一、三余弦公式简介
　　平面内的任意一条直线与这个平面的一条斜线所成的角的余弦值，等于这两条直线分别与该斜线在这个平面内的射影所成角的余弦值之积。
　　如图1，设直线n α，斜线l在平面α内的摄影为m，l∩α=A，斜线l与平面α所成角为θ1，射影m与直线n所成角为θ2，斜线l与直线n所成角为θ，则有cosθ= cosθ1· cosθ2
　　
　　说明：（1）当θ2＝90°时，必有θ＝90°此即三垂线定理；当θ＝90°时必有θ2＝90°此即为三垂线定理逆定理。
　　（2）当直线n不过斜足A时，θ即为异面直线l与n所成的角。
　　（3）由三余弦公式cosθ= cosθ1· cosθ2知，cosθ≤cosθ1则有θ≥θ1。这说明斜线与平面内任意直线所成的角中，线面角最小（最小角定理）。
　　（4）向量推广式： 。如图2
　　三余弦公式的应用
　　（一）求两条直线所成的角
　　例1：如图3所示，在棱长为1的正方体ABCD-
　　A1B1C1D1中，E、F分别在棱B1C1、CC1上，且， 。
　　求异面直线A1B与EF所成角的余弦值。
　　解析：因为A1B在平面BCC1D1内的射影为B1B，且A1B与B1B所成的角为45°，在Rt△EC1F中， ，
　　所以tan∠EFC1=，解得∠EFC1=30°。设异面直线A1B与EF所成的角为θ，
　　由三余弦公式，则有cosθ=
　　cos45°·cos30°= = 。
　　所以异面直线A1B与EF所成的角的余弦值是 。
　　例2：如图4，边长为a的正方形纸片ABCD， AE=
　　BF=AB，EF与BD交于O点，将正方形纸片ABCD沿BD折成直二面角，求EF的长。
　　解析：∵四边形ABCD是边长为a的正方形，AE=
　　BF=AB
　　∴OE＝ a ，OF=a，∠BOF＝45°，∠BOE＝135°
　　∵二面角C—BD—A是直二面角
　　∴直线OF在平面ABD上的射影是BD
　　∴cos∠EOF=
　　>=cos∠BOE·cos∠BOF=cos∠135°·cos∠45°=-
　　∴EF2=OE2+OF2-2OE·OFcos∠EOF= a2，∴EF=a
　　
　　（二）求直线与平面所成的角
　　例3：如图5，平行六面体AC1中，棱AB、AD、AA1两两成60°角，求AA1与平面ABCD所成角余弦值。
　　解析：过点A1 作A1H⊥平面ABCD垂足为H。
　　则∠A1 A H就是AA1与平面ABCD所成的角。
　　由题意易得，AH是∠BAD的角平分线，且∠BAH=
　　30°，由三余弦公式得cos∠A1 A B=cos∠A1 A H·cos∠B A H，即cos∠60°=cos∠A1 A H·cos∠30°
　　所以cos∠A1 A H= 。
　　即求AA1与平面ABCD所成角余弦值是。
　　（三）比较角的大小
　　例4：如图6，正方体ABCD-
　　A1B1C1D1的截角截面为△EFG，求证△EFG为锐角三角形。
　　证明：∵ ，
　　
　　
　　∴cos∠FEG= cos∠FEA ·cos∠GEA＞0
　　∴∠FEA是锐角，同理∠EFG、∠EGF也是锐角。
　　∴△EFG为锐角三角形。
　　（四）验证面面垂直
　　命题：如图7，如果cos∠POB=cos∠POA·cos∠AOB， 那么，面POA⊥面AOB。
　　证明：边P作PH⊥OA，垂足为H，边H作HG⊥OB，垂足为G，连接PG
　　在Rt△POH中，cos∠POH=
　　在Rt△OGH中，cos∠GOH=
　　∴cos∠POG ＝cos∠POH·cos∠GOH＝
　　在△POG中，PG2=
　　OP2+OG2-2OP·OG·cos∠POG= OP2+OG2-2OP·OG·= OP2-OG2
　　即PG2 + OG2 ＝
　　OP2
　　∴ △POG为直角三角形，∴ PG⊥OB
　　又∵ HG⊥OB，HG∩PG=G， ∴ OB⊥面PGH，
　　又∵PH面PGH， ∴ OB⊥PH
　　又∵PH⊥OA， OA∩OB=O
　　∴PH⊥面AOB，∴面POA⊥面AOB
　　 由上几例的求解可知：
　　1.灵活使用三余弦公式，可以很简便地求线线角、线面角等。
　　2.三余弦公式在解选择题、填空题时具有独特的简洁性。
　　3.使用三余弦公式关键是找准线在平面上的射影。
　　
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