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新课程实施以来,中考中新增了视图这一考点,因此对几何体视图的考查倍受命题者的关注,试题呈现的形式分为:一是由几何体(实物)确定其视图;二是由视图画出几何体(或实物);三是由堆积几何体的视图确定小正方体的个数.求小正方体的个数对于学生而言,在解决时普遍感到困难,对于教师而言,在教学中有时也倍感困惑.为此,我撰写此文供大家参考．
1 由三个视图,求小正方体的个数
例1 (2010山东威海)如图1所示,是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图,则搭成这个几何体的小正方体的个数是()
A.5B.6C.7D.8
解析 此例为由堆积几何体的主视图、左视图、俯视图来确定该几何体中小正方体的个数.具体解决方案如下:
(1)观察主视图,从左到右数出每列中的小正方形的个数,即为1、2、1,将数字填入俯视图中从左到右的每列的小正方形中,如图2(1)所示;
(2)观察左视图,从左到右数出每列中的小正方形的个数,即为2、1,将数字填入俯视图中从上到下的每行的小正方形中(为了区别,用①、②…),如图2(2)所示;
(3)取图2(2)中每个小正方形内填入的一对数字中较小的数字,并与视图进行核对,得到俯视图中每个小正方形相应位置上的小正方体的个数,如图2(3)所示;
(4)如图2(3),将图中数字相加可求得该几何体的小正方体的个数,即1+2+1+1=5．
故选A．
点评 解答这类题的基本思路是这样的:先根据主视图、左视图确定俯视图中每个小正方形相应位置上的小正方体的个数,再求出组成这个几何体所需小正方体的个数.具体方法如下:
1.根据主视图,数出每列中的小正方形的个数,在俯视图对应的列中每个小正方形内填入相应的数字;
2.根据左视图,数出每列中的小正方形的个数,在俯视图对应的行中每个小正方形内填入相应的数字;
3.取俯视图中每个小正方形内填入的一对数字中的较小的一个,并与题中的视图进行核对,看是否一致,若不符,则调整小正方形中数字的位置;
4.把小正方形中数字相加,所得的结果就是组成这个几何体所需的小正方体的个数．
2 由两个视图,求小正方体的个数的最大值或最小值
例2 (2010河南)如图3所示,是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和左视图那么组成这个几何体的小正方体的个数最多为________．
解析 此例为由堆积几何体的主视图、左视图来确定该几何体中小正方体的个数的最大值.具体解决方案如下:
(1)根据主视图和左视图的列数画出“列数×列数”的小正方形网格,作为俯视图的全图,如图4(1)所示;
(2)观察主视图,从左到右数出每列中的小正方形的个数,即为2、1,将数字填入图4(1)中从左到右的每列的小正方形中,如图4(2)所示;
(3)观察左视图,从左到右数出每列中的小正方形的个数,即为2、1、1,将数字填入图4(2)中从上到下的每行的小正方形中(为了区别,用①、②…),如图4(3)所示;
(4)取图4(3)中每个小正方形内填入的一对数字中较小的数字,并与视图进行核对,得到俯视图中每个小正方形相应位置上的小正方体的个数,如图4(4)所示;
(5)如图4(4),将图中数字相加得该几何体的小正方体的个数的最大值,即2+1+1+1+1+1=7．
故填7．
拓展与延伸 组成这个几何体的小正方体的个数最少为[ZZ(Z][ZZ)]．
解析 (1)在主视图和左视图的每列上方标出该列的小正方形的个数,如图5所示:
(2)因为数字2出现了2次(偶数次),所以取2的个数为2÷2=1(个);
因为数字1出现了3次(奇数次),所以取1的个数为(3+1)÷2=2(个);
所以组成该几何体的小正方体的个数最少为2+1+1=4(个)．
故填4．
例3 (2010广东深圳)如图6所示,是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图,则能组成这个几何体的小正方体的个数最少是________个．
解析 此例为由堆积几何体的主视图、俯视图来确定该几何体中小正方体的个数的最小值.具体解决方案如下:
(1)观察主视图,从左到右数出每列中的小正方形的个数,即为3、1、2,将数字填入俯视图中从左到右的每列的小正方形中,如图7(1)所示;
(2)取每一列中小正方形里的数字的最大值(不妨取第一个正方形里的数字),同列其余的小正方形里的数字均取1,如图7(2)所示;
(3)如图7(2)所示,将图中的数字相加得组成这个几何体的小正方体的个数的最小值,即1+3+1+2+1+1=9(个)．
故填9．
拓展延伸 能组成这个几何体的小正方体的个数最多是[ZZ(Z][ZZ)]个
解析 如图7(1)所示,将每个小正方形中的各个数字相加得组成这个几何体的小正方体的个数的最大值,即3+3+1+2+2+2=13(个)．
故填13．
例4 如图8所示,是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的左视图和俯视图,则能组成这个几何体的小正方体的个数最多有_______个,最少有___个．
解析 此例为由堆积几何体的左视图、俯视图来确定该几何体中小正方体的个数的最大值和最小值.具体解决方案如下:
(1)观察左视图,从左到右数出每列中的小正方形的个数,即为1、2,将数字填入俯视图中从上到下的每行的小正方形中,如图9(1)所示;
(2)①将图9(1)中每个小正方形里的数字相加得组成这个几何体的小正方体的个数的最大值,即2+1+2+1+2=8(个);②取每一行中小正方形里的数字的最大值(不妨取第一个正方形里的数字),同行其余的小正方形里的数字均取1,如图9(2)所示,将图中的数字相加得组成这个几何体的小正方体的个数的最小值,即2+1+1+1+1=6(个)．
故最多有9个,最少有6个．
点评 解答这类题的思路与第一类相同,但在取最值时,要注意同行、同列中数字的取舍．
3 由视图,求小正方体的实际应用
例5(2010福建泉州南安)在抗震救灾某仓库里放着若干个相同的正方体货箱,某摄影记者将这堆货箱的三视图照了出来(如图10所示),则这堆正方体货箱共有( )
A. 2箱B. 3箱 C. 4箱D. 5箱
解析 此例可转化为由堆积几何体的主视图、左视图、俯视图来确定该几何体中小正方体的个数(即为这堆正方体货箱的箱数)．
(1)观察主视图,从左到右数出每列中的小正方形的个数,即为1、2、1,将数字填入俯视图中从左到右的每列的小正方形中,如图11(1)所示;
(2)观察左视图,从左到右数出每列中的小正方形的个数,即为2,将数字填入俯视图中从上到下的每行的小正方形中(为了区别,用①、②…),如图11(2)所示;
(3)取图11(2)中每个小正方形内填入的一对数字中较小的数字,并与视图进行核对,得到俯视图中每个小正方形相应位置上的小正方体的个数,如图11(3)所示;
(4)如图11(3),将图中数字相加可求得该几何体的小正方体的个数,即1+2+1=4(个),即这堆正方体货箱共有4箱．
故选C．
点评 这类题体现了视图在实际生活的应用,很好地体现数学来源于生活,并服务于生活这一理念.能激发学生的求知欲.其解题策略与前面是相同．
你想试试吗？快动手解一解吧
1.(2010•四川巴中)如图12所示,是由大小一样的小正方块摆成的立体图形的三视图,它共用_______个小正方块摆成．
A.5B.8C.7D.6
2.(2009•丽水)如图13所示,是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图,则组成这个几何体的小正方体最多块数是( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
3.(2009•嵊州)如图14所示,分别是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图,则组成这个几何体的小正方体的个数是( )
A.3个或4个B.4个或5个C.5个或6个D.6个或7个
4.(2009•眉山)在一仓库里堆放着若干个相同的正方体小货箱,仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来,如图15所示,则这堆正方体小货箱共有( )
A.11箱B.10箱 C.9箱D.8箱
作者简介:朱松林,男,1972年生,江苏盐城人.中学一级教师,大丰市教学能手,主要研究中学数学课堂教学及中考命题的走向,在省级以上刊物发表论文多篇．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
1 由三个视图,求小正方体的个数
例1 (2010山东威海)如图1所示,是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三视图,则搭成这个几何体的小正方体的个数是()
A.5B.6C.7D.8
解析 此例为由堆积几何体的主视图、左视图、俯视图来确定该几何体中小正方体的个数.具体解决方案如下:
(1)观察主视图,从左到右数出每列中的小正方形的个数,即为1、2、1,将数字填入俯视图中从左到右的每列的小正方形中,如图2(1)所示;
(2)观察左视图,从左到右数出每列中的小正方形的个数,即为2、1,将数字填入俯视图中从上到下的每行的小正方形中(为了区别,用①、②…),如图2(2)所示;
(3)取图2(2)中每个小正方形内填入的一对数字中较小的数字,并与视图进行核对,得到俯视图中每个小正方形相应位置上的小正方体的个数,如图2(3)所示;
(4)如图2(3),将图中数字相加可求得该几何体的小正方体的个数,即1+2+1+1=5．
故选A．
点评 解答这类题的基本思路是这样的:先根据主视图、左视图确定俯视图中每个小正方形相应位置上的小正方体的个数,再求出组成这个几何体所需小正方体的个数.具体方法如下:
1.根据主视图,数出每列中的小正方形的个数,在俯视图对应的列中每个小正方形内填入相应的数字;
2.根据左视图,数出每列中的小正方形的个数,在俯视图对应的行中每个小正方形内填入相应的数字;
3.取俯视图中每个小正方形内填入的一对数字中的较小的一个,并与题中的视图进行核对,看是否一致,若不符,则调整小正方形中数字的位置;
4.把小正方形中数字相加,所得的结果就是组成这个几何体所需的小正方体的个数．
2 由两个视图,求小正方体的个数的最大值或最小值
例2 (2010河南)如图3所示,是由大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和左视图那么组成这个几何体的小正方体的个数最多为________．
解析 此例为由堆积几何体的主视图、左视图来确定该几何体中小正方体的个数的最大值.具体解决方案如下:
(1)根据主视图和左视图的列数画出“列数×列数”的小正方形网格,作为俯视图的全图,如图4(1)所示;
(2)观察主视图,从左到右数出每列中的小正方形的个数,即为2、1,将数字填入图4(1)中从左到右的每列的小正方形中,如图4(2)所示;
(3)观察左视图,从左到右数出每列中的小正方形的个数,即为2、1、1,将数字填入图4(2)中从上到下的每行的小正方形中(为了区别,用①、②…),如图4(3)所示;
(4)取图4(3)中每个小正方形内填入的一对数字中较小的数字,并与视图进行核对,得到俯视图中每个小正方形相应位置上的小正方体的个数,如图4(4)所示;
(5)如图4(4),将图中数字相加得该几何体的小正方体的个数的最大值,即2+1+1+1+1+1=7．
故填7．
拓展与延伸 组成这个几何体的小正方体的个数最少为[ZZ(Z][ZZ)]．
解析 (1)在主视图和左视图的每列上方标出该列的小正方形的个数,如图5所示:
(2)因为数字2出现了2次(偶数次),所以取2的个数为2÷2=1(个);
因为数字1出现了3次(奇数次),所以取1的个数为(3+1)÷2=2(个);
所以组成该几何体的小正方体的个数最少为2+1+1=4(个)．
故填4．
例3 (2010广东深圳)如图6所示,是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图,则能组成这个几何体的小正方体的个数最少是________个．
解析 此例为由堆积几何体的主视图、俯视图来确定该几何体中小正方体的个数的最小值.具体解决方案如下:
(1)观察主视图,从左到右数出每列中的小正方形的个数,即为3、1、2,将数字填入俯视图中从左到右的每列的小正方形中,如图7(1)所示;
(2)取每一列中小正方形里的数字的最大值(不妨取第一个正方形里的数字),同列其余的小正方形里的数字均取1,如图7(2)所示;
(3)如图7(2)所示,将图中的数字相加得组成这个几何体的小正方体的个数的最小值,即1+3+1+2+1+1=9(个)．
故填9．
拓展延伸 能组成这个几何体的小正方体的个数最多是[ZZ(Z][ZZ)]个
解析 如图7(1)所示,将每个小正方形中的各个数字相加得组成这个几何体的小正方体的个数的最大值,即3+3+1+2+2+2=13(个)．
故填13．
例4 如图8所示,是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的左视图和俯视图,则能组成这个几何体的小正方体的个数最多有_______个,最少有___个．
解析 此例为由堆积几何体的左视图、俯视图来确定该几何体中小正方体的个数的最大值和最小值.具体解决方案如下:
(1)观察左视图,从左到右数出每列中的小正方形的个数,即为1、2,将数字填入俯视图中从上到下的每行的小正方形中,如图9(1)所示;
(2)①将图9(1)中每个小正方形里的数字相加得组成这个几何体的小正方体的个数的最大值,即2+1+2+1+2=8(个);②取每一行中小正方形里的数字的最大值(不妨取第一个正方形里的数字),同行其余的小正方形里的数字均取1,如图9(2)所示,将图中的数字相加得组成这个几何体的小正方体的个数的最小值,即2+1+1+1+1=6(个)．
故最多有9个,最少有6个．
点评 解答这类题的思路与第一类相同,但在取最值时,要注意同行、同列中数字的取舍．
3 由视图,求小正方体的实际应用
例5(2010福建泉州南安)在抗震救灾某仓库里放着若干个相同的正方体货箱,某摄影记者将这堆货箱的三视图照了出来(如图10所示),则这堆正方体货箱共有( )
A. 2箱B. 3箱 C. 4箱D. 5箱
解析 此例可转化为由堆积几何体的主视图、左视图、俯视图来确定该几何体中小正方体的个数(即为这堆正方体货箱的箱数)．
(1)观察主视图,从左到右数出每列中的小正方形的个数,即为1、2、1,将数字填入俯视图中从左到右的每列的小正方形中,如图11(1)所示;
(2)观察左视图,从左到右数出每列中的小正方形的个数,即为2,将数字填入俯视图中从上到下的每行的小正方形中(为了区别,用①、②…),如图11(2)所示;
(3)取图11(2)中每个小正方形内填入的一对数字中较小的数字,并与视图进行核对,得到俯视图中每个小正方形相应位置上的小正方体的个数,如图11(3)所示;
(4)如图11(3),将图中数字相加可求得该几何体的小正方体的个数,即1+2+1=4(个),即这堆正方体货箱共有4箱．
故选C．
点评 这类题体现了视图在实际生活的应用,很好地体现数学来源于生活,并服务于生活这一理念.能激发学生的求知欲.其解题策略与前面是相同．
你想试试吗？快动手解一解吧
1.(2010•四川巴中)如图12所示,是由大小一样的小正方块摆成的立体图形的三视图,它共用_______个小正方块摆成．
A.5B.8C.7D.6
2.(2009•丽水)如图13所示,是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图,则组成这个几何体的小正方体最多块数是( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
3.(2009•嵊州)如图14所示,分别是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和俯视图,则组成这个几何体的小正方体的个数是( )
A.3个或4个B.4个或5个C.5个或6个D.6个或7个
4.(2009•眉山)在一仓库里堆放着若干个相同的正方体小货箱,仓库管理员将这堆货箱的三视图画了出来,如图15所示,则这堆正方体小货箱共有( )
A.11箱B.10箱 C.9箱D.8箱
作者简介:朱松林,男,1972年生,江苏盐城人.中学一级教师,大丰市教学能手,主要研究中学数学课堂教学及中考命题的走向,在省级以上刊物发表论文多篇．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文