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【摘要】为引导学生对高等数学中诸多较为抽象的概念通过直观化演示和合理想象加深理解，在平时的练习或考试题目中增加一些图形化相关题目是一个很好的做法。文章通过举例的形式使学生对相关概念或定理的理解从抽象表面到具体直观，同时也对学生学习此类概念及定理的方法有一定的指导意义。
【关键词】高等数学；图形化检测题目；概念定理
高等数学课程中概念、定理繁多，有些内容较为抽象。学生对很多概念的理解往往停留在表面和抽象的層次，他们只是机械地记住了概念或定理的字面含义，而未进一步去探究概念与定理背后的深层含义。这一方面是由于这些内容本身很抽象和复杂，另一方面也和学生的学习方法及思维方式有一定关系。对所学的抽象概念及定理建立直观化演示或几何解释可以很大程度上帮助学生加深对这些内容的理解。若在教学中能适当结合图形演示，对这些内容进行直观的分析说明，在考试题中增加通过观察图形解答问题的题目，使学生在平时的学习中有意识地将概念、定理等抽象内容的学习具体化、直观化，达到对所学知识透彻理解的目的，将对学生学习高等数学很有帮助。
目前，很多高校都开设了数学实验课，这是使学生把数学理论知识应用于实践的一种教学模式。“数学实验课教学能够把数学直观、形象思维与逻辑思维结合起来，能使抽象的数学公式、定理通过实验得到验证和应用，从而激发学生的学习兴趣。”[1]在这个过程中，数学软件的适当应用起了重要作用。那么，在高等数学课程教学中，能否也充分发挥数学软件便于复杂计算和可视化的强大功能，使抽象的概念定理更贴近学生，许多同行做了一些这方面的尝试，如孔仲强的《基于Matlab软件的高等数学教学可视化研究》[2]，郭国安的《可视化教学在高等数学教育中的创新性应用》[3]。在高等数学课程教学中，可利用软件对数据的可视化功能，使复杂问题简单化，抽象内容形象化，变化过程可视化，从而激发学生学习的兴趣，提高教学质量。在高等数学教学中，将一些概念定理结论进行直观化演示，增加数学概念定理的几何解释，增加抽象概念与图形结合的练习题目，使其越来越多地出现在教材和许多研究文献中。如同济大学出版的高等数学[4]教材，从早期的版本到现在通用的版本，就体现了这种变化。
为了增强学生学习兴趣，使学生对抽象内容更好地理解，同时将数学软件作为教学的辅助工具，充分发挥其可视化功能和计算的作用，笔者在高等数学教学中进行了一些尝试。同时，为了发挥考试对学生学习的导向作用，在期末考试题中，适当增加了一些能考查学生对概念定理理解程度的图形化检测题目。这些题目不像传统的数学题目，从抽象到抽象，而是“从抽象到直观，再从直观到抽象”，它告诉学生数学概念定理是可以通过直观化来理解和学习的，也给学生指出了概念定理学习的另一种方法。
以下是笔者在高等数学考试中出的两道图形化检测题目。
题目1：图1、图2、图3、图4分别是利用Matlab软件绘制的某函数的图象，自变量在区间上变化（假定该函数定义域为实数域R，且函数在整个定义域上的变化趋势与现有的有限区间上保持一致）。通过观察图形回答下列问题。
1. 讨论的奇偶性；
2. 讨论在区间的连续性；
3. 观察当自变量时极限是否存在？若存在是多少？
4. 观察当自变量时是否为无穷大？
5. 观察当自变量时是否无界？
6. 结合本题试叙述“函数为无穷大”与“函数无界”两者的关系。
由图1至图4后面设计的6道题目来看，学生要想回答这些问题，就必然要将“奇偶性、连续性、函数在一点的极限、无穷大、无界量”等概念与函数图象结合起来进行考虑，尤其是“无穷大”和“函数无界”这两个概念，一直是学生学习的难点。将以上概念与图形相结合，在思考解答过程中，由图形的直观化演示体会数学概念与图象之间的联系、概念与概念之间的区别。这类题目既考查了学生对相关内容的掌握程度，又可以使学生对这些概念的认识进一步加深，促使学生以图形化的方式去思考上述概念的本质含义，使概念的抽象度降低，易于掌握。
题目2：图5是四个正项级数、、、的通项数列的散点图（这四个级数的通项之间的大小关系始终和图中所示保持一致）.
通过观察图5判断级数、的敛散性，并说明理由。
由图5可以看出，要想解答这个问题，学生必须对P级数的敛散性结论熟练掌握，还要从图形中四个正项级数的通项数列的散点图分析出，这个图揭示了四个正项级数的通项的大小关系，需要利用正项级数的比较判别法来回答这个问题。学生一方面要知道比较判别法通俗地讲就是“大通项级数收敛，则小通项级数必收敛；小通项级数发散，则大通项级数必发散”，另一方面在图中能分辨出哪两个正项级数可以分为一组，得出所需结论。综合以上几个方面，才能正确解答这个问题。
可见，在考试中增加此类题目，既可以引导学生在平时的学习中把抽象的概念定理图形化，加深对概念定理等的理解记忆，也可以用这种比较综合的题目将学生学过的多个知识点融合在一起，和以往考查单个知识点的题目相比，要求学生能够融会贯通并灵活运用，对学生要求更高。同时，在某种意义上，考试的过程还是学生对相关内容进行再学习的过程。考试对学生的日常学习具有指导作用，经过一段时间，这种增加图形化检测题目的做法，会引导学生在学习中更注重对抽象数学知识的理解和运用。
【参考文献】
[1]章栋恩.MATLAB高等数学实验[M].北京：电子工业出版社，2008.
[2]孔祥强.基于Matlab软件的高等数学教学可视化研究[J].长春大学学报，2015，25（10）：51-54，68.
[3]郭国安.可视化教学在高等数学教育中的创新性应用[J].教书育人（高教论坛），2015（10）：58-59.
[4]同济大学数学系.高等数学上册（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.
【关键词】高等数学；图形化检测题目；概念定理
高等数学课程中概念、定理繁多，有些内容较为抽象。学生对很多概念的理解往往停留在表面和抽象的層次，他们只是机械地记住了概念或定理的字面含义，而未进一步去探究概念与定理背后的深层含义。这一方面是由于这些内容本身很抽象和复杂，另一方面也和学生的学习方法及思维方式有一定关系。对所学的抽象概念及定理建立直观化演示或几何解释可以很大程度上帮助学生加深对这些内容的理解。若在教学中能适当结合图形演示，对这些内容进行直观的分析说明，在考试题中增加通过观察图形解答问题的题目，使学生在平时的学习中有意识地将概念、定理等抽象内容的学习具体化、直观化，达到对所学知识透彻理解的目的，将对学生学习高等数学很有帮助。
目前，很多高校都开设了数学实验课，这是使学生把数学理论知识应用于实践的一种教学模式。“数学实验课教学能够把数学直观、形象思维与逻辑思维结合起来，能使抽象的数学公式、定理通过实验得到验证和应用，从而激发学生的学习兴趣。”[1]在这个过程中，数学软件的适当应用起了重要作用。那么，在高等数学课程教学中，能否也充分发挥数学软件便于复杂计算和可视化的强大功能，使抽象的概念定理更贴近学生，许多同行做了一些这方面的尝试，如孔仲强的《基于Matlab软件的高等数学教学可视化研究》[2]，郭国安的《可视化教学在高等数学教育中的创新性应用》[3]。在高等数学课程教学中，可利用软件对数据的可视化功能，使复杂问题简单化，抽象内容形象化，变化过程可视化，从而激发学生学习的兴趣，提高教学质量。在高等数学教学中，将一些概念定理结论进行直观化演示，增加数学概念定理的几何解释，增加抽象概念与图形结合的练习题目，使其越来越多地出现在教材和许多研究文献中。如同济大学出版的高等数学[4]教材，从早期的版本到现在通用的版本，就体现了这种变化。
为了增强学生学习兴趣，使学生对抽象内容更好地理解，同时将数学软件作为教学的辅助工具，充分发挥其可视化功能和计算的作用，笔者在高等数学教学中进行了一些尝试。同时，为了发挥考试对学生学习的导向作用，在期末考试题中，适当增加了一些能考查学生对概念定理理解程度的图形化检测题目。这些题目不像传统的数学题目，从抽象到抽象，而是“从抽象到直观，再从直观到抽象”，它告诉学生数学概念定理是可以通过直观化来理解和学习的，也给学生指出了概念定理学习的另一种方法。
以下是笔者在高等数学考试中出的两道图形化检测题目。
题目1：图1、图2、图3、图4分别是利用Matlab软件绘制的某函数的图象，自变量在区间上变化（假定该函数定义域为实数域R，且函数在整个定义域上的变化趋势与现有的有限区间上保持一致）。通过观察图形回答下列问题。
1. 讨论的奇偶性；
2. 讨论在区间的连续性；
3. 观察当自变量时极限是否存在？若存在是多少？
4. 观察当自变量时是否为无穷大？
5. 观察当自变量时是否无界？
6. 结合本题试叙述“函数为无穷大”与“函数无界”两者的关系。
由图1至图4后面设计的6道题目来看，学生要想回答这些问题，就必然要将“奇偶性、连续性、函数在一点的极限、无穷大、无界量”等概念与函数图象结合起来进行考虑，尤其是“无穷大”和“函数无界”这两个概念，一直是学生学习的难点。将以上概念与图形相结合，在思考解答过程中，由图形的直观化演示体会数学概念与图象之间的联系、概念与概念之间的区别。这类题目既考查了学生对相关内容的掌握程度，又可以使学生对这些概念的认识进一步加深，促使学生以图形化的方式去思考上述概念的本质含义，使概念的抽象度降低，易于掌握。
题目2：图5是四个正项级数、、、的通项数列的散点图（这四个级数的通项之间的大小关系始终和图中所示保持一致）.
通过观察图5判断级数、的敛散性，并说明理由。
由图5可以看出，要想解答这个问题，学生必须对P级数的敛散性结论熟练掌握，还要从图形中四个正项级数的通项数列的散点图分析出，这个图揭示了四个正项级数的通项的大小关系，需要利用正项级数的比较判别法来回答这个问题。学生一方面要知道比较判别法通俗地讲就是“大通项级数收敛，则小通项级数必收敛；小通项级数发散，则大通项级数必发散”，另一方面在图中能分辨出哪两个正项级数可以分为一组，得出所需结论。综合以上几个方面，才能正确解答这个问题。
可见，在考试中增加此类题目，既可以引导学生在平时的学习中把抽象的概念定理图形化，加深对概念定理等的理解记忆，也可以用这种比较综合的题目将学生学过的多个知识点融合在一起，和以往考查单个知识点的题目相比，要求学生能够融会贯通并灵活运用，对学生要求更高。同时，在某种意义上，考试的过程还是学生对相关内容进行再学习的过程。考试对学生的日常学习具有指导作用，经过一段时间，这种增加图形化检测题目的做法，会引导学生在学习中更注重对抽象数学知识的理解和运用。
【参考文献】
[1]章栋恩.MATLAB高等数学实验[M].北京：电子工业出版社，2008.
[2]孔祥强.基于Matlab软件的高等数学教学可视化研究[J].长春大学学报，2015，25（10）：51-54，68.
[3]郭国安.可视化教学在高等数学教育中的创新性应用[J].教书育人（高教论坛），2015（10）：58-59.
[4]同济大学数学系.高等数学上册（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.