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【摘要】在中学数学课程改革的大背景下，高师《数学史》课程被赋予了新的教育意义，如何充分体现课程的师范特色？文章从案例研究的角度，以“概率论起源问题”为例，从研究的问题、案例选材、实践探索、反思等几个方面展开研究.
【关键词】高师；《数学史》；案例研究；概率论起源
引 言
2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）中指出：高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习要求，设立“数学史选讲”等专题.“数学史”是“数学文化”的良好载体，通过数学史的学习，能够“反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神”.
可见，在当前中学课程改革的大背景下，高师《数学史》也应该与时俱进，充分体现其教育价值，笔者自2005年开始担任《数学史》课程的教学工作，钻研《标准》精神，对课程进行思考和探索，本文以“概率论起源问题”为例，从研究的问题、内容组织、实践探索等几个方面展开思考与研究：
1.研究的问题
概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科.有越来越多的概率论方法被引入经济、金融和管理科学，概率论成为它们的有力工具.“概率论”已经成为我国高校数学系学生的必修课程之一.同时，“概率论”的重要性不仅在高师院校得以充分体现，在中学也同样占据了重要的地位.
然而，笔者曾经随机抽取20位高师生（已经学习过《概率统计》课程）调查，其中有18位表示对概率论起源问题不甚了解.以我院《概率论》课程使用教材为例：选用1983年高等教育出版社出版的《概率论与数理统计教程》（魏宗舒），没有从历史的角度陈述概率论起源问题.为了避免高师生学习过程中出现“烧中段”的现象，也为了更好地指导其今后的中学数学相关部分教学工作，了解概率论的起源问题显得必要.
综合上述，制定教学目标如下：
①了解概率论起源问题；
②尝试使用“学习单”的形式，以学习小组为单位，对“分赌注问题”问题进行分析讨论，从数学史角度上将三位数学家对该问题的讨论和研究通过学习单的形式无声地渗入学生的学习过程中.
2.内容选取
2.1 设计思路
历史的讲述不一定原原本本地要用历史的讲述方式，适当方式的转变往往会带来意想不到的效果，“学习单”的教学形式便是笔者在查阅了HPM基于数学史的教学设计案例，适当改编之后投入实验，一方面希望能够探索高师课程新的授课方式，另一方面也希望能够激发高师生的学习热情，为今后的教学工作提供参考.
说明：
①解决方案以问题单的形式呈现，一方面能够为学生思考解决方案提供线索；另一方面能够有机地与数学史知识融合，为后面的讲解埋下伏笔；
②在学习小组准备讨论之前，各小组组长上台抽取解决方案，并对该方案进行评价；
③在学习小组课堂讨论之中，发放“课堂讨论记录表”，真实记录本组学习讨论过程，便于后期数据统计.
2.2 案例选材
①《标准》中必修课程数学3“概率”内容与要求
②概率论起源问题——分赌注问题
若有甲乙两人（赌技相当）各出赌金96枚金币，规定必须要赢3场才能赢得全部赌金192枚金币，但比赛中途因故中止，此时甲、乙胜局数为2∶1.问：此时应如何分配赌金？
③通过学习单的形式向学生展示该问题三种不同的解决方案，引发学生对于该问题进一步思考.
④从数学史的角度解释提出三种不同解决方案的数学家的解题思路.
概率论起源于博弈问题.15~16世纪意大利数学家帕乔利、塔塔利亚和卡尔丹的著作中曾讨论过“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”等概率问题.1654年左右，费马与帕斯卡在一系列通信中讨论类似的合理分配赌金问题，并用组合方法给出正确解答.他们的通信引起了荷兰数学家惠更斯的兴趣，后者在1657年发表的《论赌博中的计算》是最早的概率论著作.
3.实践探索
3.1 实施过程
【课前准备】
将全班学生分为若干个学习小组，每个小组确定组长、记录员各一名.组长负责抽取探究题目、组织讨论、组织推选代表发言；记录员负责填写相应表格.
【Ⅰ《标准》中“概率”部分的要求】
首先，通过图片展示“概率”在日常生活中方方面面的应用，引起学生对于“概率论”这一数学分支的关注和好奇.
接着，将《标准》中关于概率部分的要求通过课件展示，让学生对于中学的教学要求有所了解.
然后，通过全国普通高考数学文理试卷中概率题目的呈现，旨在使学生进一步了解“概率论”在高中阶段的重要性.为下一部分“分赌注问题”的呈现埋下伏笔.
【Ⅱ分赌注问题】
首先，简要介绍了分赌注问题的提出背景，以及在“概率论”分支中的发展历程.
接着，向学生们顺次展示了四张学习单，组织学生分组讨论，说明理由.
问题的提出（分赌注问题）:
学习单1
A认为，其赌金分配应就其胜局比数，即2∶1，依照比例分配.因此，甲应分得192×23金币，乙应分得192×13金币.
问题1：请问你认为A的分法可不可行？说明理由.
学习单2
B认为，甲赢两局，乙赢一局.在掷下一次骰子时，若甲赢，他将得到全部192枚金币；若乙赢，他们所赢局数比为2∶2，在这种情况下分赌金，每人将拿回自己的96枚金币.综上所述，若甲赢将得所有192枚金币；若甲输则会拿到96枚金币，乙会拿到96枚金币，因此甲至少可拿到96枚金币，乙至少拿到0金币.假如他们不继续赌下去的话，可将96枚金币先给甲，至于剩余的96枚金币，可能甲得，可能乙得，机会是均等的，所以两人均分剩下的96枚金币，各得48枚，因此甲乙两人所得金币分别为144枚和48枚.
问题2：请问你认为B的分法可不可行？说明理由.
学习单3
C认为，根据至多需要几场比赛才能看出赢家，如果甲需要再比m场才赢；乙需要再比n场才赢，则需再经过m+n-1场才能宣布赢家.以胜局比为2∶1为例，接下来的两场比赛可能结果如下（a代表甲胜，b代表乙胜）：aa（甲胜）、ab（甲胜）、ba（甲胜）、bb（乙胜）.所以两人应得赌金之比为3∶1，即甲可得192×34枚金币，乙可得192×34枚金币.
问题3：请问你认为C的分法可不可行？说明理由.
学习单4
问题4：利用你所学过的概率知识，此赌金分配问题应如何解？为什么？
按照课前分组进行讨论，由组长抽签、组织讨论、准备发言提纲.
【Ⅲ关于分赌注问题的讨论】
每小组发言代表分别汇报本小组讨论的结果，并交回发言提纲.
【Ⅳ总结】
根据每小组发言的结果，依照“分赌注问题”的历史发展线索整体讲解.
3.2 案例特色
(1)内容选取方面
拉普拉斯说过：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”本案例选择概率论起源问题——分赌注问题进行探究，这是概率论发展史上最著名的问题之一.它早在15世纪时由意大利数学家帕西沃里的关于计算技术的教科书《总计》中提出，但他未能给出正确结果，这曾引起了长时期的争论.
案例尝试用另一种形式讲述数学历史知识，一开始不是常规地按照历史发展顺序介绍三个阶段代表数学家的成果，而是将三种解题方案改为“问题单”形式，将数学家名字隐去，以A，B，C代替，让学生感受到自己的解题思路和大数学家相似时的欣喜；借鉴国外HPM的相关研究成果，将数学历史知识无声地融入到课堂教学过程中去.
(2)教学方法方面
数学史的教学是否一定要按照“历史”的方法陈述？中学数学课堂中融入数学史知识是否也一定要按照“历史”的陈述？本案例尝试将历史无声地融入到教学中去，受到HPM研究实例的启发，设计并修改了“学习单”.学习单上没有出现任何数学家的名字，没有了数学家的“权威”，使得学习小组在讨论学习时可以充分的“放开手脚”，大胆地说出自己的想法以及改进的方案.
尽管这份学习单上并没有出现任何数学家的名字，但所列的3种方法分别是15世纪意大利数学家帕西沃里、帕斯卡和费马的解法.当学习小组知道自己的解法和某位数学家一致或相似时，都感到非常惊喜.有一位学习小组组长说道：“当我知道我自己原先的想法竟然和大数学家帕斯卡一致时，我兴奋极了.原来一直是学习数学家的成果，数学家在我们看来是那么高高在上，居然我可以和他有想法相同的时候.历史原来可以这样学！”
3.3 实施效果
(1)存在的问题与不足
实施中发现的问题如下：
①由于学习小组人数相对较多（14人左右），所以在小组讨论的过程中，有少数组员出现“边缘化”现象，不积极参与讨论.
②课堂学习小组讨论激烈，但是从课后学习小组上交的“课堂讨论记录表”来看，讨论问题的深度略显不足.8组中仅有2个学习小组意识到可以用自己学过的知识“数学期望”来解决这个问题，其余各组主要是针对所抽到的问题进行回答.
③由于时间关系，小结部分略显简单，只交代了各种意见各自的来源者——三位数学家解决该问题的简单过程.
(2)成效
①将“探究式”适度地融入到“讲授式”当中，让学生学习思维从单纯的听课习惯中“跳”出来，增强自己学习的自主意识.
②将全班分成8个小组，每组设立组长、记录员、发言代表，各司其职.学习小组的学习方式，能够有效地促进小组成员的主动性和积极性；在课堂小组讨论过程中，据观察，全班除了3—4名同学没有积极参与到讨论中，其余均能积极发表自己的见解和看法，并在组内进行讨论.
“课堂讨论记录表”填写规范，学习小组中有3个小组能够在三种解决方案基础之上，提炼出“数学期望”的解题方法，而这种思路正是后期数学家惠更斯所提出的.
③将“分赌注问题”以学习单的形式给同学们呈现，让同学们先自己思考和讨论，最终给予总结，可以缩短学生对于数学家的陌生感，当得知自己的一些想法和数学家们有异曲同工之处时，容易激发学生的学习信心和兴趣.
4.反思与建议
针对教学过程中发现的问题，提出建议：
①根据授课班级人数机动地分配学习小组，尽量使得每个学习小组人数不超过10人（6人左右最佳）.正式上课之前，进一步明确学习小组的功能，将实践活动与平时成绩挂钩，进一步发挥学习积极性.
②在课堂上尽量多启发学生深入思考，或者采取课前将问题布置到学习小组进行思考和讨论的方法.
③需要笔者更好地控制课堂讨论和发言的时间，保证时间充裕；同时，也需要进一步再钻研相关部分的历史资料，对问题的理解更加深入和透彻.
【参考文献】
［1］李文林.数学史概论（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2002.
［2］奚定华.数学教学设计［M］.上海：华东师范大学出版社，2001
［3］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［S］.北京：人民教育出版社，2003
［4］冯振举，曲安京.HPM视野下的数学新课程内容构成［J］.课程•教材•教法.2007年9月：38-42
［5］汪晓勤，张小明.HPM研究的内容与方法［J］.数学教育学报.2006（15）：16-18
［6］沈金兴.概率中“点数问题”的历史相似性研究［J］.数学教学.2006年第7期：7-9
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】高师；《数学史》；案例研究；概率论起源
引 言
2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）中指出：高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习要求，设立“数学史选讲”等专题.“数学史”是“数学文化”的良好载体，通过数学史的学习，能够“反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神”.
可见，在当前中学课程改革的大背景下，高师《数学史》也应该与时俱进，充分体现其教育价值，笔者自2005年开始担任《数学史》课程的教学工作，钻研《标准》精神，对课程进行思考和探索，本文以“概率论起源问题”为例，从研究的问题、内容组织、实践探索等几个方面展开思考与研究：
1.研究的问题
概率论是研究随机现象数量规律的数学分支.在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科.有越来越多的概率论方法被引入经济、金融和管理科学，概率论成为它们的有力工具.“概率论”已经成为我国高校数学系学生的必修课程之一.同时，“概率论”的重要性不仅在高师院校得以充分体现，在中学也同样占据了重要的地位.
然而，笔者曾经随机抽取20位高师生（已经学习过《概率统计》课程）调查，其中有18位表示对概率论起源问题不甚了解.以我院《概率论》课程使用教材为例：选用1983年高等教育出版社出版的《概率论与数理统计教程》（魏宗舒），没有从历史的角度陈述概率论起源问题.为了避免高师生学习过程中出现“烧中段”的现象，也为了更好地指导其今后的中学数学相关部分教学工作，了解概率论的起源问题显得必要.
综合上述，制定教学目标如下：
①了解概率论起源问题；
②尝试使用“学习单”的形式，以学习小组为单位，对“分赌注问题”问题进行分析讨论，从数学史角度上将三位数学家对该问题的讨论和研究通过学习单的形式无声地渗入学生的学习过程中.
2.内容选取
2.1 设计思路
历史的讲述不一定原原本本地要用历史的讲述方式，适当方式的转变往往会带来意想不到的效果，“学习单”的教学形式便是笔者在查阅了HPM基于数学史的教学设计案例，适当改编之后投入实验，一方面希望能够探索高师课程新的授课方式，另一方面也希望能够激发高师生的学习热情，为今后的教学工作提供参考.
说明：
①解决方案以问题单的形式呈现，一方面能够为学生思考解决方案提供线索；另一方面能够有机地与数学史知识融合，为后面的讲解埋下伏笔；
②在学习小组准备讨论之前，各小组组长上台抽取解决方案，并对该方案进行评价；
③在学习小组课堂讨论之中，发放“课堂讨论记录表”，真实记录本组学习讨论过程，便于后期数据统计.
2.2 案例选材
①《标准》中必修课程数学3“概率”内容与要求
②概率论起源问题——分赌注问题
若有甲乙两人（赌技相当）各出赌金96枚金币，规定必须要赢3场才能赢得全部赌金192枚金币，但比赛中途因故中止，此时甲、乙胜局数为2∶1.问：此时应如何分配赌金？
③通过学习单的形式向学生展示该问题三种不同的解决方案，引发学生对于该问题进一步思考.
④从数学史的角度解释提出三种不同解决方案的数学家的解题思路.
概率论起源于博弈问题.15~16世纪意大利数学家帕乔利、塔塔利亚和卡尔丹的著作中曾讨论过“如果两人赌博提前结束，该如何分配赌金”等概率问题.1654年左右，费马与帕斯卡在一系列通信中讨论类似的合理分配赌金问题，并用组合方法给出正确解答.他们的通信引起了荷兰数学家惠更斯的兴趣，后者在1657年发表的《论赌博中的计算》是最早的概率论著作.
3.实践探索
3.1 实施过程
【课前准备】
将全班学生分为若干个学习小组，每个小组确定组长、记录员各一名.组长负责抽取探究题目、组织讨论、组织推选代表发言；记录员负责填写相应表格.
【Ⅰ《标准》中“概率”部分的要求】
首先，通过图片展示“概率”在日常生活中方方面面的应用，引起学生对于“概率论”这一数学分支的关注和好奇.
接着，将《标准》中关于概率部分的要求通过课件展示，让学生对于中学的教学要求有所了解.
然后，通过全国普通高考数学文理试卷中概率题目的呈现，旨在使学生进一步了解“概率论”在高中阶段的重要性.为下一部分“分赌注问题”的呈现埋下伏笔.
【Ⅱ分赌注问题】
首先，简要介绍了分赌注问题的提出背景，以及在“概率论”分支中的发展历程.
接着，向学生们顺次展示了四张学习单，组织学生分组讨论，说明理由.
问题的提出（分赌注问题）:
学习单1
A认为，其赌金分配应就其胜局比数，即2∶1，依照比例分配.因此，甲应分得192×23金币，乙应分得192×13金币.
问题1：请问你认为A的分法可不可行？说明理由.
学习单2
B认为，甲赢两局，乙赢一局.在掷下一次骰子时，若甲赢，他将得到全部192枚金币；若乙赢，他们所赢局数比为2∶2，在这种情况下分赌金，每人将拿回自己的96枚金币.综上所述，若甲赢将得所有192枚金币；若甲输则会拿到96枚金币，乙会拿到96枚金币，因此甲至少可拿到96枚金币，乙至少拿到0金币.假如他们不继续赌下去的话，可将96枚金币先给甲，至于剩余的96枚金币，可能甲得，可能乙得，机会是均等的，所以两人均分剩下的96枚金币，各得48枚，因此甲乙两人所得金币分别为144枚和48枚.
问题2：请问你认为B的分法可不可行？说明理由.
学习单3
C认为，根据至多需要几场比赛才能看出赢家，如果甲需要再比m场才赢；乙需要再比n场才赢，则需再经过m+n-1场才能宣布赢家.以胜局比为2∶1为例，接下来的两场比赛可能结果如下（a代表甲胜，b代表乙胜）：aa（甲胜）、ab（甲胜）、ba（甲胜）、bb（乙胜）.所以两人应得赌金之比为3∶1，即甲可得192×34枚金币，乙可得192×34枚金币.
问题3：请问你认为C的分法可不可行？说明理由.
学习单4
问题4：利用你所学过的概率知识，此赌金分配问题应如何解？为什么？
按照课前分组进行讨论，由组长抽签、组织讨论、准备发言提纲.
【Ⅲ关于分赌注问题的讨论】
每小组发言代表分别汇报本小组讨论的结果，并交回发言提纲.
【Ⅳ总结】
根据每小组发言的结果，依照“分赌注问题”的历史发展线索整体讲解.
3.2 案例特色
(1)内容选取方面
拉普拉斯说过：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”本案例选择概率论起源问题——分赌注问题进行探究，这是概率论发展史上最著名的问题之一.它早在15世纪时由意大利数学家帕西沃里的关于计算技术的教科书《总计》中提出，但他未能给出正确结果，这曾引起了长时期的争论.
案例尝试用另一种形式讲述数学历史知识，一开始不是常规地按照历史发展顺序介绍三个阶段代表数学家的成果，而是将三种解题方案改为“问题单”形式，将数学家名字隐去，以A，B，C代替，让学生感受到自己的解题思路和大数学家相似时的欣喜；借鉴国外HPM的相关研究成果，将数学历史知识无声地融入到课堂教学过程中去.
(2)教学方法方面
数学史的教学是否一定要按照“历史”的方法陈述？中学数学课堂中融入数学史知识是否也一定要按照“历史”的陈述？本案例尝试将历史无声地融入到教学中去，受到HPM研究实例的启发，设计并修改了“学习单”.学习单上没有出现任何数学家的名字，没有了数学家的“权威”，使得学习小组在讨论学习时可以充分的“放开手脚”，大胆地说出自己的想法以及改进的方案.
尽管这份学习单上并没有出现任何数学家的名字，但所列的3种方法分别是15世纪意大利数学家帕西沃里、帕斯卡和费马的解法.当学习小组知道自己的解法和某位数学家一致或相似时，都感到非常惊喜.有一位学习小组组长说道：“当我知道我自己原先的想法竟然和大数学家帕斯卡一致时，我兴奋极了.原来一直是学习数学家的成果，数学家在我们看来是那么高高在上，居然我可以和他有想法相同的时候.历史原来可以这样学！”
3.3 实施效果
(1)存在的问题与不足
实施中发现的问题如下：
①由于学习小组人数相对较多（14人左右），所以在小组讨论的过程中，有少数组员出现“边缘化”现象，不积极参与讨论.
②课堂学习小组讨论激烈，但是从课后学习小组上交的“课堂讨论记录表”来看，讨论问题的深度略显不足.8组中仅有2个学习小组意识到可以用自己学过的知识“数学期望”来解决这个问题，其余各组主要是针对所抽到的问题进行回答.
③由于时间关系，小结部分略显简单，只交代了各种意见各自的来源者——三位数学家解决该问题的简单过程.
(2)成效
①将“探究式”适度地融入到“讲授式”当中，让学生学习思维从单纯的听课习惯中“跳”出来，增强自己学习的自主意识.
②将全班分成8个小组，每组设立组长、记录员、发言代表，各司其职.学习小组的学习方式，能够有效地促进小组成员的主动性和积极性；在课堂小组讨论过程中，据观察，全班除了3—4名同学没有积极参与到讨论中，其余均能积极发表自己的见解和看法，并在组内进行讨论.
“课堂讨论记录表”填写规范，学习小组中有3个小组能够在三种解决方案基础之上，提炼出“数学期望”的解题方法，而这种思路正是后期数学家惠更斯所提出的.
③将“分赌注问题”以学习单的形式给同学们呈现，让同学们先自己思考和讨论，最终给予总结，可以缩短学生对于数学家的陌生感，当得知自己的一些想法和数学家们有异曲同工之处时，容易激发学生的学习信心和兴趣.
4.反思与建议
针对教学过程中发现的问题，提出建议：
①根据授课班级人数机动地分配学习小组，尽量使得每个学习小组人数不超过10人（6人左右最佳）.正式上课之前，进一步明确学习小组的功能，将实践活动与平时成绩挂钩，进一步发挥学习积极性.
②在课堂上尽量多启发学生深入思考，或者采取课前将问题布置到学习小组进行思考和讨论的方法.
③需要笔者更好地控制课堂讨论和发言的时间，保证时间充裕；同时，也需要进一步再钻研相关部分的历史资料，对问题的理解更加深入和透彻.
【参考文献】
［1］李文林.数学史概论（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2002.
［2］奚定华.数学教学设计［M］.上海：华东师范大学出版社，2001
［3］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［S］.北京：人民教育出版社，2003
［4］冯振举，曲安京.HPM视野下的数学新课程内容构成［J］.课程•教材•教法.2007年9月：38-42
［5］汪晓勤，张小明.HPM研究的内容与方法［J］.数学教育学报.2006（15）：16-18
［6］沈金兴.概率中“点数问题”的历史相似性研究［J］.数学教学.2006年第7期：7-9
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文