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【摘要】本文将数学实验教学与信息技术有机结合，通过两个教学课例，说明如何让学生主动建构知识，并从中获得数学体验，提升数学核心素养.
【关键词】 APOS理论;实验教学;过程性变式
【基金项目】安徽省教育信息技术研究2019年度立项课题——信息技术条件下的高中数学实验校本课程的开发（AH2019341）.
引 言
从当前我国中学数学实验开展的总体状况看，中学阶段数学实验更侧重于教师展示知识的发展过程，帮助学生积累感性认识，加深理解，充分利用计算机辅助教学.其实施的主体是教师而不是学生，其教学内容与中学物理、化学实验相比，一般没有稳定和相对独立的内容，因而，数学实验在理论上的重要性不能保证它在课程实施中，与大学数学实验课或中学的理化实验课取得平行的重要地位.中学理化课上，实验不可缺少，大学的数学实验课上，学生实验不能省略，而中学生的数学实验课，被视为可有可无.
2017版课程标准有如下阐述：“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学生学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展.注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的实效性.不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值”.因此，有必要进行中学数学实验课的研究.
实验教学的软、硬件条件：
我校高一学生，每人一台“智慧课堂”配发的平板电脑，平板电脑内安装有GeoGebra软件.
一、APOS理论
杜宾斯基的APOS理论包含四个部分：
（一） “活动（action）”.个体通过一步步的外显性的指令去变换一个客观的对象.
（二） 经过多次的重复后，个体内化为“程序（process）”心理操作，有了这个“程序”，个体不需要具体操作，而在大脑中实施这个程序.
（三）将程序作为一个整体处理时，就变成了心理“对象（object）”.在数学概念中，概念具有过程性和对象性.概念经过个体简约压缩后，成为“对象”.
（四）与其他概念相联系，形成“图式（schema）”.
以上的过程，它反映了学生对概念的思维过程，这与上海青浦教改发起者顾泠沅先生所倡导的数学教学应“有层次的推进”的理念不谋而合.
二、两个课例
（一）定积分的教学
1.“活动”阶段
教师介绍数学史古希腊圆的面积计算.教师用GeoGebra软件展示课件：圆的内接正多边形和外切多边形，边数从6到96，用多边形的面积逼近圆的面积，让学生体会“无限细分，无限求和”的微积分思想.那么如何求y=x2，x∈[0，1]与x轴围成的面积呢？
2.“程序”阶段
学生打开平板电脑GeoGebra软件.
在变化中探求不变之理.通过命令框，改变函数解析式，定义域不变.例如，可以改为y=-x2，y=x2 1等等.通过以上多个函数的反复操作、思考，学生发现相同和不同之处.相同的是，上和与下和逼近同一个常数;不同的是，这个常数可以是正数，可以是负数，甚至可以是0.面积自然不能为负值.猜测：上和与下和的计算中用到了小区间端点的函数值.
3.“对象”阶段
为了让学生顺利地从“程序”阶段压缩到 “对象”阶段，老师板书演示y=x2的“上和”计算过程，得出和式.
学生类比、归纳得出相应的“下和”计算，在实验报告上写下y=x2的“下和”计算过程.值得注意的是，受数列知识的影响，学生对和式的计算会有困难，但他们可以通过软件输入指令迅速得到结果.
4.“图式”阶段
考查定積分的几何意义.将它和导数的概念做比较，导数是商的极限，定积分是和的极限.
以上过程中，“活动”阶段是学生理解概念的必要条件，学生感受了定积分思想的雏形.在“程序”阶段，学生有所反思，并思考出共同特征.到了“对象”阶段，对其赋予形式化的定义和符号;同时，为了让学生更加确定演示结果，用笔计算“下和”将程序化的过程符号化，以顺利压缩“程序”至“对象”.
（二）函数y=x ax单调性的“分界点”
高一学生在学完函数y=x 1x 后，同学对函数的单调性定义和图像特征有所认识.但是，y=x ax在0， ∞上的单调性，由于学生对单调性的分界点（极值点）是a感到困惑，如果老师说“由图像可知”，那么学生会用具体的函数图像归纳，但图像只是其代数形式的一种表征，而且学生在画图像时如果仅仅用描点法，那么画出的图像就显得较为粗糙，“形少数时难入微”.如果老师回答“用高二的导数知识可求”，学生的探究的进程就会暂时被搁浅，探究的激情也会受挫.因此在学生现有的知识储备下，如何有意义的建构该极值点为a？
1.“活动”阶段
学生求解方程x 1x=4，在GGB软件运算区，输入方程，点击“求近似解”按钮，即得近似解.在指令区输入y=x 1x与y=4，即得两个函数的图像.类似地，解方程x 1x=2，x 1x=12，得到相应函数图像.
2.“程序”阶段
在活动阶段学生通过方程的输入和相应图像的建立，经过多次重复，建立起了一套程序，即通过方程的根的个数判断两函数图像交点的个数.
让学生设计实验：方程x 1x=t，当t为何值时，方程只有一个根，根为多少？
3.“对象”阶段.
（1）当学生能够将x 1x=t化为x2-tx 1=0时，表明学生可以将以上过程中左右两边的变化的函数压缩为一个对象，即关于x的二次方程.当该方程有且只有一个实根时，此时学生可以从二次方程的判别式求出方程的一个根，得到t的值，进而求出方程的根1，
4.“图式”阶段
（1）学生通过割线来逼近切线的方法，认识到了单调性的“分界点”即为切点横坐标，此时，y=t为y=x ax的切线.这种思想可与后续的“导数几何意义”相联系.
（2）学生可以研究得出f（x）=g（x）有实数解y=f（x）与y=g（x）图像有交点.
三、总结
1.对数学实验与数学核心素养提升的思考
数学核心素养的提高首要任务是激发学生思考.实验操作的外显行为和内在的数学性质会激发个体产生猜测，并在操作数学对象及分析可能的动态结果中验证猜测，进而产生结论，形成思考.然而，学生不容易把握实验结果与数学性质之间的结构关系而无法形成这种思考模式.因此，在GGB环境下进行实验的过程中，教师适时给予结构性的提示将有助于学生思考.（例如 “方程的根是成对出现，这和我们所学的什么方程类似？方程在结构上能否化为二次方程”）
2.关于实验工具
在数学实验中，我们选用了动态数学教育软件GeoGebra，学生可以直接在命令框中输入命令作图、计算，实现几何图形与代数方程的同步变化.另外，GeoGebra还具备符号计算、微积分、统计等功能.在普通高中教科书数学系列中（人民教育出版社，2019版）将GeoGebra作为信息技术处理数学问题的首要工具，通过信息技术，建构数学概念，发现数学结论，同时增强了学生的数学表达能力.
【关键词】 APOS理论;实验教学;过程性变式
【基金项目】安徽省教育信息技术研究2019年度立项课题——信息技术条件下的高中数学实验校本课程的开发（AH2019341）.
引 言
从当前我国中学数学实验开展的总体状况看，中学阶段数学实验更侧重于教师展示知识的发展过程，帮助学生积累感性认识，加深理解，充分利用计算机辅助教学.其实施的主体是教师而不是学生，其教学内容与中学物理、化学实验相比，一般没有稳定和相对独立的内容，因而，数学实验在理论上的重要性不能保证它在课程实施中，与大学数学实验课或中学的理化实验课取得平行的重要地位.中学理化课上，实验不可缺少，大学的数学实验课上，学生实验不能省略，而中学生的数学实验课，被视为可有可无.
2017版课程标准有如下阐述：“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学生学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展.注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的实效性.不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值”.因此，有必要进行中学数学实验课的研究.
实验教学的软、硬件条件：
我校高一学生，每人一台“智慧课堂”配发的平板电脑，平板电脑内安装有GeoGebra软件.
一、APOS理论
杜宾斯基的APOS理论包含四个部分：
（一） “活动（action）”.个体通过一步步的外显性的指令去变换一个客观的对象.
（二） 经过多次的重复后，个体内化为“程序（process）”心理操作，有了这个“程序”，个体不需要具体操作，而在大脑中实施这个程序.
（三）将程序作为一个整体处理时，就变成了心理“对象（object）”.在数学概念中，概念具有过程性和对象性.概念经过个体简约压缩后，成为“对象”.
（四）与其他概念相联系，形成“图式（schema）”.
以上的过程，它反映了学生对概念的思维过程，这与上海青浦教改发起者顾泠沅先生所倡导的数学教学应“有层次的推进”的理念不谋而合.
二、两个课例
（一）定积分的教学
1.“活动”阶段
教师介绍数学史古希腊圆的面积计算.教师用GeoGebra软件展示课件：圆的内接正多边形和外切多边形，边数从6到96，用多边形的面积逼近圆的面积，让学生体会“无限细分，无限求和”的微积分思想.那么如何求y=x2，x∈[0，1]与x轴围成的面积呢？
2.“程序”阶段
学生打开平板电脑GeoGebra软件.
在变化中探求不变之理.通过命令框，改变函数解析式，定义域不变.例如，可以改为y=-x2，y=x2 1等等.通过以上多个函数的反复操作、思考，学生发现相同和不同之处.相同的是，上和与下和逼近同一个常数;不同的是，这个常数可以是正数，可以是负数，甚至可以是0.面积自然不能为负值.猜测：上和与下和的计算中用到了小区间端点的函数值.
3.“对象”阶段
为了让学生顺利地从“程序”阶段压缩到 “对象”阶段，老师板书演示y=x2的“上和”计算过程，得出和式.
学生类比、归纳得出相应的“下和”计算，在实验报告上写下y=x2的“下和”计算过程.值得注意的是，受数列知识的影响，学生对和式的计算会有困难，但他们可以通过软件输入指令迅速得到结果.
4.“图式”阶段
考查定積分的几何意义.将它和导数的概念做比较，导数是商的极限，定积分是和的极限.
以上过程中，“活动”阶段是学生理解概念的必要条件，学生感受了定积分思想的雏形.在“程序”阶段，学生有所反思，并思考出共同特征.到了“对象”阶段，对其赋予形式化的定义和符号;同时，为了让学生更加确定演示结果，用笔计算“下和”将程序化的过程符号化，以顺利压缩“程序”至“对象”.
（二）函数y=x ax单调性的“分界点”
高一学生在学完函数y=x 1x 后，同学对函数的单调性定义和图像特征有所认识.但是，y=x ax在0， ∞上的单调性，由于学生对单调性的分界点（极值点）是a感到困惑，如果老师说“由图像可知”，那么学生会用具体的函数图像归纳，但图像只是其代数形式的一种表征，而且学生在画图像时如果仅仅用描点法，那么画出的图像就显得较为粗糙，“形少数时难入微”.如果老师回答“用高二的导数知识可求”，学生的探究的进程就会暂时被搁浅，探究的激情也会受挫.因此在学生现有的知识储备下，如何有意义的建构该极值点为a？
1.“活动”阶段
学生求解方程x 1x=4，在GGB软件运算区，输入方程，点击“求近似解”按钮，即得近似解.在指令区输入y=x 1x与y=4，即得两个函数的图像.类似地，解方程x 1x=2，x 1x=12，得到相应函数图像.
2.“程序”阶段
在活动阶段学生通过方程的输入和相应图像的建立，经过多次重复，建立起了一套程序，即通过方程的根的个数判断两函数图像交点的个数.
让学生设计实验：方程x 1x=t，当t为何值时，方程只有一个根，根为多少？
3.“对象”阶段.
（1）当学生能够将x 1x=t化为x2-tx 1=0时，表明学生可以将以上过程中左右两边的变化的函数压缩为一个对象，即关于x的二次方程.当该方程有且只有一个实根时，此时学生可以从二次方程的判别式求出方程的一个根，得到t的值，进而求出方程的根1，
4.“图式”阶段
（1）学生通过割线来逼近切线的方法，认识到了单调性的“分界点”即为切点横坐标，此时，y=t为y=x ax的切线.这种思想可与后续的“导数几何意义”相联系.
（2）学生可以研究得出f（x）=g（x）有实数解y=f（x）与y=g（x）图像有交点.
三、总结
1.对数学实验与数学核心素养提升的思考
数学核心素养的提高首要任务是激发学生思考.实验操作的外显行为和内在的数学性质会激发个体产生猜测，并在操作数学对象及分析可能的动态结果中验证猜测，进而产生结论，形成思考.然而，学生不容易把握实验结果与数学性质之间的结构关系而无法形成这种思考模式.因此，在GGB环境下进行实验的过程中，教师适时给予结构性的提示将有助于学生思考.（例如 “方程的根是成对出现，这和我们所学的什么方程类似？方程在结构上能否化为二次方程”）
2.关于实验工具
在数学实验中，我们选用了动态数学教育软件GeoGebra，学生可以直接在命令框中输入命令作图、计算，实现几何图形与代数方程的同步变化.另外，GeoGebra还具备符号计算、微积分、统计等功能.在普通高中教科书数学系列中（人民教育出版社，2019版）将GeoGebra作为信息技术处理数学问题的首要工具，通过信息技术，建构数学概念，发现数学结论，同时增强了学生的数学表达能力.