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一、巧用正负数
例1 实际测量一座山的高度时,可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度,然后用这些相对高度计算出山的高度.如表1是某次测量数据的部分记录(用A-C表示观测点A相对观测点C的高度):
根据这次测量的数据,可得观测点A相对观测点B 的高度是()米.
A. 210 B. 130 C. 390 D. -210
解析: 本题的数据较多,认真审题可以发现要求点A相对观测点B 的高度,得找出点A与点B的关系.由表1提供的信息可知,点A比点C高90米,点C比点D高80米,点D比点E高60米,点E比点F高-50米,点F比点G高70米,点G比点B高-40米,所以A相对观测点B 的高度为90+80+60+(-50)+70+(-40)=210(米),故选A.
点拨:理解观测点相对高度和负数量的意义是解答本题的关键.结合图形,利用数形结合的方法解答,会更形象、直观,易于理解.
二、巧用数轴
例2 数a在数轴上对应的点如图1所示,则 a,-a ,-1 的大小关系是( ).
A.-a C.a<-1<-aD.a<-a<-1
解析:根据数轴上的点的特点可知,数轴右边的数总比数轴左边的数大.由图1可知数a是小于-1的负数,所以应选C.
点拨:利用数轴比较大小时,只要把相应的点标在数轴上,就可以判断出每个数的大小.
三、巧用绝对值
例3 某出租汽车从停车场出发沿着东西向的大街进行出租业务,到晚上6时,一天的行驶记录如下:+10、-3、+4、+2、+8、+5、-2、-8、+12、-5、-7.(向东记为正,向西记为负,单位:千米)
(1)到晚上6时,出租车在什么位置.
(2)若汽车平均每千米耗油0.2升,则从停车场出发到晚上6时,出租车共耗油多少升?
解析:(1)(+10)+(-3)+(+4)+(+2)+(+8)+(+5)+(-2)+(-8)+(+12)+(-5)+(-7)=16,所以到晚上6时,出租车在停车场以东16千米处.
(2)0.2×(+10+-3++4++2++8++5+-2+-8++12+-5+-7)=0.2×66=13.2,所以出租车共耗油13.2升.
点拨:本题是与绝对值相关的数形结合问题,正确理解绝对值的意义是解答问题的关键.
四、巧用乘方
例4 如图2,我们可以发现:第1个图中有1个正方形,第2个图中共有5个正方形,第3个图中共有14个正方形,按照这个规律可知第5个图形共有________个正方形.
解析:第1个图有1 个正方形、第2个图中共有12+22=5 个正方形,第3个图中共有12+22+32=14个正方形,按照这个规律推理得第5个图中共有 12+22+32+42+52=55个正方形.
点拨:将图形计数与乘方联系起来,便可以使问题迎刃而解.
五、巧用列表
例5 某市有一块土地共100亩,某房地产商以每亩80万元的价格购得此地,准备修建“和谐花园”住宅区.计划在该住宅区内建造八个小区(A区、B区、C区…H区),其中A区、B区各修建一栋24层的楼房;C区、D区、E区各修建一栋18层的楼房;F区、G区、H区各修建一栋16层的楼房.为了满足市民不同的购房需求,开发商准备将A区、B区两个小区都修建成高档住宅,每层800m2,初步核算成本为800元/ m2;将C区、D区、E区3个小区都修建成中档住宅,每层800m2,初步核算成本为700元/ m2;将F区、G区、H区3个小区都修建成经济适用房,每层750m2,初步核算成本为600元/ m2.
整个小区内其他空余部分土地用于修建小区通道,植树造林,建花园、运动场和居民生活商店等,这些费用加物业管理费及安装楼层电梯等费用共计需要9 900万元.
开发商打算在修建完工后,将高档、中档和经济适用房分别以3 000元/ m2、2 600元/ m2和2 100元/ m2的价格销售.若房屋全部出售完,请你帮忙计算出房地产开发商的赢利是多少元?
解析:本题文字较多,若能抓住问题的基本数量关系:总赢利=总销售额-成本总价,进而分别求出总销售额和成本总价,则问题容易获解.根据题意,可列得表2如下:
楼房全部销售完总销售额为:3 000×800×24×2+2 600×800×18×3+2 100×750×16×3=30 312(万元).
成本总价为:800×800×24×2+700×800×18×3+600×750×16×3+800 000×100+9 9 000 000=26 156(万元).
总赢利=总销售额-成本总价=30 312(万元)-26 156(万元)=4 156(万元).
所以房地产开发商的赢利预计是4 156万元.
点拨:对于文字比较长的题目,牵扯到几种情况时,用列表的方法把每一种情况表示出来,便于解答.
六、巧妙运算
1.将正数或负数分别相加
例6 计算: (-2)+3+1+(-3)+2+(-4)
解析:原式=(3+1+2)+[(-2)+(-3)+(-4)]=6+(-9)=-3.
2.巧用乘法分配律
例7 计算:(-+-+)×(24×-24×+24×).
解析:原式=(-+-+)×[24×(-+)]=-×24=-5.
点拨:选择适当的运算方法能起到事半功倍的作用.
例1 实际测量一座山的高度时,可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度,然后用这些相对高度计算出山的高度.如表1是某次测量数据的部分记录(用A-C表示观测点A相对观测点C的高度):
根据这次测量的数据,可得观测点A相对观测点B 的高度是()米.
A. 210 B. 130 C. 390 D. -210
解析: 本题的数据较多,认真审题可以发现要求点A相对观测点B 的高度,得找出点A与点B的关系.由表1提供的信息可知,点A比点C高90米,点C比点D高80米,点D比点E高60米,点E比点F高-50米,点F比点G高70米,点G比点B高-40米,所以A相对观测点B 的高度为90+80+60+(-50)+70+(-40)=210(米),故选A.
点拨:理解观测点相对高度和负数量的意义是解答本题的关键.结合图形,利用数形结合的方法解答,会更形象、直观,易于理解.
二、巧用数轴
例2 数a在数轴上对应的点如图1所示,则 a,-a ,-1 的大小关系是( ).
A.-a
解析:根据数轴上的点的特点可知,数轴右边的数总比数轴左边的数大.由图1可知数a是小于-1的负数,所以应选C.
点拨:利用数轴比较大小时,只要把相应的点标在数轴上,就可以判断出每个数的大小.
三、巧用绝对值
例3 某出租汽车从停车场出发沿着东西向的大街进行出租业务,到晚上6时,一天的行驶记录如下:+10、-3、+4、+2、+8、+5、-2、-8、+12、-5、-7.(向东记为正,向西记为负,单位:千米)
(1)到晚上6时,出租车在什么位置.
(2)若汽车平均每千米耗油0.2升,则从停车场出发到晚上6时,出租车共耗油多少升?
解析:(1)(+10)+(-3)+(+4)+(+2)+(+8)+(+5)+(-2)+(-8)+(+12)+(-5)+(-7)=16,所以到晚上6时,出租车在停车场以东16千米处.
(2)0.2×(+10+-3++4++2++8++5+-2+-8++12+-5+-7)=0.2×66=13.2,所以出租车共耗油13.2升.
点拨:本题是与绝对值相关的数形结合问题,正确理解绝对值的意义是解答问题的关键.
四、巧用乘方
例4 如图2,我们可以发现:第1个图中有1个正方形,第2个图中共有5个正方形,第3个图中共有14个正方形,按照这个规律可知第5个图形共有________个正方形.
解析:第1个图有1 个正方形、第2个图中共有12+22=5 个正方形,第3个图中共有12+22+32=14个正方形,按照这个规律推理得第5个图中共有 12+22+32+42+52=55个正方形.
点拨:将图形计数与乘方联系起来,便可以使问题迎刃而解.
五、巧用列表
例5 某市有一块土地共100亩,某房地产商以每亩80万元的价格购得此地,准备修建“和谐花园”住宅区.计划在该住宅区内建造八个小区(A区、B区、C区…H区),其中A区、B区各修建一栋24层的楼房;C区、D区、E区各修建一栋18层的楼房;F区、G区、H区各修建一栋16层的楼房.为了满足市民不同的购房需求,开发商准备将A区、B区两个小区都修建成高档住宅,每层800m2,初步核算成本为800元/ m2;将C区、D区、E区3个小区都修建成中档住宅,每层800m2,初步核算成本为700元/ m2;将F区、G区、H区3个小区都修建成经济适用房,每层750m2,初步核算成本为600元/ m2.
整个小区内其他空余部分土地用于修建小区通道,植树造林,建花园、运动场和居民生活商店等,这些费用加物业管理费及安装楼层电梯等费用共计需要9 900万元.
开发商打算在修建完工后,将高档、中档和经济适用房分别以3 000元/ m2、2 600元/ m2和2 100元/ m2的价格销售.若房屋全部出售完,请你帮忙计算出房地产开发商的赢利是多少元?
解析:本题文字较多,若能抓住问题的基本数量关系:总赢利=总销售额-成本总价,进而分别求出总销售额和成本总价,则问题容易获解.根据题意,可列得表2如下:
楼房全部销售完总销售额为:3 000×800×24×2+2 600×800×18×3+2 100×750×16×3=30 312(万元).
成本总价为:800×800×24×2+700×800×18×3+600×750×16×3+800 000×100+9 9 000 000=26 156(万元).
总赢利=总销售额-成本总价=30 312(万元)-26 156(万元)=4 156(万元).
所以房地产开发商的赢利预计是4 156万元.
点拨:对于文字比较长的题目,牵扯到几种情况时,用列表的方法把每一种情况表示出来,便于解答.
六、巧妙运算
1.将正数或负数分别相加
例6 计算: (-2)+3+1+(-3)+2+(-4)
解析:原式=(3+1+2)+[(-2)+(-3)+(-4)]=6+(-9)=-3.
2.巧用乘法分配律
例7 计算:(-+-+)×(24×-24×+24×).
解析:原式=(-+-+)×[24×(-+)]=-×24=-5.
点拨:选择适当的运算方法能起到事半功倍的作用.