不成立，所以点N也不是好点；
　　（3）若点P(12,12)在指数函数的图象上，则12=a12=a，解得a=14；若点P(12,12)在对数函数的图象上，则12=logb12，解得b=14，满足条件，所以点P是指数函数y=(14)x和对数函数y=log14x图象的公共点，即点P为好点；
　　同理验证可知：点Q不是好点；点G，H是好点，由以上可知只有点P，G，H是好点，故选3个．
　　点评：解决本题的关键是理解“好点”的含义：必须是既在指数函数的图象上又在对数函数的图象上的点；采用逐个验证的方式求解．
　　三、新定义
　　例3 （东北师范大学附属中学2011学年度上学期高三年级）已知函数f(x)的定义域为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．若g(x)=x+m+lnx的保值区间是__________ ．
　　解析：函数g(x)=x+m+lnx可以看作g1(x)=x+m与g2(x)=lnx由于函数g1(x)=x+m与g2(x)=lnx都是增函数，所以g(x)=x+m+lnx是增函数，当x≥e时，g(x)=x+m+lnx是增函数，所以自变量取得最小值时，g（x）也取得最小值，所以g(e)=e+m+lne=e,解得m=-1.
　　点评：解决本题需要明确何为保值区间，其次明确g（x）的单调性．
　　
　　（作者：李志勤，山东平邑县第一中学）