苏格拉底有一句名言：
　　“我只知道一件事，那就是什么都不知道。”这句话特别耐人寻昧。如果苏格拉底什么都不知道，那么他“知道的这件事”本身就不成立;而如果苏格拉底只知道一件事，那么又和他后面所说的“什么都不知道”自相矛盾。这引出了数学上一个特别有意思的概念，叫“悖论”。
　　悖论是指表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。简单来说就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。
　　举个例子，鳄鱼困境悖论里，一条鳄鱼偷了一个父亲的儿子，它保证如果这个父亲能猜出它要做什么，就会将儿子还给父亲。如果这个父亲猜“鳄鱼不会将儿子还给他”，就会成为所谓的“悖论”：如果鳄鱼不还儿子，那么父亲就猜对了，鳄鱼就必须把孩子还给父亲，否则鳄鱼违背了诺言;而如果鳄鱼将儿子还给他，那么父亲就猜错了，鳄鱼又违背了诺言。逻辑自相矛盾，这就是障论。
　　换一个角度，如果父亲猜“鳄鱼会把儿子还给他”，这就构不成悖论。因为如果鳄鱼还儿子，父亲就猜对了，儿子也会回到父亲身边。而如果鳄鱼不还儿子，父亲还是猜儿子会还给他，父亲就猜错了，鳄鱼正好不会把儿子还回来。这个假设下，没有逻辑结构的不对称，结局顺利成章，这不是悖论。
　　历史上，许多数学家都唯恐陷入障论而退避三舍。
　　集合论中曾出现过—些自相矛盾的现象，尤其是罗素的理发师障论，以极为简明的形式震撼了数学的基础，这就是“第三次数学危机”。
　　1903年，一则震惊数学界的消息传出：集合论有漏洞！这就是英国数学家罗素提出的著名理论——“罗素悖论”。“罗素障论”使集合论产生危机，由于“罗素障论”的假设与理发师相关，因此又称其为“理发师悖论”：在某个城市中有一位理发师，他的广告词：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热忱欢迎！”此话一出，来找他刮脸的人便络绎不绝，而来的这些自然都是不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸;而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
　　古希臘数学家芝诺，也曾经提出过一些著名的f孛论，对以后的数学、物理概念产生了重要影响，阿基里斯悖论是其中的一个。
　　阿基里斯是希腊神话中善跑的英雄。芝诺说：阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟。
　　一位科学家曾经用物理语言描述过这个问题：在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度量。一般度量方法是：假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为s，速度分别为v1和v2。当时间T=S/（V1-V2）时，阿基里斯就赶上了乌龟。
　　但芝诺的测量方法不同：阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点，这个时间为T1。对于任何T1，可能无限缩短，但阿基里斯永远在乌龟的后面。关键是这个T1无法度量T=S/（V1-V2）以后的时间。
　　同样在生活中，老师们总喜欢说，这次考试都得考好了，不问大家过程怎么学，只求拿到一个好分数的结果。其实这就是个典型悖论：如果过程学好了，成绩自然不会太差。而考试成绩好，必然要求你日积归累地勤奋学习。说什么不求过程，只求结果的话，大概是“超神”一般的操作吧。毕竟正常人，并不能违反自然理论而存在啊！