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【摘 要】双重编码理论告诉我们：通过同时用视觉和语言的形式呈现信息可增强信息的记忆和理解。双重编码理论为数学直观教学提供了理论支持，在数学教学中，同时运用两套编码系统，可帮助学生理解数学概念，降低学生的认知负荷、学习难度，增强理解能力，提高学习效率。
【关键词】双重编码；言语表征；视觉表征
心理学家佩维奥（Paivio.1986）是双重编码理论的提出者，他认为长时记忆可以分为两个系统，即表象系统和语义系统。表象和语义是两个既相平行又相联系的认知系统，表象系统以表象代码来存储信息，语义系统以语义代码来贮存信息。当学习者用言语和表象两种认知系统表征相同的材料时，如果言语信息和图像信息在时间和空间上一致时，在编码过程中就会形成言语表征和视觉表征的连接，从而增加学习者提取信息的路径，形成有效的学习并提高学习效果[1]。
双重编码理论给数学教学的启示是：可通过同时运用图像和语言的形式呈现信息来增强信息的记忆和理解。因此，在小学数学教学中，在知识的形成阶段、联系阶段、深化阶段和再现阶段，应同时运用两套编码系统，以降低学生的认知负荷与学习难度，增强理解，提高学习效率。
一、知识形成阶段：互译比对
在知识的形成阶段，为了帮助学生在头脑中形成关于数学知识的言语表征与图像表征，要充分利用提供的数学材料的数与形两个方面特点，将数学材料中所蕴含的数学信息、数学规律以形的方式呈现出来，并引导学生再以数学语言加以描述，实现数学知识言语表征与图像表征的互译，形成对知识的深刻理解和感悟，以同化或顺应的方式纳入学生已有的认知结构中。
例如四年级下册《近似数》教学片段。
师：如果我们不需要统计出人口的准确数，只需要统计到“万”做单位的近似数就可以了，那么，男性人数和女性人数分别大约是多少万人？
生：男性大约是38万人，女性大约是39万人。
师：这两个人数都是38万多，为什么男性大约38万，女性大约39万？
生：男性人数更加接近38万，女性人数更加接近39万。
师：（出示数轴）在这条直线上有两个点分别表示38万和39万，那么男性人数大约在什么位置？女性人数大约在什么位置？（学生上台指）
师：为什么会在这个位置上？你确定点的位置的依据是什么？
生：因为男性人数不到38万5千，而女性人数超过了38万5千。
师：噢，你是看千位上的数字。千位上是几的时候，离38万更近？（0、1、2、3、4）是几的时候，离39万更近？（5、6、7、8、9）
师：那么男女人口的总人数770889，你会在直线上想到什么样的画面？请在纸上画一画。
师：说说你是怎么想的。
生：770889在77万到78万之间，因为千位上是0，所以离77万更近，大约是77万。
师：（出示下图）谁能说一说，是怎么求这几个数的近似数的？
生：以万为单位，就看千位上的数字，千位上的数字是0、1、2、3、4时就直接把后面的数全部去掉改成“万”，千位上的数字是5、6、7、8、9时，去掉后面的数字时要在万位的数字上加上1。
师：大家总结的这种求近似数的方法叫“四舍五入”法。
四舍五入法求近似数的规则用语言描述比较复杂，学生不容易理解。上述教学片段中，教师不急于引导学生得出结论，而是引导学生将材料中提供的准确数在数轴上表示出来，在学生头脑中形成准确数在数轴上位置的心理图像模式，通过教师的引导性语言将心理图像转化为数学表达——看千位上的数字是否满5。在言语和图像表征互译对比基础上，四舍五入法的规律呼之欲出，得到结论就显得水到渠成、自然顺畅。
二、知识联系阶段：多维解读
在数学知识的深化理解阶段，要实现对知识的“精加工”，需要帮助学生建立起新旧知识之间的联系，并引导学生从不同的维度分析、解读，在深层理解的基础上与更多的知识建立更加广泛的联系，甚至获得新信息，在以后运用时增加提取线索，便于检索。例如六年级下册《圆锥的体积》教学中，当体积计算公式推导出之后，组织学生建立关系模型并进行解读。
师：根据刚才的操作与推导，当你看到一个圆锥时，会想到一个什么样的圆柱？
生：我会想到和它等底等高的圆柱，这个圆柱的体积是圆锥的3倍。
生：我会想到和它底面积相等的圆柱，但是高只有它的[13]，这个圆柱的体积和它相等。
师：（出示右图）是的，在研究圆锥的体积时，我们脑中要想到这样一个图形—— 一个圆锥和一个圆柱。现在闭上眼睛，把这个图像印到自己的腦子里。
师：从这幅图中，你还能怎么描述这个圆柱和圆锥的关系？
生：圆锥比和它等底等高的圆柱体积小[23]。
生：圆柱比和它等底等高的圆锥体积多2倍。
生：等底等高的情况下，圆柱的体积与圆锥体积的比是3∶1。
生：等底等高的情况下，圆锥的体积与圆柱体积的比是1∶3。
师：如右图，圆柱形的木料加工成体积最大的圆锥，你会想到什么？
生：圆锥的体积是圆柱体积的[13]。
生：削去部分的体积是圆柱体积的[23]。
通过以上的教学环节，学生头脑中留下了圆锥与同底圆柱进行对比的视觉图像，学生对圆锥与圆柱之间的联系，有了更多角度更多层次的认识与把握，有利于学生用联系的观点看待数学对象，从而为学生的后续学习解决数学问题奠定基础。
三、知识深化阶段：开拓思维
学生学科素养的提升有赖于深度学习，只有深度学习学生才可能开拓思维。在知识的深化阶段，如果学习者能够将习得的知识推广至新的情境里加以应用，这就体现出对知识的“理解”了[2]。要实现这一目标，可行的策略之一是在知识形成并建立相关联系之后，根据学习材料的特点，呈现与知识相关的具有共同深层结构的数学问题及数学模型，运用所获得的数学概念、原理等，从数与形两个角度互相解释、启发，以引发深度体验，开拓思维。例如六年级上册《认识倒数》教学中，在通过算式辨析、感知等活动对倒数的概念有了一定认识与理解的基础上，可以呈现面积为1的长方形，引导学生从图像的角度进一步深化理解。 师：（逐一出示长方形）这些长方形的面积都是1，长和宽有什么关系？
生：长和宽互为倒数。
师：你是怎么想到的？
生：长乘宽的积都等于1，所以长和宽互为倒数。
师：（出示数据和括号）你能写出括号里的数据吗？（学生填写）
师：像这样的长方形有很多，把它们都放到一张图中（动态出示右图），每个长方形右上角的数对，里面的两个数正好是长方形的什么？
生：长和宽。
师：这些表示长和宽的数对中的两个数，有什么样的变化规律？
生：第一个数越大，第二个数就越小；第一个数越小，第二个数就越大。
师：这些数对表示的点越接近横轴和纵轴时，会不会和横轴或纵轴重合？
生：不会。
师：为什么，能不能用倒数的知识来解释一下？
生：每个数对中的两个数都互为倒数，0没有倒数，所以两个数都不可能是0，那么就不会与横轴、纵轴重合。
生：从面积的意义来说，只要长方形的面积是1，无论宽多小，都不可能为0。
根据在前一教学环节中所获得的对倒数概念的语义理解，结合长方形的面积计算，将二者建立起有效联系，再进一步将长方形及长与宽的数对表示的点绘制在坐标系上，对互为倒数的两个数的变化趋势与规律进行深度讨论，一方面利用0没有倒数的特征来说明图像的特征，另一方面根据长方形面积的特点加深对0没有倒数的结论的理解。这样的直观图像与言语信息的互相解释与互相理解，拓展了学生的思维空间和数学视野。
四、知识再现阶段：点面结合
学生的认知结构是由知识点以及知识点之间有意义的联结组成的。清晰、稳定、可辨別的认知结构是有意义学习追求的目的之一。所以，在数学教学中，要致力于帮助学生构建每一个知识点的视觉表征与言语表征，以及整个知识单元的视觉表征与言语表征，形成知识网络的心理映象，建立知识点间的联系通道，形成良好的认知结构。
（一）知识点的双重表征——数学图画
在某一数学知识点学习完之后，为进一步强化它在认知结构中的地位，可以引导学生将所学的知识点以图文结合的方式“画”出来，图（Anchor Chart）即是有效的形式之一。锚图也叫要点图，在美国中小学课堂上很常见，是将知识、逻辑、思维进行抽丝剥茧后搭配简单的图文呈现出来，基本上是“要点 图形”的展现方式，能帮助学生直观地理解数学概念、原理，领略重点。如下图所示即学生学习立方分米和表面涂色的正方体后制作的锚图，图像、符号、文字等多种元素相结合，体现了学生对所学知识的个性化理解。
小学阶段制作锚图，应根据不同年段学生的特点提出不同的要求。低段可以采用教师演示、学生再创作的方式，中高段可以逐渐放手让学生自由创作。学生在制作锚图时，教师不用给予过多帮助与干涉，不同的学生会绘制出不同的锚图，展现出思维方式的多样性。绘制好的锚图可以展示在教室的学习区域，学生可以随时互相比较、参考。
（二）知识网络双重表征——思维导图
当一个单元的知识学习完之后，可以引导学生对单元内的知识点进行图文结合的整理——绘制数学思维导图。思维导图由形象直观的图像和相应的文字、符号等元素组成，侧重于知识的整理与联系，如右上图所示的是学生在学习了五年级下册《多边形的面积》单元后所作的思维导图。学生绘制思维导图的过程，就是进行知识整合的过程，学生将零散的知识点按照知识的逻辑顺序结合自己个人的理解建构知识网络。知识网络从中心词发散，联想到越来越多的知识点，图像与言语兼具，十分有利于学生对知识的理解和记忆。
在复习课中，可以以小组为单位，讨论交流自己制作的思维导图中的概念及各概念间的关系，加深对概念的理解；同时要评价他人的思维导图。在利用思维导图进行交流的过程中，学生不仅对同学制作的思维导图进行评价，帮助同学发现问题，而且能发现自己的不足，进行自我评价，从而完善自己的知识结构。通过读图—赏图—完善图活动，学生进一步从整体上把握知识的内在结构。
从双重编码理论可以看出，合理运用两套编码系统，可降低学习者的认知负荷，拓宽信息输入渠道，提高学习效率，也为数学直观教学提供了理论支持。
参考文献：
[1]曹才瀚，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006.
[2]刘晓萍.促进深度学习的教学策略[J].教育研究与评论（小学教育教学版），2015（10）.
（江苏省苏州工业园区青剑湖学校 215122）
【关键词】双重编码；言语表征；视觉表征
心理学家佩维奥（Paivio.1986）是双重编码理论的提出者，他认为长时记忆可以分为两个系统，即表象系统和语义系统。表象和语义是两个既相平行又相联系的认知系统，表象系统以表象代码来存储信息，语义系统以语义代码来贮存信息。当学习者用言语和表象两种认知系统表征相同的材料时，如果言语信息和图像信息在时间和空间上一致时，在编码过程中就会形成言语表征和视觉表征的连接，从而增加学习者提取信息的路径，形成有效的学习并提高学习效果[1]。
双重编码理论给数学教学的启示是：可通过同时运用图像和语言的形式呈现信息来增强信息的记忆和理解。因此，在小学数学教学中，在知识的形成阶段、联系阶段、深化阶段和再现阶段，应同时运用两套编码系统，以降低学生的认知负荷与学习难度，增强理解，提高学习效率。
一、知识形成阶段：互译比对
在知识的形成阶段，为了帮助学生在头脑中形成关于数学知识的言语表征与图像表征，要充分利用提供的数学材料的数与形两个方面特点，将数学材料中所蕴含的数学信息、数学规律以形的方式呈现出来，并引导学生再以数学语言加以描述，实现数学知识言语表征与图像表征的互译，形成对知识的深刻理解和感悟，以同化或顺应的方式纳入学生已有的认知结构中。
例如四年级下册《近似数》教学片段。
师：如果我们不需要统计出人口的准确数，只需要统计到“万”做单位的近似数就可以了，那么，男性人数和女性人数分别大约是多少万人？
生：男性大约是38万人，女性大约是39万人。
师：这两个人数都是38万多，为什么男性大约38万，女性大约39万？
生：男性人数更加接近38万，女性人数更加接近39万。
师：（出示数轴）在这条直线上有两个点分别表示38万和39万，那么男性人数大约在什么位置？女性人数大约在什么位置？（学生上台指）
师：为什么会在这个位置上？你确定点的位置的依据是什么？
生：因为男性人数不到38万5千，而女性人数超过了38万5千。
师：噢，你是看千位上的数字。千位上是几的时候，离38万更近？（0、1、2、3、4）是几的时候，离39万更近？（5、6、7、8、9）
师：那么男女人口的总人数770889，你会在直线上想到什么样的画面？请在纸上画一画。
师：说说你是怎么想的。
生：770889在77万到78万之间，因为千位上是0，所以离77万更近，大约是77万。
师：（出示下图）谁能说一说，是怎么求这几个数的近似数的？
生：以万为单位，就看千位上的数字，千位上的数字是0、1、2、3、4时就直接把后面的数全部去掉改成“万”，千位上的数字是5、6、7、8、9时，去掉后面的数字时要在万位的数字上加上1。
师：大家总结的这种求近似数的方法叫“四舍五入”法。
四舍五入法求近似数的规则用语言描述比较复杂，学生不容易理解。上述教学片段中，教师不急于引导学生得出结论，而是引导学生将材料中提供的准确数在数轴上表示出来，在学生头脑中形成准确数在数轴上位置的心理图像模式，通过教师的引导性语言将心理图像转化为数学表达——看千位上的数字是否满5。在言语和图像表征互译对比基础上，四舍五入法的规律呼之欲出，得到结论就显得水到渠成、自然顺畅。
二、知识联系阶段：多维解读
在数学知识的深化理解阶段，要实现对知识的“精加工”，需要帮助学生建立起新旧知识之间的联系，并引导学生从不同的维度分析、解读，在深层理解的基础上与更多的知识建立更加广泛的联系，甚至获得新信息，在以后运用时增加提取线索，便于检索。例如六年级下册《圆锥的体积》教学中，当体积计算公式推导出之后，组织学生建立关系模型并进行解读。
师：根据刚才的操作与推导，当你看到一个圆锥时，会想到一个什么样的圆柱？
生：我会想到和它等底等高的圆柱，这个圆柱的体积是圆锥的3倍。
生：我会想到和它底面积相等的圆柱，但是高只有它的[13]，这个圆柱的体积和它相等。
师：（出示右图）是的，在研究圆锥的体积时，我们脑中要想到这样一个图形—— 一个圆锥和一个圆柱。现在闭上眼睛，把这个图像印到自己的腦子里。
师：从这幅图中，你还能怎么描述这个圆柱和圆锥的关系？
生：圆锥比和它等底等高的圆柱体积小[23]。
生：圆柱比和它等底等高的圆锥体积多2倍。
生：等底等高的情况下，圆柱的体积与圆锥体积的比是3∶1。
生：等底等高的情况下，圆锥的体积与圆柱体积的比是1∶3。
师：如右图，圆柱形的木料加工成体积最大的圆锥，你会想到什么？
生：圆锥的体积是圆柱体积的[13]。
生：削去部分的体积是圆柱体积的[23]。
通过以上的教学环节，学生头脑中留下了圆锥与同底圆柱进行对比的视觉图像，学生对圆锥与圆柱之间的联系，有了更多角度更多层次的认识与把握，有利于学生用联系的观点看待数学对象，从而为学生的后续学习解决数学问题奠定基础。
三、知识深化阶段：开拓思维
学生学科素养的提升有赖于深度学习，只有深度学习学生才可能开拓思维。在知识的深化阶段，如果学习者能够将习得的知识推广至新的情境里加以应用，这就体现出对知识的“理解”了[2]。要实现这一目标，可行的策略之一是在知识形成并建立相关联系之后，根据学习材料的特点，呈现与知识相关的具有共同深层结构的数学问题及数学模型，运用所获得的数学概念、原理等，从数与形两个角度互相解释、启发，以引发深度体验，开拓思维。例如六年级上册《认识倒数》教学中，在通过算式辨析、感知等活动对倒数的概念有了一定认识与理解的基础上，可以呈现面积为1的长方形，引导学生从图像的角度进一步深化理解。 师：（逐一出示长方形）这些长方形的面积都是1，长和宽有什么关系？
生：长和宽互为倒数。
师：你是怎么想到的？
生：长乘宽的积都等于1，所以长和宽互为倒数。
师：（出示数据和括号）你能写出括号里的数据吗？（学生填写）
师：像这样的长方形有很多，把它们都放到一张图中（动态出示右图），每个长方形右上角的数对，里面的两个数正好是长方形的什么？
生：长和宽。
师：这些表示长和宽的数对中的两个数，有什么样的变化规律？
生：第一个数越大，第二个数就越小；第一个数越小，第二个数就越大。
师：这些数对表示的点越接近横轴和纵轴时，会不会和横轴或纵轴重合？
生：不会。
师：为什么，能不能用倒数的知识来解释一下？
生：每个数对中的两个数都互为倒数，0没有倒数，所以两个数都不可能是0，那么就不会与横轴、纵轴重合。
生：从面积的意义来说，只要长方形的面积是1，无论宽多小，都不可能为0。
根据在前一教学环节中所获得的对倒数概念的语义理解，结合长方形的面积计算，将二者建立起有效联系，再进一步将长方形及长与宽的数对表示的点绘制在坐标系上，对互为倒数的两个数的变化趋势与规律进行深度讨论，一方面利用0没有倒数的特征来说明图像的特征，另一方面根据长方形面积的特点加深对0没有倒数的结论的理解。这样的直观图像与言语信息的互相解释与互相理解，拓展了学生的思维空间和数学视野。
四、知识再现阶段：点面结合
学生的认知结构是由知识点以及知识点之间有意义的联结组成的。清晰、稳定、可辨別的认知结构是有意义学习追求的目的之一。所以，在数学教学中，要致力于帮助学生构建每一个知识点的视觉表征与言语表征，以及整个知识单元的视觉表征与言语表征，形成知识网络的心理映象，建立知识点间的联系通道，形成良好的认知结构。
（一）知识点的双重表征——数学图画
在某一数学知识点学习完之后，为进一步强化它在认知结构中的地位，可以引导学生将所学的知识点以图文结合的方式“画”出来，图（Anchor Chart）即是有效的形式之一。锚图也叫要点图，在美国中小学课堂上很常见，是将知识、逻辑、思维进行抽丝剥茧后搭配简单的图文呈现出来，基本上是“要点 图形”的展现方式，能帮助学生直观地理解数学概念、原理，领略重点。如下图所示即学生学习立方分米和表面涂色的正方体后制作的锚图，图像、符号、文字等多种元素相结合，体现了学生对所学知识的个性化理解。
小学阶段制作锚图，应根据不同年段学生的特点提出不同的要求。低段可以采用教师演示、学生再创作的方式，中高段可以逐渐放手让学生自由创作。学生在制作锚图时，教师不用给予过多帮助与干涉，不同的学生会绘制出不同的锚图，展现出思维方式的多样性。绘制好的锚图可以展示在教室的学习区域，学生可以随时互相比较、参考。
（二）知识网络双重表征——思维导图
当一个单元的知识学习完之后，可以引导学生对单元内的知识点进行图文结合的整理——绘制数学思维导图。思维导图由形象直观的图像和相应的文字、符号等元素组成，侧重于知识的整理与联系，如右上图所示的是学生在学习了五年级下册《多边形的面积》单元后所作的思维导图。学生绘制思维导图的过程，就是进行知识整合的过程，学生将零散的知识点按照知识的逻辑顺序结合自己个人的理解建构知识网络。知识网络从中心词发散，联想到越来越多的知识点，图像与言语兼具，十分有利于学生对知识的理解和记忆。
在复习课中，可以以小组为单位，讨论交流自己制作的思维导图中的概念及各概念间的关系，加深对概念的理解；同时要评价他人的思维导图。在利用思维导图进行交流的过程中，学生不仅对同学制作的思维导图进行评价，帮助同学发现问题，而且能发现自己的不足，进行自我评价，从而完善自己的知识结构。通过读图—赏图—完善图活动，学生进一步从整体上把握知识的内在结构。
从双重编码理论可以看出，合理运用两套编码系统，可降低学习者的认知负荷，拓宽信息输入渠道，提高学习效率，也为数学直观教学提供了理论支持。
参考文献：
[1]曹才瀚，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2006.
[2]刘晓萍.促进深度学习的教学策略[J].教育研究与评论（小学教育教学版），2015（10）.
（江苏省苏州工业园区青剑湖学校 215122）