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孟子说:“思则得之,不思则不得。”如何让学生自主地感受到圆锥的体积是基于等底等高的圆柱的体积来推导呢?带着这样的思考,我在课堂上作了一番教学尝试。
一、教学片断回放
1.合理分析
师:同学们,现在我们来研究圆锥的体积。你们认为圆锥的体积和什么有关呢?你是怎么想的?学生独立思考后交流。
生:我认为圆锥的体积和它的底面积有关。因为底面积越大的圆锥,它的体积就越大。
师:底面积越大的圆锥,它的体积一定就越大?
(学生静静地思索了一会儿后,教室里出现了“一定”“不一定”两种不同的声音。)
生:底面积越大的圆锥,它的占地面积就越大,所以它的体积就越大。
生:我反对!如果一个圆锥的底面积较大,但它的高较小。而另一个圆锥的底面积较小,可它的高却很大。你能说底面积大的圆锥,它的体积就大?(他边说边画了这样的两个圆锥。)
生:老师,我认为再补充一点就可以了。高相等的两个圆锥,底面积越大的圆锥,它的体积一定越大。(他边说边画出高相等,底面积不等的两个圆锥。)
师:通过讨论,我们发现高相等的前提下,底面积越大,它的体积就越大。那么,圆锥的体积除了跟它的底面积有关,还跟什么有关?
生:我认为圆锥的体积还跟它的高有关。因为底面积相等的圆锥,高越大,它的体积就越大。(他边说边画出底面积相等,高不等的两个圆锥。)
2.推翻猜想
师:既然圆锥的体积和它的底面积和高有关,那么大胆地猜想一下,圆锥的体积怎么求?
生:我认为圆锥的体积等于底面积乘高。
生:老师,我认为圆锥的体积等于底面积乘高是不可能的。
生:我认为有可能。
师:圆锥的体积用底面积乘高到底可不可能呢?如果圆锥的体积等于底面积乘高是不可能的,你有什么办法来推翻这个公式呢?
生:圆柱的体积等于底面积乘高。我们可以想象一下,把圆柱上面的面慢慢地浓缩成一点,就变成了一个圆锥。圆锥的体积肯定小于原来圆柱的体积,所以圆锥的体积不可能等于底面积乘高。
师:把圆柱想象变化成一个圆锥来比较,真是非常独特而有创意的想法。
生:老师,我们可以画一个圆柱和一个圆锥,它们的底面积相等,高相等,但我们可以看出圆锥的体积小于圆柱的体积。圆柱的体积等于底面积乘高,因此,圆锥的体积不可能等于底面积乘高。(他边画边讲。)
生:老师,我和他的想法一样,但画的图不同。我把圆柱和圆锥画在一起,这样我们一眼就能看出圆柱和圆锥等底等高,圆锥的体积小于圆柱的体积,所以圆锥的体积不等于底面积乘高。(他边画边讲。)
师:无论是把圆柱想象成一个圆锥,还是拿一个圆柱和圆锥来比较,你们觉得他们为什么都能比较出圆锥的体积小于圆柱的体积?
生:因为圆柱和圆锥的底面积相等,高相等,所以从图上可以直接比较出圆锥的体积小于圆柱的体积,圆锥的体积就不可能是底面积乘高。
3.正确推导
师:在等底等高的圆柱和圆锥上,我们除了能看出圆锥的体积小于圆柱的体积外,还能看出什么?
生:我觉得圆柱的体积大约是圆锥体积的2倍。
生:我认为圆柱的体积可能是圆锥体积的3倍。
生:我想给他们补充一点,应该是等底等高的圆柱和圆锥。
师:那么等底等高的圆柱的体积到底是圆锥体积的几倍呢?你们能想出什么办法解决这个问题?
小组讨论,合作交流。
生:拿一个等底等高的空心的圆柱和圆锥,把空圆锥装满沙子,倒进空圆柱里。倒几次,圆柱的体积就是圆锥体积的几倍。
生:老师,我的方法和他相反。我是把空圆柱装满沙子,往空圆锥里倒,倒几次,圆柱的体积就是圆锥体积的几倍。
生:老师,我是把等底等高的空圆柱和空圆锥都装满水,再把圆锥里的水倒进长方体的容器里,分别求出水的体积,算出两个体积之间的倍数关系。
生:我把实心的圆柱和圆锥分别放进同一个装满水的容器里,溢出的水的体积就是圆柱和圆锥的体积,再算出两个体积之间的倍数关系。
生:老师,空圆柱的体积利用公式可以直接求出。我们把等底等高的空圆锥塞满橡皮泥,再把橡皮泥做成一个长方体,算出两个体积之间的倍数关系。
师:同学们真厉害,想出这么多解决问题的办法。你们觉得这些办法中,哪个办法既省时间又容易操作?
生:倒沙子。
师:我给每一个小组准备一套学具,同学们用倒沙子的方法试一试。
学生小组活动。
师:同学们亲自操作后,有什么发现?
生:圆锥的体积等于底面积乘高再除以3。
师:这儿的底面积乘高表示什么?
生:底面积乘高表示和圆锥等底等高的圆柱的体积。
师:为什么要除以3?
生:通过倒沙子,我们发现圆柱的体积是等底等高的圆锥体积的3倍,所以圆锥的体积等于圆柱的体积除以3,也就是底面积乘高再除以3。
师:同学们在前面的讨论与交流中,推导出圆锥的体积公式:圆锥的体积等于底面积乘高再除以3。你们很厉害!
二、教后反思
新课程中指出:教师应引导和帮助学生主动去进行观察、猜想、实验、验证、推理与交流等数学活动,从而使学生增强自己对数学知识的理解,形成有效的学习策略。在上面的教学片断中,着眼于学生主动地发现问题,解决问题,构建问题,激发学生的探究欲望,激活学生的思维,使探究层层深入,彰显了探究的活力!
1.猜想——在合情分析中猜想,萌发探究的需要
建构主义认为,儿童是主动建构他们自己的知识和对事物作出自己的理解的,不是被动地去接受知识。在我们的课堂上,当学生对同一问题有不同的见解或意见时,当学生对问题的认识不够完善时,我们不妨适时放手让学生展开辩论,充分交流不同的想法,变“告诉后的接受”为“思考后的发现”,这才是行之有效的方法。“圆锥的体积和什么有关?”当学生认为“圆锥的体积和它的底面积有关,底面积越大,它的体积就越大”时,适时追问,挑起争辩:“底面积越大的圆锥,它的体积就一定越大?”在辩一辩中,学生用举例子、画图的方法来认识、阐述和感悟,最终建构起对问题的新的深层次的理解:高相等的前提下,圆锥的底面积越大,它的体积越大。底面积相等的前提下,圆锥的高越大,它的体积越大。
2.推翻——在对话交流中推翻,激发探究的欲望
郑毓信教授曾指出:教师应注意提供(或者说创造)适当的外部环境来促进学生的自我反省并引起必要的“观念冲突”。在推导圆锥体积的过程中,怎样让学生感受到“圆锥的体积是基于等底等高的圆柱的体积来推导”?如何凸显“等底等高”这一重要条件?教学时,反其道而行,改让学生“推导公式”为“推翻公式”,即推翻“圆锥的体积等于底面积乘高”。通过这一环节的变化来凸显数学问题,引发学生的认知冲突,给学生一个自我否定的空间,从而突出矛盾的焦点。我们看到学生在解决问题的过程中,自然调动已有的知识经验“圆柱的体积等于底面积乘高”,只有拿等底等高的圆柱和圆锥比较,才能得出圆锥的体积小于圆柱的体积,从而推翻圆锥的体积等于底面积乘高是根本不可能的。“等底等高”在比较的过程中自然生成,而不是老师强加给学生的,有效地促使学生实现数学知识的意义建构。在推翻“圆锥的体积等于底面积乘高”的过程中,也生成了独特而有创意的思维方法:把圆柱上面的一个面浓缩成一个点,变成一个圆锥来比较。
3.推导——在自主实践中推导,彰显探究的活力
数学学习的过程是学生“再创造”的过程,学生的智慧集中体现在对数学思想方法的深刻领悟和自觉实践上。在学生推翻公式后,我没有立即让学生动手操作,而是让学生继续观察:圆柱的体积是等底等高的圆锥的体积的几倍?你能想出什么办法来证明?给学生一个思考的空间,学生基于已有的一些生活经验想出了多样化的解决方法:倒沙子,在圆锥里装水,塞橡皮泥等,把实心的圆柱和圆锥放进装满水的容器中,算溢出水的体积。这些方法中,闪烁着学生转换、转化的智慧。在此基础上,学生动手操作验证才是自发的、适宜的、有效的。学生在亲身经历圆锥体积公式探索和形成的过程中,对圆锥公式中为什么有“÷3”不仅知其然而且知其所以然,真正领悟了数学的本质。这样的自主探究过程,学生所掌握的知识才是生动的、鲜活的,可以迁移的,学生的数学素质才能得到提高。我们的数学课堂才是有活力的!
一、教学片断回放
1.合理分析
师:同学们,现在我们来研究圆锥的体积。你们认为圆锥的体积和什么有关呢?你是怎么想的?学生独立思考后交流。
生:我认为圆锥的体积和它的底面积有关。因为底面积越大的圆锥,它的体积就越大。
师:底面积越大的圆锥,它的体积一定就越大?
(学生静静地思索了一会儿后,教室里出现了“一定”“不一定”两种不同的声音。)
生:底面积越大的圆锥,它的占地面积就越大,所以它的体积就越大。
生:我反对!如果一个圆锥的底面积较大,但它的高较小。而另一个圆锥的底面积较小,可它的高却很大。你能说底面积大的圆锥,它的体积就大?(他边说边画了这样的两个圆锥。)
生:老师,我认为再补充一点就可以了。高相等的两个圆锥,底面积越大的圆锥,它的体积一定越大。(他边说边画出高相等,底面积不等的两个圆锥。)
师:通过讨论,我们发现高相等的前提下,底面积越大,它的体积就越大。那么,圆锥的体积除了跟它的底面积有关,还跟什么有关?
生:我认为圆锥的体积还跟它的高有关。因为底面积相等的圆锥,高越大,它的体积就越大。(他边说边画出底面积相等,高不等的两个圆锥。)
2.推翻猜想
师:既然圆锥的体积和它的底面积和高有关,那么大胆地猜想一下,圆锥的体积怎么求?
生:我认为圆锥的体积等于底面积乘高。
生:老师,我认为圆锥的体积等于底面积乘高是不可能的。
生:我认为有可能。
师:圆锥的体积用底面积乘高到底可不可能呢?如果圆锥的体积等于底面积乘高是不可能的,你有什么办法来推翻这个公式呢?
生:圆柱的体积等于底面积乘高。我们可以想象一下,把圆柱上面的面慢慢地浓缩成一点,就变成了一个圆锥。圆锥的体积肯定小于原来圆柱的体积,所以圆锥的体积不可能等于底面积乘高。
师:把圆柱想象变化成一个圆锥来比较,真是非常独特而有创意的想法。
生:老师,我们可以画一个圆柱和一个圆锥,它们的底面积相等,高相等,但我们可以看出圆锥的体积小于圆柱的体积。圆柱的体积等于底面积乘高,因此,圆锥的体积不可能等于底面积乘高。(他边画边讲。)
生:老师,我和他的想法一样,但画的图不同。我把圆柱和圆锥画在一起,这样我们一眼就能看出圆柱和圆锥等底等高,圆锥的体积小于圆柱的体积,所以圆锥的体积不等于底面积乘高。(他边画边讲。)
师:无论是把圆柱想象成一个圆锥,还是拿一个圆柱和圆锥来比较,你们觉得他们为什么都能比较出圆锥的体积小于圆柱的体积?
生:因为圆柱和圆锥的底面积相等,高相等,所以从图上可以直接比较出圆锥的体积小于圆柱的体积,圆锥的体积就不可能是底面积乘高。
3.正确推导
师:在等底等高的圆柱和圆锥上,我们除了能看出圆锥的体积小于圆柱的体积外,还能看出什么?
生:我觉得圆柱的体积大约是圆锥体积的2倍。
生:我认为圆柱的体积可能是圆锥体积的3倍。
生:我想给他们补充一点,应该是等底等高的圆柱和圆锥。
师:那么等底等高的圆柱的体积到底是圆锥体积的几倍呢?你们能想出什么办法解决这个问题?
小组讨论,合作交流。
生:拿一个等底等高的空心的圆柱和圆锥,把空圆锥装满沙子,倒进空圆柱里。倒几次,圆柱的体积就是圆锥体积的几倍。
生:老师,我的方法和他相反。我是把空圆柱装满沙子,往空圆锥里倒,倒几次,圆柱的体积就是圆锥体积的几倍。
生:老师,我是把等底等高的空圆柱和空圆锥都装满水,再把圆锥里的水倒进长方体的容器里,分别求出水的体积,算出两个体积之间的倍数关系。
生:我把实心的圆柱和圆锥分别放进同一个装满水的容器里,溢出的水的体积就是圆柱和圆锥的体积,再算出两个体积之间的倍数关系。
生:老师,空圆柱的体积利用公式可以直接求出。我们把等底等高的空圆锥塞满橡皮泥,再把橡皮泥做成一个长方体,算出两个体积之间的倍数关系。
师:同学们真厉害,想出这么多解决问题的办法。你们觉得这些办法中,哪个办法既省时间又容易操作?
生:倒沙子。
师:我给每一个小组准备一套学具,同学们用倒沙子的方法试一试。
学生小组活动。
师:同学们亲自操作后,有什么发现?
生:圆锥的体积等于底面积乘高再除以3。
师:这儿的底面积乘高表示什么?
生:底面积乘高表示和圆锥等底等高的圆柱的体积。
师:为什么要除以3?
生:通过倒沙子,我们发现圆柱的体积是等底等高的圆锥体积的3倍,所以圆锥的体积等于圆柱的体积除以3,也就是底面积乘高再除以3。
师:同学们在前面的讨论与交流中,推导出圆锥的体积公式:圆锥的体积等于底面积乘高再除以3。你们很厉害!
二、教后反思
新课程中指出:教师应引导和帮助学生主动去进行观察、猜想、实验、验证、推理与交流等数学活动,从而使学生增强自己对数学知识的理解,形成有效的学习策略。在上面的教学片断中,着眼于学生主动地发现问题,解决问题,构建问题,激发学生的探究欲望,激活学生的思维,使探究层层深入,彰显了探究的活力!
1.猜想——在合情分析中猜想,萌发探究的需要
建构主义认为,儿童是主动建构他们自己的知识和对事物作出自己的理解的,不是被动地去接受知识。在我们的课堂上,当学生对同一问题有不同的见解或意见时,当学生对问题的认识不够完善时,我们不妨适时放手让学生展开辩论,充分交流不同的想法,变“告诉后的接受”为“思考后的发现”,这才是行之有效的方法。“圆锥的体积和什么有关?”当学生认为“圆锥的体积和它的底面积有关,底面积越大,它的体积就越大”时,适时追问,挑起争辩:“底面积越大的圆锥,它的体积就一定越大?”在辩一辩中,学生用举例子、画图的方法来认识、阐述和感悟,最终建构起对问题的新的深层次的理解:高相等的前提下,圆锥的底面积越大,它的体积越大。底面积相等的前提下,圆锥的高越大,它的体积越大。
2.推翻——在对话交流中推翻,激发探究的欲望
郑毓信教授曾指出:教师应注意提供(或者说创造)适当的外部环境来促进学生的自我反省并引起必要的“观念冲突”。在推导圆锥体积的过程中,怎样让学生感受到“圆锥的体积是基于等底等高的圆柱的体积来推导”?如何凸显“等底等高”这一重要条件?教学时,反其道而行,改让学生“推导公式”为“推翻公式”,即推翻“圆锥的体积等于底面积乘高”。通过这一环节的变化来凸显数学问题,引发学生的认知冲突,给学生一个自我否定的空间,从而突出矛盾的焦点。我们看到学生在解决问题的过程中,自然调动已有的知识经验“圆柱的体积等于底面积乘高”,只有拿等底等高的圆柱和圆锥比较,才能得出圆锥的体积小于圆柱的体积,从而推翻圆锥的体积等于底面积乘高是根本不可能的。“等底等高”在比较的过程中自然生成,而不是老师强加给学生的,有效地促使学生实现数学知识的意义建构。在推翻“圆锥的体积等于底面积乘高”的过程中,也生成了独特而有创意的思维方法:把圆柱上面的一个面浓缩成一个点,变成一个圆锥来比较。
3.推导——在自主实践中推导,彰显探究的活力
数学学习的过程是学生“再创造”的过程,学生的智慧集中体现在对数学思想方法的深刻领悟和自觉实践上。在学生推翻公式后,我没有立即让学生动手操作,而是让学生继续观察:圆柱的体积是等底等高的圆锥的体积的几倍?你能想出什么办法来证明?给学生一个思考的空间,学生基于已有的一些生活经验想出了多样化的解决方法:倒沙子,在圆锥里装水,塞橡皮泥等,把实心的圆柱和圆锥放进装满水的容器中,算溢出水的体积。这些方法中,闪烁着学生转换、转化的智慧。在此基础上,学生动手操作验证才是自发的、适宜的、有效的。学生在亲身经历圆锥体积公式探索和形成的过程中,对圆锥公式中为什么有“÷3”不仅知其然而且知其所以然,真正领悟了数学的本质。这样的自主探究过程,学生所掌握的知识才是生动的、鲜活的,可以迁移的,学生的数学素质才能得到提高。我们的数学课堂才是有活力的!