论文部分内容阅读
教材分析：本节课是人教版九年级数学上册第二十四章第二节的教学内容，在学生学习了轴对称图形、等腰三角形、直角三角形和圆的有关概念的基础上进行教学的。垂径定理是圆的一个重要的性质定理，它对线段的计算、证明线段相等、弧相等等问题提供了十分简便的方法。通过“实验—观察—猜想—证明”的教法，培养学生的动手能力、分析问题、解决问题的能力。并利用圆的轴对称性，对学生进行数学美的教育。
学情分析：本节课是在上节课的基础上，根据学生已有的认知水平，通过学习，联系上节课学习的有关知识，进一步提出问题，从上节课过渡到这节课的学习，既培养了学生勤于动脑、勤于思考的好习惯，又激发了学生学习和兴趣和热情。
本节课主要有两方面的内容：（1）圆的对称性。（2）垂径定理及其推论。开始以赵州桥的问题引入课题，带着问题进入学习，圆的轴对称主要通过动手操作和动画演示得出结论，圆是轴对称图形，根据轴对称进一步研究圆中相等的弧、弦得出垂径定理及其推论，利用此定理再去解决赵州桥问题。
教学目标：
知识与技能：（1） 通过观察动画演示、动手操作实验，使学生理解圆的对称性；（2） 掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决的相关的证明与计算问题；（3） 掌握辅助线的作法——作弦心距。
过程与方法：（1） 经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步培养学生观察、分析、归纳概括的能力；（2） 向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法。
情感、态度与价值观：结合本课教学特点，在教学过程中培养学生的观察能力、创新意识和良好的运用数学的习惯，培养学生猜想、探究的良好品质。激发学生的好奇心和求知欲，通过合作与交流、共同感受成功的喜悦。
教学重点：（1）理解圆的对称性；（2）掌握垂径定理、推论及其应用；（3）学会应用垂径定理等结论解决一些有关的证明、计算和作图问题。
教学难点：发现并证明垂径定理。
教具准备：圆规、直尺、圆形纸片、等腰三角形纸片、多媒体课件
教学流程
一、设置情境，提出问题
播放赵州桥图片，语音阅读教材第80页“问题”，学生观察图片并思考“问题”中的问题。
教师：要解这一问题，就要用到这节课所学的知识，我们大家一起来共同探究、寻求解决这个问题的数学方法。
二、导入新课，自主探究
（一）圆的轴对称性
学生操作：（1）将一等腰三角形对折。（回忆等腰三角形是轴对称图形，复习轴对称图形的概念。）；（2）将你手中的圆形纸片沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？（学生动手操作，教师观察操作结果）。
教师演示动画（几何画板软件）：（1）等腰三角形对折；（2）圆形纸片沿圆心对折。
提出问题：（1）你发现了什么？（2）由此你得出什么结论？
（教师引导学生通过“实验——观察——猜想”，等待学生表达自己发现的结论 ）
师生共同得出结论：（1）圆是轴对称图形；（2）经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴；（3）圆的对称轴有无数条；（4）圆也是中心对称图形。（教师要注意学生归纳结论时语言的准确性和简洁性）。
教师强调：1、圆有无数条对称轴；2、圆的对称轴是直径所在的直线。
（二）垂径定理及其推论
1、垂径定理
（1）学生操作：学生在自己准备的圆形纸片上作图：①任意作一条弦 AB；②作直径CD垂直弦AB垂足为E。将圆形纸片沿直径CD对折，观察重合部分后，发现有哪些线段相等、弧相等？（2）教师通过几何画板演示，在学生分析、观察的基础上，得出：在圆O中，CD是直径，AB是弦，CD垂直AB于E。那么AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。（教师引导，学生通过观察，思考，交流，发现结论。）；（3）在此基础上让学生自己归纳发现的结论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
板书：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
提出问题：你能结合图形用符号语言表达这个结论吗？
（让学生将文字语言转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系）。
（4）验证垂径定理：
已知：如图，在圆⊙O中，CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB于E。
求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。
分析：如图，连接OA、OB，OA=OB。可通过证明Rt△OAE ≌Rt△OBE，结合轴对称证明。
（学生观察图形，结合圆的对称性和相关知识进行思考，得出垂径定理，再进行严密的几何证明。）
2、垂径定理的推论
如上图，若直径CD平分弦AB。
提出问题：（1）直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？（2）你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）；（3）如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？
教师引导、学生讨论，并归纳得到：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
提出问题：推论中“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。”为什么不是直径？（教师用几何画板演示，让学生明白为什么“不是直径”的理由）
提出要求：如图，请同学们写出“垂径定理定理“中的题设和结论：
① 直径CD（过圆心）；② CD⊥AB（垂直于弦）；③ AE=BE（平分弦）；④ 弧AC=弧BC（平分弦所对的优弧）；⑤ 弧AD=弧BD（平分弦所对的劣弧）；
教师指导学生明确定理中的题设和结论，初步理解“知二推三”口诀的含义。
（要求每位同学独立写出下列“知二推三”的“题设”和“结论”。）
三、垂径定理、推论的应用
解决课本赵州桥问题（实际问题转化为数学问题）略
学情分析：本节课是在上节课的基础上，根据学生已有的认知水平，通过学习，联系上节课学习的有关知识，进一步提出问题，从上节课过渡到这节课的学习，既培养了学生勤于动脑、勤于思考的好习惯，又激发了学生学习和兴趣和热情。
本节课主要有两方面的内容：（1）圆的对称性。（2）垂径定理及其推论。开始以赵州桥的问题引入课题，带着问题进入学习，圆的轴对称主要通过动手操作和动画演示得出结论，圆是轴对称图形，根据轴对称进一步研究圆中相等的弧、弦得出垂径定理及其推论，利用此定理再去解决赵州桥问题。
教学目标：
知识与技能：（1） 通过观察动画演示、动手操作实验，使学生理解圆的对称性；（2） 掌握垂径定理及其推论，理解其证明，并会用它解决的相关的证明与计算问题；（3） 掌握辅助线的作法——作弦心距。
过程与方法：（1） 经历探索垂径定理及其推论的过程，进一步培养学生观察、分析、归纳概括的能力；（2） 向学生渗透“由特殊到一般”的基本思想方法。
情感、态度与价值观：结合本课教学特点，在教学过程中培养学生的观察能力、创新意识和良好的运用数学的习惯，培养学生猜想、探究的良好品质。激发学生的好奇心和求知欲，通过合作与交流、共同感受成功的喜悦。
教学重点：（1）理解圆的对称性；（2）掌握垂径定理、推论及其应用；（3）学会应用垂径定理等结论解决一些有关的证明、计算和作图问题。
教学难点：发现并证明垂径定理。
教具准备：圆规、直尺、圆形纸片、等腰三角形纸片、多媒体课件
教学流程
一、设置情境，提出问题
播放赵州桥图片，语音阅读教材第80页“问题”，学生观察图片并思考“问题”中的问题。
教师：要解这一问题，就要用到这节课所学的知识，我们大家一起来共同探究、寻求解决这个问题的数学方法。
二、导入新课，自主探究
（一）圆的轴对称性
学生操作：（1）将一等腰三角形对折。（回忆等腰三角形是轴对称图形，复习轴对称图形的概念。）；（2）将你手中的圆形纸片沿圆心对折，你会发现圆是一个什么图形？（学生动手操作，教师观察操作结果）。
教师演示动画（几何画板软件）：（1）等腰三角形对折；（2）圆形纸片沿圆心对折。
提出问题：（1）你发现了什么？（2）由此你得出什么结论？
（教师引导学生通过“实验——观察——猜想”，等待学生表达自己发现的结论 ）
师生共同得出结论：（1）圆是轴对称图形；（2）经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴；（3）圆的对称轴有无数条；（4）圆也是中心对称图形。（教师要注意学生归纳结论时语言的准确性和简洁性）。
教师强调：1、圆有无数条对称轴；2、圆的对称轴是直径所在的直线。
（二）垂径定理及其推论
1、垂径定理
（1）学生操作：学生在自己准备的圆形纸片上作图：①任意作一条弦 AB；②作直径CD垂直弦AB垂足为E。将圆形纸片沿直径CD对折，观察重合部分后，发现有哪些线段相等、弧相等？（2）教师通过几何画板演示，在学生分析、观察的基础上，得出：在圆O中，CD是直径，AB是弦，CD垂直AB于E。那么AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。（教师引导，学生通过观察，思考，交流，发现结论。）；（3）在此基础上让学生自己归纳发现的结论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
板书：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
提出问题：你能结合图形用符号语言表达这个结论吗？
（让学生将文字语言转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系）。
（4）验证垂径定理：
已知：如图，在圆⊙O中，CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB于E。
求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。
分析：如图，连接OA、OB，OA=OB。可通过证明Rt△OAE ≌Rt△OBE，结合轴对称证明。
（学生观察图形，结合圆的对称性和相关知识进行思考，得出垂径定理，再进行严密的几何证明。）
2、垂径定理的推论
如上图，若直径CD平分弦AB。
提出问题：（1）直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？（2）你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）；（3）如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？
教师引导、学生讨论，并归纳得到：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
提出问题：推论中“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。”为什么不是直径？（教师用几何画板演示，让学生明白为什么“不是直径”的理由）
提出要求：如图，请同学们写出“垂径定理定理“中的题设和结论：
① 直径CD（过圆心）；② CD⊥AB（垂直于弦）；③ AE=BE（平分弦）；④ 弧AC=弧BC（平分弦所对的优弧）；⑤ 弧AD=弧BD（平分弦所对的劣弧）；
教师指导学生明确定理中的题设和结论，初步理解“知二推三”口诀的含义。
（要求每位同学独立写出下列“知二推三”的“题设”和“结论”。）
三、垂径定理、推论的应用
解决课本赵州桥问题（实际问题转化为数学问题）略