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【摘要】义务教育数学课程标准（2011版）提出要培养学生的几何直观能力。几何直观在学生的数学学习中发挥着不可替代的作用，它可以将抽象的数学概念清晰化，有效地帮助学生理解算理，建构模型，助推数学能力提升，思维发展。
【关键词】几何直观 清晰概念 理解算理 深化思维
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）02-0114-02
随着数学2011版课程标准的颁发、使用“几何直观”成了新标准中的十大核心概念词。重视几何直观能力的培养，加强几何直观的运用，是数学教学的方向。几何直观主要是指利用图形描述、分析、解决问题。借助几何直观，可以将复杂的数学问题简明化、形象化，有助于学生的思考和理解，有效地帮助学生清晰表征，建构模型，提升数学思维。
一、抽象概念，清晰表征
在小学数学基础知识中，数学概念占有相当的比重，并且有些数学概念比较抽象，小学生受到自身知识经验水平和思维水平的限制和影响，对这些概念往往是懂非懂，模棱两可，教师一时也很难用语言解释清楚。这时，几何直观往往会成为非常有效的表达、解释工具。正如，笛卡尔曾说过的：“没有任何东西比几何图形更容易引入脑际了，因此，用这种方式来表达事物是非常有益的。”数学中图形语言也像文字语言那样具有记录作用，而且比文字语言更形象，更有利于学生的形象记忆，更有利于学生对数学知识的理解。
例如：教学“3的倍数的特征”。教师一般情况下先复习2、5的倍数的特征，小结：判断一个数是不是2或5的倍数，只要看个位；其次列举一些3的倍数，发现3的倍数的个位上0到9都有可能，发现不能依据个位特征判断一个数是否是3的倍数；接着猜想3的倍数是否与各个数位上的数和有关；最后得出结论，记忆并应用结论。但事实上，学生对于3的倍数为什么要看一个数的各个数位上的数字之和只知其果而未知其因。而利用百数表和小棒直观图就能清晰的解决问题。
1.在百数表上圈出3的倍数。
2.观察百数表，你有什么发现？（“3的倍数排成了斜行；十位上的数加1，各位上的数就减1。”）
3.它们什么不变？（“十位上的数与各位上的数的和不变。”）。至此，3的倍数的特征就呼之欲出。
验证：以“42”为例。借助小棒图让学生直观看到：1个十被3除余一，4个十被3除，共余4个一，再加上个位上的2个一，一共6根小棒，刚好是3的倍数。
4.拓展：验证三位数。例如“105”，百位上的数除以3余下的根数1和各位上的根数5相加是3的倍数，所以105是3的倍数；“115”，百位上、十位上的数除以3余下的根数加上个位上的数的和不是3的倍数，所以115不是3的倍数。
通过几何直观，不仅使学生明晰了3的倍数的特征，更使学生深刻领悟3的倍数的特征隐含的“所以然”。
二、理解算理，构建模型
在小学数学知识体系中，计算教学占有很大的比重，虽然通过教学学生能掌握计算方法，但还有很多学生不能理解算理，而且了解的也不够深入。我国数学家华罗庚先生曾很形象地讲过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数形结合，几何直观能帮助学生实现算法具体化与抽象化两者之间的高度融合，高度统一，帮助学生对知识的深层建构，加深对算法的理解。
例如：教学环形的面积公式：s=л（a2-b2）=л（a+b）×（a-b）
在学习过环形面积的计算之后，很多学生对于л（a2-b2）的计算总是错误较高，究其原因之一是多数学生计算时用的是口算的方法，如果遇到数字较大时，往往学生算得比较慢，而且错误率又较高。很多老师会让学生再仔细地算一遍，但学生错误依旧。我思索着，可否用л（a+b）×（a-b）来计算呢？这样不仅可以可以简化计算，而且很多时候可以口算。
我决定让几何直观来帮忙，让学生理解a2-b2=（a+b）×（a-b）。a2代表大正方形的面积，b2代表小正方形的面积。a2-b2代表图中空白部分的面积（图一）。其中，空白部分的面积可以通过割补的方法（图二）拼成一个长方形（图三）。图三长方形的面积就是长（a+b）、宽（a-b），面积等于（a+b）×（a-b）。所以，a2-b2=（a+b）×（a-b）。当学生的头脑中有了这三幅图的经验支撑，他们对于a2-b2=（a+b）×（a-b）的理解是深刻地、全面地。
再比如：a÷b÷c=a÷（b×c）。教学时，很多老师采用的是通过举例子的验证，学生可以记住这个结论，但更多地是建立一种表象，没有将其本质属性纳入自身的知识体系中。因此，我们可以通过几何直观让学生借助图形亲自参与到操作、验证中，让归纳、推理、概括、总结的过程由学生自己完成，这样，不仅可以帮助学生有效地记住这个数学规律，还可以帮助学生建立相应地数学模型。
画图时我们假设b=3，c=4，那么：
三、深化思维，提升能力
美国数学家斯蒂恩说过：“如果一个特定的问题可以转化为图形，那么，思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”这就表明，解题时若能挖掘问题的几何意义，配以图形，示以直观，那么就能取得以简驭繁的效果。而小学中高年级的数学教材或配套练习往往是用文字的形式呈现的。纯文字的形式表述比较简洁，但也使学生在理解上增加了一定的困难，以致学生常常读不懂题意。如果在解决问题时学生能主动的画一画、涂一涂，借助几何中直观的图形将抽象的问题具体化、形象化，学生能轻松地找到解决问题的办法，提升学生解决问题的能力。
1.加强语言之间的联系，合理转换
例如：五年级（1）班和（2）班同学分组去春游，两班人数相等。（1）班学生平均分成了4组，（2）班同学平均分成了6组，结果1班每组的人数比2班每组人数多4人，这两个班共有多少人？ 单读文字，很多学生不能找出其中的数量关系，解题也无从下手，引导学生分析时，可以将文字语言逐步转化成图形语言，沟通他们之间的联系，题意也在直观中明晰。
2.注重数与形的结合，有效理解
借助几何直观可以加强学生对数学知识方法的理解， 优化解题过程。学生的几何直观能力增强了， 对其提高数学理解能力有很大的帮助。
本题可以设计三个教学层次：第一层次，鼓励学生尝试自主解答，学生一般会先通分，然后相加；第二层次，不断添加分数，制造学生认知冲突，寻找解决问题的数学规律；第三层次，教师可以引导学生构造出一个边长为1的正方形，通过引导学生看图，发现算式与图形之间的联系，从中发现规律。计算题和图形看似没有任何关系，但将分数加法转化成图形表示后，不仅避开了复杂旳运箅，还提升了学生思维的深度，将数与形更好地结合了起来。
3.强化数学意识的培养，提升思维
几何直观不仅是一种数学意识，也是一种技能与能力，更是一种数学的思维方式。在数学问题的解决过程中，我们常常发现有些学生遇到数学问题的时候宁可托着下巴冥思苦想，也不肯用草稿纸画一画，尝试算一算，试探地寻找解题的规律。因此，对于数学教学来说，几何直观首先表现为一种数学意识——面对数学问题时的一种本能式的思考；其次是，表现为掌握一定的几何直观的画图技巧，不仅能将数学中的文字语言用图形等方式画出来，而且还能借助数学图形进行思考，有一种数学经验的积累和经历，更是一种数学能力；其三，学生形成一定的用图、画图来解决数学问题的正定向之后，逐步会形成一种遇到抽象性的数学问题之后，会主动地运用几何直观的思维方式展开数学思考。总之，几何直观不仅是一种技能，更是一种能运用图形等直观手段进行思考的能力，是一种思维方式。
几何通常被喻为“心智的磨刀石”。纵观我们的小学数学教材，可以发现几何直观无处不在，若我们教师在教学中能有效挖掘几何直观因素，使用好这“助力器”，就可以大大提升学生的数学思维能力。
参考文献：
[1]曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的实践解读之四——几何直观[J].小学数学教师.2013（6）
[2]严玉秋.在小学数学教学中如何培养学生的几何直观能力[J].数学学习与研究.2013（04）
[3]许冰彬.从“图导”走向“图构”：几何直观教学的新视域[J].江苏教育.小学教学.2014（1）
【关键词】几何直观 清晰概念 理解算理 深化思维
【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）02-0114-02
随着数学2011版课程标准的颁发、使用“几何直观”成了新标准中的十大核心概念词。重视几何直观能力的培养，加强几何直观的运用，是数学教学的方向。几何直观主要是指利用图形描述、分析、解决问题。借助几何直观，可以将复杂的数学问题简明化、形象化，有助于学生的思考和理解，有效地帮助学生清晰表征，建构模型，提升数学思维。
一、抽象概念，清晰表征
在小学数学基础知识中，数学概念占有相当的比重，并且有些数学概念比较抽象，小学生受到自身知识经验水平和思维水平的限制和影响，对这些概念往往是懂非懂，模棱两可，教师一时也很难用语言解释清楚。这时，几何直观往往会成为非常有效的表达、解释工具。正如，笛卡尔曾说过的：“没有任何东西比几何图形更容易引入脑际了，因此，用这种方式来表达事物是非常有益的。”数学中图形语言也像文字语言那样具有记录作用，而且比文字语言更形象，更有利于学生的形象记忆，更有利于学生对数学知识的理解。
例如：教学“3的倍数的特征”。教师一般情况下先复习2、5的倍数的特征，小结：判断一个数是不是2或5的倍数，只要看个位；其次列举一些3的倍数，发现3的倍数的个位上0到9都有可能，发现不能依据个位特征判断一个数是否是3的倍数；接着猜想3的倍数是否与各个数位上的数和有关；最后得出结论，记忆并应用结论。但事实上，学生对于3的倍数为什么要看一个数的各个数位上的数字之和只知其果而未知其因。而利用百数表和小棒直观图就能清晰的解决问题。
1.在百数表上圈出3的倍数。
2.观察百数表，你有什么发现？（“3的倍数排成了斜行；十位上的数加1，各位上的数就减1。”）
3.它们什么不变？（“十位上的数与各位上的数的和不变。”）。至此，3的倍数的特征就呼之欲出。
验证：以“42”为例。借助小棒图让学生直观看到：1个十被3除余一，4个十被3除，共余4个一，再加上个位上的2个一，一共6根小棒，刚好是3的倍数。
4.拓展：验证三位数。例如“105”，百位上的数除以3余下的根数1和各位上的根数5相加是3的倍数，所以105是3的倍数；“115”，百位上、十位上的数除以3余下的根数加上个位上的数的和不是3的倍数，所以115不是3的倍数。
通过几何直观，不仅使学生明晰了3的倍数的特征，更使学生深刻领悟3的倍数的特征隐含的“所以然”。
二、理解算理，构建模型
在小学数学知识体系中，计算教学占有很大的比重，虽然通过教学学生能掌握计算方法，但还有很多学生不能理解算理，而且了解的也不够深入。我国数学家华罗庚先生曾很形象地讲过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数形结合，几何直观能帮助学生实现算法具体化与抽象化两者之间的高度融合，高度统一，帮助学生对知识的深层建构，加深对算法的理解。
例如：教学环形的面积公式：s=л（a2-b2）=л（a+b）×（a-b）
在学习过环形面积的计算之后，很多学生对于л（a2-b2）的计算总是错误较高，究其原因之一是多数学生计算时用的是口算的方法，如果遇到数字较大时，往往学生算得比较慢，而且错误率又较高。很多老师会让学生再仔细地算一遍，但学生错误依旧。我思索着，可否用л（a+b）×（a-b）来计算呢？这样不仅可以可以简化计算，而且很多时候可以口算。
我决定让几何直观来帮忙，让学生理解a2-b2=（a+b）×（a-b）。a2代表大正方形的面积，b2代表小正方形的面积。a2-b2代表图中空白部分的面积（图一）。其中，空白部分的面积可以通过割补的方法（图二）拼成一个长方形（图三）。图三长方形的面积就是长（a+b）、宽（a-b），面积等于（a+b）×（a-b）。所以，a2-b2=（a+b）×（a-b）。当学生的头脑中有了这三幅图的经验支撑，他们对于a2-b2=（a+b）×（a-b）的理解是深刻地、全面地。
再比如：a÷b÷c=a÷（b×c）。教学时，很多老师采用的是通过举例子的验证，学生可以记住这个结论，但更多地是建立一种表象，没有将其本质属性纳入自身的知识体系中。因此，我们可以通过几何直观让学生借助图形亲自参与到操作、验证中，让归纳、推理、概括、总结的过程由学生自己完成，这样，不仅可以帮助学生有效地记住这个数学规律，还可以帮助学生建立相应地数学模型。
画图时我们假设b=3，c=4，那么：
三、深化思维，提升能力
美国数学家斯蒂恩说过：“如果一个特定的问题可以转化为图形，那么，思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。”这就表明，解题时若能挖掘问题的几何意义，配以图形，示以直观，那么就能取得以简驭繁的效果。而小学中高年级的数学教材或配套练习往往是用文字的形式呈现的。纯文字的形式表述比较简洁，但也使学生在理解上增加了一定的困难，以致学生常常读不懂题意。如果在解决问题时学生能主动的画一画、涂一涂，借助几何中直观的图形将抽象的问题具体化、形象化，学生能轻松地找到解决问题的办法，提升学生解决问题的能力。
1.加强语言之间的联系，合理转换
例如：五年级（1）班和（2）班同学分组去春游，两班人数相等。（1）班学生平均分成了4组，（2）班同学平均分成了6组，结果1班每组的人数比2班每组人数多4人，这两个班共有多少人？ 单读文字，很多学生不能找出其中的数量关系，解题也无从下手，引导学生分析时，可以将文字语言逐步转化成图形语言，沟通他们之间的联系，题意也在直观中明晰。
2.注重数与形的结合，有效理解
借助几何直观可以加强学生对数学知识方法的理解， 优化解题过程。学生的几何直观能力增强了， 对其提高数学理解能力有很大的帮助。
本题可以设计三个教学层次：第一层次，鼓励学生尝试自主解答，学生一般会先通分，然后相加；第二层次，不断添加分数，制造学生认知冲突，寻找解决问题的数学规律；第三层次，教师可以引导学生构造出一个边长为1的正方形，通过引导学生看图，发现算式与图形之间的联系，从中发现规律。计算题和图形看似没有任何关系，但将分数加法转化成图形表示后，不仅避开了复杂旳运箅，还提升了学生思维的深度，将数与形更好地结合了起来。
3.强化数学意识的培养，提升思维
几何直观不仅是一种数学意识，也是一种技能与能力，更是一种数学的思维方式。在数学问题的解决过程中，我们常常发现有些学生遇到数学问题的时候宁可托着下巴冥思苦想，也不肯用草稿纸画一画，尝试算一算，试探地寻找解题的规律。因此，对于数学教学来说，几何直观首先表现为一种数学意识——面对数学问题时的一种本能式的思考；其次是，表现为掌握一定的几何直观的画图技巧，不仅能将数学中的文字语言用图形等方式画出来，而且还能借助数学图形进行思考，有一种数学经验的积累和经历，更是一种数学能力；其三，学生形成一定的用图、画图来解决数学问题的正定向之后，逐步会形成一种遇到抽象性的数学问题之后，会主动地运用几何直观的思维方式展开数学思考。总之，几何直观不仅是一种技能，更是一种能运用图形等直观手段进行思考的能力，是一种思维方式。
几何通常被喻为“心智的磨刀石”。纵观我们的小学数学教材，可以发现几何直观无处不在，若我们教师在教学中能有效挖掘几何直观因素，使用好这“助力器”，就可以大大提升学生的数学思维能力。
参考文献：
[1]曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的实践解读之四——几何直观[J].小学数学教师.2013（6）
[2]严玉秋.在小学数学教学中如何培养学生的几何直观能力[J].数学学习与研究.2013（04）
[3]许冰彬.从“图导”走向“图构”：几何直观教学的新视域[J].江苏教育.小学教学.2014（1）