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[摘 要] 通过数学建模活动，能够促进学生在解决问题的过程中，自觉地从数量关系和空间形式上进行思考，形成严密的逻辑推理意识，逐步形成全面考虑问题的整体意识，不断培养学生的创造性思维等。从初中数学教育中模型思想融入的意义、理论基础和策略等三方面进行阐述。
[关 键 词] 模型思想；创造性思维；策略；教育技术
[中图分类号] G633.6 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）28-0030-02
数学的应用是数学教育的一个重要任务，随着现代数学的发展，提高全民的数学素养已成为教育工作者的重任。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。”模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。模型思想的历史可以追溯到人类开始使用数字，当人类使用数字时，就不断地建立一些数学模型来解决实际问题。
一、初中数学教育中模型思想融入的意义
（一）培养学生数学化思考意识
学习数学就是为了学会数学化，如数学教育家弗赖登塔尔所说“与其说学数学，倒不如说学习数学化”，数学化的本质在于现实问题数学化、数学内部规律化、数学内容现实化。数学化思考就是指在具体的情境中抽象出事物的本质，概括出事物之间的共同特征和普适规律，即抽象概念、建立数学模型。通过数学建模活动，能够促进学生在解决问题的过程中，自觉地从数量关系和空间形式上进行思考，形成严密的逻辑推理意识，逐步形成全面考虑问题的整体意识等。
（二）培养学生创造性思维能力
创造性思维是人类最高层次的思维活动，其实质是合理、协调地用逻辑思维、形象思维和直觉思维等多种思维形式，使有关信息有序化，从而产生积极的效果。如教育家刘佛年指出：“只要有点新意思、新思想、新观念、新设计、新意图、新做法、新方法，就称得上创造。”数学建模活动需要进行较复杂的综合思维过程，必须把逻辑思维和直觉思维结合起来，由于问题本身具有“障碍性”，不可能直接利用公式或性质得出结果，需要进行转化。创建模型，本身就是学生创造性活动的过程。在初中阶段，在教学中融入模型思想，可以激发学生学习数学的兴趣，促进学生创造性思维的发展。
二、初中数学教育中模型思想融入的理论基础
（一）建构主义理论
建构主义也称为结构主义，属于认知心理学派。建构主义理论的核心概念是图式，图式是指个体对外部世界的认识和理解方式。认知发展受三个过程的影响：即同化、顺化和平衡。同化是指个体对外部刺激的吸收或过滤的过程。顺应是指原有认知结构无法同化外部刺激提供的信息时，所导致的认知结构发生改造与重组的过程。平衡是指个体通过调节机制使认知过程从一种平衡状态向另一种平衡状态转变的过程。建构主义倡导以学习者为中心的教师指导下的学习，也就是既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。
（二）元认知理论
“元认知”是继识别、记忆、注意、思维之后的一个新名词，美国心理学家弗拉维尔首先使用该名词，一般都认为元认知就是对认知的认知，其本质是个体对认知过程的自我调节和自我意识。元认知包括三部分：元认知知识、元认知体验、元认知监控。元认知监控是元认知的主体，体现在主体根据知识特点、自身认知特点和学习目标等制订计划、确定策略、评价有效性、做出补救措施等。在基础教育阶段，元认知教育是促进学生由他主学习到自主学习的一个过渡过程，本阶段的顺利开展对认知个体形成一定的方法和价值体系起着关键的作用。
三、初中数学教育中模型思想融入的策略
（一）从数学教材出发，关注教材原题的改变
对教材中的例题和习题，可以通过改变题设和互换题设结论，形成新的数学建模问题；对教材中的纯数学问题，可以根据现实性、趣味性、可行性等原则，改编出具有实际生活背景的建模问题。
例1 如图，△ABC的外角∠CBF的平分线BD与外角∠GCB的平分线CE相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。
分析：显然此题利用角平分线的性质就可以解决。先过点P分别作直线AB、BC、AC的垂线段，利用角平分线的性质，通过等量代换，可以证明这三条垂线段相等，因此点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。
此题做完之后，可以让学生思考点P只要是哪两个角的角平分线的交点就可以得到题目的结论。通过讨论，可以得出点P只要是三个角∠A、∠GCB、∠FBC中的任意两个角的角平分线的交点，就可以得到点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。还可以让学生研究∠A与∠BPC的数量关系，那就是∠A+∠BPC=90°。
此题是人教版八年级上册中的练习题。这样以一个数学模型为樣本，深挖其中线段、角所隐含的关系，能够充分培养学生的发散性思维能力，从而提高学生的创造能力。
（二）从现实生活出发，培养学生的数学应用意识
现实生活是数学应用问题的主要源泉，生活中的许多问题可以通过建立数学模型协助解决，如家庭电费水费的计算、运输费用问题、统筹安排问题、资源分配问题等，都可以通过建立初等教学模型，理顺其中的数量关系。教师可以结合数学教材的实际内容，适时指导学生探究生活中的数学，这样不仅能够促进学生对数学知识的理解，而且能够提高学生的应用能力。
例2 南海地质勘探队在南沙群岛的一小岛发现很有价值的A，B两种矿石，A矿石大约565吨，B矿石大约500吨，上报公司，要一次性将两种矿石运往冶炼厂，需要不同型号的甲、乙两种货船共30艘，甲货船每艘运费1000元，乙货船每艘运费1200元。
（1）设运送这些矿石的总费用为y元，若使用甲货船x艘，请写出y和x之间的函数关系式； （2）如果甲货船最多可装A矿石20吨和B矿石15吨，乙货船最多可装A矿石15吨和B矿石25吨，装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费。
解：（1）∵y=1000x+1200（30-x）
∴y=36000-200x
（2）设安排甲货船x艘，则安排乙货船（30-x）艘，根据题意得：
20x+15（30-x）≥56515x+25（30-x）≥500
∴23≤x≤25.
∵x为整数，
∴x=23，24，25.
方案一：当安排甲货船23艘时，则安排乙货船7艘，此时36000-200×23=31400；
方案二：当安排甲货船24艘时，则安排乙货船6艘，此时36000-200×24=31200；
方案三：当安排甲货船25艘时，则安排乙货船5艘，此时36000-200×25=31000；
∴31000<31200<31400
∴当安排甲货船25艘、乙货船5艘时，运费最低，是31000元。
（三）应用教育技术，提高学生建模的能力
随着科技的发展，现代教育技术不断被引入课堂。现代的多媒体、教育软件等给现代教育增添了无限的可能。教师可以将一些教育软件知识教給学生，如Mathematica、几何画板、超级画板等。利用教育技术，不仅能培养学生的观察能力，而且能提高学生的直觉思维能力，进而增强学生的建模能力。
例3 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是CD和BC上的点，连接FE，当∠FAE是45°时，试确定线段BF、FE、ED之间的数量关系，且给出证明。
分析：此题可以充分利用几何画板的测量功能，通过实验的方式，首先直觉判断这三条线段的数量关系，再推理论证。比如当确定一个∠FAE是45°，E、F的位置固定时，利用几何画板的测量功能，测量此时BF、FE、ED的长度，发现有BF+ED=FE。改变E、F在CD、BC上的位置，利用几何画板的测量功能，保证∠FAE是45°，再测量BF、FE、ED的长度，发现还是有BF+ED=FE。多做几次这样的实验，发现总是有BF+ED=FE。于是可以大胆猜测BF、FE、ED之间的数量关系，即是BF+ED=FE，然后进行推理论证。实际上此题还可以利用几何画板的测量功能，当∠FAE是45°时，测量∠BFA与∠EFA，测量∠FEA与∠DEA。通过多次数学实验的结果，可以直觉判断它们的数量关系，即∠BFA=∠EFA，∠EFA=∠EFA，再进行推理论证。
（四）通过数学综合和实践活动，发展学生建模能力
数学综合与实践活动是以问题为载体、师生共同参与的学习活动。通过此种活动，不仅能够帮助学生积累数学活动经验，而且能够培养学生的数学应用意识与创新意识，也是发展学生建模能力的主要途径。当前经济生活中，模型思想在统计学方面的应用得到了很好的体现。
例4 亚健康是时下社会热门话题，进行体育锻炼是远离亚健康的一种重要方式，为了解某市初中学生每天进行体育锻炼的时间情况，随机抽样调查了100名初中学生，根据调查结果得到如下所示的统计图表。请根据表中信息解答下列问题：
（1）小王说：“我每天的锻炼时间是调查所得数据的中位数”，问小王每天进行体育锻炼的时间在什么范围内？
（2）据了解该市大约有30万名初中学生，请估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数。
点评：统计的内容具有非常丰富的实际背景，在现实世界中有着广泛的应用。要构建统计模型，最有效的方法是投入统计的全过程之中，提出问题、进行抽样、收集数据、整理数据、分析数据、做出决策。
总而言之，数学建模是实际问题与数学的联系纽带。虽然数学建模的结构灵活，但是数学建模的过程是培养学生不断探索、不断创新的过程。在初中数学教育中融入模型思想，不仅符合新课程的理念，而且是素质教育发展的需要。
参考文献：
[1]陈理荣.数学建模导论[M].北京：北京邮电大学出版社，1999.
[2]卜月华.中学数学建模教与学[M].南京：东南大学出版社，2002.
[关 键 词] 模型思想；创造性思维；策略；教育技术
[中图分类号] G633.6 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2018）28-0030-02
数学的应用是数学教育的一个重要任务，随着现代数学的发展，提高全民的数学素养已成为教育工作者的重任。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。”模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。模型思想的历史可以追溯到人类开始使用数字，当人类使用数字时，就不断地建立一些数学模型来解决实际问题。
一、初中数学教育中模型思想融入的意义
（一）培养学生数学化思考意识
学习数学就是为了学会数学化，如数学教育家弗赖登塔尔所说“与其说学数学，倒不如说学习数学化”，数学化的本质在于现实问题数学化、数学内部规律化、数学内容现实化。数学化思考就是指在具体的情境中抽象出事物的本质，概括出事物之间的共同特征和普适规律，即抽象概念、建立数学模型。通过数学建模活动，能够促进学生在解决问题的过程中，自觉地从数量关系和空间形式上进行思考，形成严密的逻辑推理意识，逐步形成全面考虑问题的整体意识等。
（二）培养学生创造性思维能力
创造性思维是人类最高层次的思维活动，其实质是合理、协调地用逻辑思维、形象思维和直觉思维等多种思维形式，使有关信息有序化，从而产生积极的效果。如教育家刘佛年指出：“只要有点新意思、新思想、新观念、新设计、新意图、新做法、新方法，就称得上创造。”数学建模活动需要进行较复杂的综合思维过程，必须把逻辑思维和直觉思维结合起来，由于问题本身具有“障碍性”，不可能直接利用公式或性质得出结果，需要进行转化。创建模型，本身就是学生创造性活动的过程。在初中阶段，在教学中融入模型思想，可以激发学生学习数学的兴趣，促进学生创造性思维的发展。
二、初中数学教育中模型思想融入的理论基础
（一）建构主义理论
建构主义也称为结构主义，属于认知心理学派。建构主义理论的核心概念是图式，图式是指个体对外部世界的认识和理解方式。认知发展受三个过程的影响：即同化、顺化和平衡。同化是指个体对外部刺激的吸收或过滤的过程。顺应是指原有认知结构无法同化外部刺激提供的信息时，所导致的认知结构发生改造与重组的过程。平衡是指个体通过调节机制使认知过程从一种平衡状态向另一种平衡状态转变的过程。建构主义倡导以学习者为中心的教师指导下的学习，也就是既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。
（二）元认知理论
“元认知”是继识别、记忆、注意、思维之后的一个新名词，美国心理学家弗拉维尔首先使用该名词，一般都认为元认知就是对认知的认知，其本质是个体对认知过程的自我调节和自我意识。元认知包括三部分：元认知知识、元认知体验、元认知监控。元认知监控是元认知的主体，体现在主体根据知识特点、自身认知特点和学习目标等制订计划、确定策略、评价有效性、做出补救措施等。在基础教育阶段，元认知教育是促进学生由他主学习到自主学习的一个过渡过程，本阶段的顺利开展对认知个体形成一定的方法和价值体系起着关键的作用。
三、初中数学教育中模型思想融入的策略
（一）从数学教材出发，关注教材原题的改变
对教材中的例题和习题，可以通过改变题设和互换题设结论，形成新的数学建模问题；对教材中的纯数学问题，可以根据现实性、趣味性、可行性等原则，改编出具有实际生活背景的建模问题。
例1 如图，△ABC的外角∠CBF的平分线BD与外角∠GCB的平分线CE相交于点P。求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。
分析：显然此题利用角平分线的性质就可以解决。先过点P分别作直线AB、BC、AC的垂线段，利用角平分线的性质，通过等量代换，可以证明这三条垂线段相等，因此点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。
此题做完之后，可以让学生思考点P只要是哪两个角的角平分线的交点就可以得到题目的结论。通过讨论，可以得出点P只要是三个角∠A、∠GCB、∠FBC中的任意两个角的角平分线的交点，就可以得到点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。还可以让学生研究∠A与∠BPC的数量关系，那就是∠A+∠BPC=90°。
此题是人教版八年级上册中的练习题。这样以一个数学模型为樣本，深挖其中线段、角所隐含的关系，能够充分培养学生的发散性思维能力，从而提高学生的创造能力。
（二）从现实生活出发，培养学生的数学应用意识
现实生活是数学应用问题的主要源泉，生活中的许多问题可以通过建立数学模型协助解决，如家庭电费水费的计算、运输费用问题、统筹安排问题、资源分配问题等，都可以通过建立初等教学模型，理顺其中的数量关系。教师可以结合数学教材的实际内容，适时指导学生探究生活中的数学，这样不仅能够促进学生对数学知识的理解，而且能够提高学生的应用能力。
例2 南海地质勘探队在南沙群岛的一小岛发现很有价值的A，B两种矿石，A矿石大约565吨，B矿石大约500吨，上报公司，要一次性将两种矿石运往冶炼厂，需要不同型号的甲、乙两种货船共30艘，甲货船每艘运费1000元，乙货船每艘运费1200元。
（1）设运送这些矿石的总费用为y元，若使用甲货船x艘，请写出y和x之间的函数关系式； （2）如果甲货船最多可装A矿石20吨和B矿石15吨，乙货船最多可装A矿石15吨和B矿石25吨，装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费。
解：（1）∵y=1000x+1200（30-x）
∴y=36000-200x
（2）设安排甲货船x艘，则安排乙货船（30-x）艘，根据题意得：
20x+15（30-x）≥56515x+25（30-x）≥500
∴23≤x≤25.
∵x为整数，
∴x=23，24，25.
方案一：当安排甲货船23艘时，则安排乙货船7艘，此时36000-200×23=31400；
方案二：当安排甲货船24艘时，则安排乙货船6艘，此时36000-200×24=31200；
方案三：当安排甲货船25艘时，则安排乙货船5艘，此时36000-200×25=31000；
∴31000<31200<31400
∴当安排甲货船25艘、乙货船5艘时，运费最低，是31000元。
（三）应用教育技术，提高学生建模的能力
随着科技的发展，现代教育技术不断被引入课堂。现代的多媒体、教育软件等给现代教育增添了无限的可能。教师可以将一些教育软件知识教給学生，如Mathematica、几何画板、超级画板等。利用教育技术，不仅能培养学生的观察能力，而且能提高学生的直觉思维能力，进而增强学生的建模能力。
例3 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是CD和BC上的点，连接FE，当∠FAE是45°时，试确定线段BF、FE、ED之间的数量关系，且给出证明。
分析：此题可以充分利用几何画板的测量功能，通过实验的方式，首先直觉判断这三条线段的数量关系，再推理论证。比如当确定一个∠FAE是45°，E、F的位置固定时，利用几何画板的测量功能，测量此时BF、FE、ED的长度，发现有BF+ED=FE。改变E、F在CD、BC上的位置，利用几何画板的测量功能，保证∠FAE是45°，再测量BF、FE、ED的长度，发现还是有BF+ED=FE。多做几次这样的实验，发现总是有BF+ED=FE。于是可以大胆猜测BF、FE、ED之间的数量关系，即是BF+ED=FE，然后进行推理论证。实际上此题还可以利用几何画板的测量功能，当∠FAE是45°时，测量∠BFA与∠EFA，测量∠FEA与∠DEA。通过多次数学实验的结果，可以直觉判断它们的数量关系，即∠BFA=∠EFA，∠EFA=∠EFA，再进行推理论证。
（四）通过数学综合和实践活动，发展学生建模能力
数学综合与实践活动是以问题为载体、师生共同参与的学习活动。通过此种活动，不仅能够帮助学生积累数学活动经验，而且能够培养学生的数学应用意识与创新意识，也是发展学生建模能力的主要途径。当前经济生活中，模型思想在统计学方面的应用得到了很好的体现。
例4 亚健康是时下社会热门话题，进行体育锻炼是远离亚健康的一种重要方式，为了解某市初中学生每天进行体育锻炼的时间情况，随机抽样调查了100名初中学生，根据调查结果得到如下所示的统计图表。请根据表中信息解答下列问题：
（1）小王说：“我每天的锻炼时间是调查所得数据的中位数”，问小王每天进行体育锻炼的时间在什么范围内？
（2）据了解该市大约有30万名初中学生，请估计该市初中学生每天进行体育锻炼时间在1小时以上的人数。
点评：统计的内容具有非常丰富的实际背景，在现实世界中有着广泛的应用。要构建统计模型，最有效的方法是投入统计的全过程之中，提出问题、进行抽样、收集数据、整理数据、分析数据、做出决策。
总而言之，数学建模是实际问题与数学的联系纽带。虽然数学建模的结构灵活，但是数学建模的过程是培养学生不断探索、不断创新的过程。在初中数学教育中融入模型思想，不仅符合新课程的理念，而且是素质教育发展的需要。
参考文献：
[1]陈理荣.数学建模导论[M].北京：北京邮电大学出版社，1999.
[2]卜月华.中学数学建模教与学[M].南京：东南大学出版社，2002.