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题目 当0 分析 要使1x2+1（a-x）2≥2恒成立，只需 1x2+1（a-x）2min≥2.故问题的实质就是求1x2+1（a-x）2的最小值，因为1x2+1（a-x）2的最小值f（a）是关于a的式子，从而建立关于a的不等式f（a）≥2，进而可求得a的最大值.
解法1 三角换元
设xa=cos2α，a-xa=sin2α（0 =1a2·sin4α+cos4αsin4αcos4α=1a2·1-12sin22α116sin42α=8a2·2-sin22αsin42α.
∵（sin22α+2）（sin22α-1）≤0，即2-sin22α≥sin42α，
则2-sin22αsin42α≥1（当sin22α=1时取等号），于是1x2+1（a-x）2≥8a2，
由已知，得8a2≥2，∴0 解法2 配方、放缩
∵21x2+1（a-x）2=（1x+1a-x）2+（1x-1a-x）2，又 1x+1a-x=4a+ 1a（ a-xx-xa-x）2，
∴21x2+1（a-x）2≥（4a）2， 即1x2+1（a-x）2≥8a2， 当且仅当a-xx=xa-x 且 1x=1a-x， 即 x=a2 时取等号.
∵ 1x2+1（a-x）2≥2恒成立， ∴ 8a2≥2，0 方向不对，努力白费。
想是问题，做是答案。______
解法3 利用平均值的关系
原不等式等价于1x2+1（a-x）22≥1 ，由 00，1a-x>0. 由 “两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”， 可知1x2+1（a-x）22≥2x+（a-x），
所以，只需2x+（a-x）≥1 ，就能使1x2+1（a-x）22≥1恒成立.
由2x+（a-x）≥1，即2a≥1，故0 解法4 基本不等式
当0 ②+①×2，得a2-x2x2+2ax-x2（a-x）2≥6，
所以a2x2-1+a2-（a-x）2（a-x）2≥6， 则a2x2+a2（a-x）2≥8，
即1x2+1（a-x）2≥8a2.由8a2≥2，得0 解法5 转化为一元二次不等式恒成立
∵1x2+1（a-x）2≥2 即 1x2+x2+1（a-x）2-x2≥2 ①
又∵1x2+x2≥2恒成立， ∴只要满足1（a-x）2-x2≥0②就能使①恒成立.
由②式，得x2（a-x）2≤1，所以x（a-x）≤1，即-x2+ax-1≤0 ③.
由于对称轴x=a2∈（0，a），由二次函数的性质知，当x∈（0，a）时，要③式恒成立，
则Δ=a2-4≤0∴0 解法6 圆与双曲线的位置关系
设X=1x，Y=1a-x（X>0，Y>0），
则X2+Y2≥2表示在XOY坐标系第一象限内以原点为圆心，2为半径的圆及其外部.
由X=1x，Y=1a-x，得aXY=X+Y，
又aXY=X+Y≥2XY，∴XY≥4a2，
它表示双曲线XY=4a2位于第一象限内的一支及其上方部分.
依题意，双曲线XY=4a2（X>0）与圆弧X2+Y2=2（X>0，Y>0）相切或相离，从而8a2≥2，即0 解法7 利用柯西不等式
运用结论“如果xi，yi∈R+（i=1，2，…，n），则x21y1+x22y2+…+x2nyn≥（x1+x2+…+xn）2y1+y2+…+yn（），
当且仅当x1y1=x2y2=…=xnyn=k（常数）时取等号.”
（选修4—5第41页习题6的推广）
∵00.由柯西不等式，有（12+12）（1x2+1（a-x）2）≥（1x+1a-x）2，
又由（）得1x+1a-x≥4a.故2（1x2+1（a-x）2）≥（4a）2，得1x2+1（a-x）2≥8a2，当且仅当x=a2时取等号.
由8a2≥2，得0 人生三大悲哀：遇良师而不学，遇良友而不交，遇良机而不握。
弱者放弃机会，强者抓住机会，智者创造机会。______
解法8 放缩运用已有结论
运用结论“若a1>a2>…>an，则1a1-a2+1a2-a3+…+1an-1-an≥（n-1）2a1-an，当且仅当a1，a2，…，an成等差数列时取等号.”
21x2+1（a-x）2=21（x-0）2+1（a-x）2≥1x-0+1a-x2
≥（3-1）2a-02=16a2.∴1x2+1（a-x）2≥8a2，
当且仅当x=a-x，即x=a2时取等号.由8a2≥2，得0
解法1 三角换元
设xa=cos2α，a-xa=sin2α（0
∵（sin22α+2）（sin22α-1）≤0，即2-sin22α≥sin42α，
则2-sin22αsin42α≥1（当sin22α=1时取等号），于是1x2+1（a-x）2≥8a2，
由已知，得8a2≥2，∴0
∵21x2+1（a-x）2=（1x+1a-x）2+（1x-1a-x）2，又 1x+1a-x=4a+ 1a（ a-xx-xa-x）2，
∴21x2+1（a-x）2≥（4a）2， 即1x2+1（a-x）2≥8a2， 当且仅当a-xx=xa-x 且 1x=1a-x， 即 x=a2 时取等号.
∵ 1x2+1（a-x）2≥2恒成立， ∴ 8a2≥2，0
想是问题，做是答案。______
解法3 利用平均值的关系
原不等式等价于1x2+1（a-x）22≥1 ，由 0
所以，只需2x+（a-x）≥1 ，就能使1x2+1（a-x）22≥1恒成立.
由2x+（a-x）≥1，即2a≥1，故0
当0
所以a2x2-1+a2-（a-x）2（a-x）2≥6， 则a2x2+a2（a-x）2≥8，
即1x2+1（a-x）2≥8a2.由8a2≥2，得0
∵1x2+1（a-x）2≥2 即 1x2+x2+1（a-x）2-x2≥2 ①
又∵1x2+x2≥2恒成立， ∴只要满足1（a-x）2-x2≥0②就能使①恒成立.
由②式，得x2（a-x）2≤1，所以x（a-x）≤1，即-x2+ax-1≤0 ③.
由于对称轴x=a2∈（0，a），由二次函数的性质知，当x∈（0，a）时，要③式恒成立，
则Δ=a2-4≤0∴0
设X=1x，Y=1a-x（X>0，Y>0），
则X2+Y2≥2表示在XOY坐标系第一象限内以原点为圆心，2为半径的圆及其外部.
由X=1x，Y=1a-x，得aXY=X+Y，
又aXY=X+Y≥2XY，∴XY≥4a2，
它表示双曲线XY=4a2位于第一象限内的一支及其上方部分.
依题意，双曲线XY=4a2（X>0）与圆弧X2+Y2=2（X>0，Y>0）相切或相离，从而8a2≥2，即0
运用结论“如果xi，yi∈R+（i=1，2，…，n），则x21y1+x22y2+…+x2nyn≥（x1+x2+…+xn）2y1+y2+…+yn（），
当且仅当x1y1=x2y2=…=xnyn=k（常数）时取等号.”
（选修4—5第41页习题6的推广）
∵0
又由（）得1x+1a-x≥4a.故2（1x2+1（a-x）2）≥（4a）2，得1x2+1（a-x）2≥8a2，当且仅当x=a2时取等号.
由8a2≥2，得0
弱者放弃机会，强者抓住机会，智者创造机会。______
解法8 放缩运用已有结论
运用结论“若a1>a2>…>an，则1a1-a2+1a2-a3+…+1an-1-an≥（n-1）2a1-an，当且仅当a1，a2，…，an成等差数列时取等号.”
21x2+1（a-x）2=21（x-0）2+1（a-x）2≥1x-0+1a-x2
≥（3-1）2a-02=16a2.∴1x2+1（a-x）2≥8a2，
当且仅当x=a-x，即x=a2时取等号.由8a2≥2，得0
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