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【摘要】 从小于20的八个已知质数出发，由数值计算去尝试寻找质数（包括孪生质数）的公式与简便方法;也可结合混沌理论中的费根鲍姆常数以及与质数关系密切的布朗常数，通过应用自然对数和常用对数，再经由数值计算寻找一个估算质数个数的经验公式.
【关键词】质数;伪质数;赝质数;自然对数;常用对数;费根鲍姆常数;布朗常数
一、关于质数的公式N（n）=2×3n 5，N（n）=2×3n 7
质数（或称之为素数）是指只能被1和其自身所整除的自然数.而合数则是指通过若干个质数相乘所构成的、可以被拆分的自然数.正是在这个意义上，人们将质数视为数学中的“原子”.分析已知的质数不难看出，所有两位及两位以上的质数的个位数只能是1，3，7，9，无一例外.而个位数为0，2，4，5，6，8的自然数，也均无一例外为合数.数值计算表明，所有大于10的质数都可以由公式N（n）=6n 5，N（n）=6n 7给出.只不过该公式在给出所有质数的同时也给出了相当数量的合数，并不全都是质数，实际上，质数也仅仅只是其中的一部分甚至是一小部分而已.这里，当我们把自然数N（n）代入上述公式后，如果得到的n值為整数，我们就说自然数N（n）可以通过“6n”测试.而由此得到的自然数N（n），我们则称之为 “6n”质数.我们也可以将公式N（n）=6n 5，N（n）=6n 7改写成N（n）=2×3n 5，N（n）=2×3n 7，这样的公式包含了10以内的四个质数：2，3，5，7.至于2×3重复出现了两次，牵强的解释可能是由2，3可以构建5和7，因而2，3显得比5和7更具基础性一些.
由上面的表2可知，部分个位数为1，3，7，9的自然数，实际上并不是质数，而是一大类可以通过 “6n”测试的合数，如91，143，187，169，我们暂且将这类属于“6n”质数的自然数称为伪质数.我们依次并连续运用上面（1）（2）那样的方法，就可以去掉所有类似的非质数（包括伪质数）.这里，我们把建立在公式N（n）=2×3n 5和N（n）=2×3n 7的基础上并进一步“筛掉”所有非质数的方法，暂且称为“新筛法”.我们通过这样的“新筛法”，就有可能筛掉公式N（n）=2×3n 5，N（n）=2×3n 7所带来的包括伪质数在内的所有的非质数，最终找到我们所要找寻的质数.不难看出，随着n的增大，一方面上述公式给出了真实的质数，同时也给出了越来越多的非质数，从而导致最终实际给出（存在）的质数越来越稀少.
二、赝质数公式 N（n）=2×3n 3，N（n）=2×3n 9
另外一大类不能通过上面所谓 “6n”测试的自然数，如21，87，117，141，177，561，1023，16383，10234029，其个位数也是1，3，7，9，这和前面的伪质数相同.因其仍然为合数，所以我们暂且称之为赝质数.赝质数可从两个连续的“6n” 质数的算术均数中得到，且所有的赝质数都可以被3整除，即被称为赝质数的这类合数都具有最小的质因数3，或者说两个n值不同但连续的“6n”质数之和都可以被6整除.即：
这样的公式N（n）=6n 3和N（n）=6n 9就是由公式N（n）=2×3n 5，N（n）=2×3n 7而得到的赝质数的计算公式.有趣的是，同一赝质数可以出现在这样的两个公式中，只不过这时n取两个不同但连续的值.例如：561，可以同时有： 6×93 3=561，6×92 9=561，但其他类似的公式却没有这样的情形出现.很显然：
相较于其他类似的公式，比如上面的N（n）=2n 1，N（n）=2n 3和N（n）=3n 1，N（n）=3n 2以及N（n）=4n 1，N（n）=4n 3而言，公式N（n）=2×3n 5与N（n）=2×3n 7给出的计算值不但不包括任何偶数，也不包括任何赝质数，且所包含的非质数也是这类公式中最少的.而孪生质数（即双生质数）在公式N（n）=2×3n 5，N（n）=2×3n 7中都具有同一个n值.“筛掉”所有非质数及与非质数取相同n值的质数，如25以及与25取相同n值3的质数23，185以及与185取相同n值30的伪质数187，91以及与91取相同n值14的质数89;再“筛掉”孪生伪质数，如119和121.经过这样的筛选，剩下来的就全都是孪生质数了.
另外，如果我们说质数是一切数的 “原子”，合数是由若干个质数相乘得到的，那么公式N（n）=3n 1，N（n）=3n 2似乎也表明，2和3可能是所有大于等于5的质数的“原子”，也即任意一个大于等于5的质数都是由若干个2和3相加来构成的.还有，5和7出现在前面去掉非质数的“新筛法”中，也即5和7都参与“6n” 质数中的部分非质数的构建，但2和3却没有出现在前面去掉非质数的“新筛法”中，这似乎也说明了2和3在质数中的基础性地位和作用.
我们从上面的讨论中不难看出，对于个位数是1，3，7，9的自然数，可以分成三大类： 质数、能通过“6n” 测试的伪质数以及不能通过“6n”测试的赝质数，伪质数和赝质数本质上都是合数.我们以小于20的八个质数尤其是三对孪生质数（5和7，11和13，17和19）为基础，应用本文以上所给出的寻找质数的“新筛法”，就可以很容易得到100以内的所有质数.在这个“新筛法”的基础上似乎可以进一步找到小于任意一个自然数（比如本文中的200）的所有质数，这似乎至少在原则上来讲是可行的和可能的.至于识别任意一个自然数是否为质数或伪质数，我们在这里并不能给出类似于费马小定理的费马素性测试那种简单有效的方法.我们只知道个位数为0，2，4，5，6，8的自然数及赝质数（其个位数为1，3，7，9）都不是质数.尽管我们在原则上似乎可以“筛掉”所有的伪质数，但这里并没有给出能判定任意一个个位数是1，3，7，9的自然数是否为质数或伪质数的简便方法.
三、费根鲍姆常数α和δ、布朗常数B2与质数分布可能存在的联系
我们上面简单讨论了如何去找寻质数和如何识别伪质数以及怎样认定赝质数.与质数密切相关的另一个问题就是质数的分布.作者由于对物理学的一些基本问题的关注和探讨，联想到混沌理论中的费根鲍姆常数是否会和质数分布规律存在一定的关系.若从长久以来大家一直都知晓的小于给定值N的素数个数的估算公式 π（N）≈NlnN 出发，将上述两个费根鲍姆常数以及与质数密切相关的布朗常数B2（B2≈1.902160578）联系起来进行综合考量，并经过反复的数值计算，可以得到如下一个小于给定值N的质数个数的估算公式：
显而易见，上述估算质数个数的公式所给出的计算结果，与相应的真实值是符合得比较好的.这个公式中包含了自然对数、常用对数以及混沌理论中的两个费根鲍姆常数，还有与质数密切相关的布朗常数B2以及圆周率π.不过，用以上这些只涉及初等数学的想法与方法去探讨和对待在自然数中寻找质数、估算质数个数这样的老问题，也许是很有趣的，但是否正确和有意义则只能由相关的专家学者去评判了.
【参考文献】1.陈仁政.说不尽的π[M].北京：科学出版社，2005.
2.（美）约翰·德比希尔.素数之恋[M].陈为蓬，译.上海：上海科技教育出版社，2014.
3.（英）马库斯·杜·索托伊.悠扬的素数[M].柏华元，译.北京：人民邮电出版社，2019.
【关键词】质数;伪质数;赝质数;自然对数;常用对数;费根鲍姆常数;布朗常数
一、关于质数的公式N（n）=2×3n 5，N（n）=2×3n 7
质数（或称之为素数）是指只能被1和其自身所整除的自然数.而合数则是指通过若干个质数相乘所构成的、可以被拆分的自然数.正是在这个意义上，人们将质数视为数学中的“原子”.分析已知的质数不难看出，所有两位及两位以上的质数的个位数只能是1，3，7，9，无一例外.而个位数为0，2，4，5，6，8的自然数，也均无一例外为合数.数值计算表明，所有大于10的质数都可以由公式N（n）=6n 5，N（n）=6n 7给出.只不过该公式在给出所有质数的同时也给出了相当数量的合数，并不全都是质数，实际上，质数也仅仅只是其中的一部分甚至是一小部分而已.这里，当我们把自然数N（n）代入上述公式后，如果得到的n值為整数，我们就说自然数N（n）可以通过“6n”测试.而由此得到的自然数N（n），我们则称之为 “6n”质数.我们也可以将公式N（n）=6n 5，N（n）=6n 7改写成N（n）=2×3n 5，N（n）=2×3n 7，这样的公式包含了10以内的四个质数：2，3，5，7.至于2×3重复出现了两次，牵强的解释可能是由2，3可以构建5和7，因而2，3显得比5和7更具基础性一些.
由上面的表2可知，部分个位数为1，3，7，9的自然数，实际上并不是质数，而是一大类可以通过 “6n”测试的合数，如91，143，187，169，我们暂且将这类属于“6n”质数的自然数称为伪质数.我们依次并连续运用上面（1）（2）那样的方法，就可以去掉所有类似的非质数（包括伪质数）.这里，我们把建立在公式N（n）=2×3n 5和N（n）=2×3n 7的基础上并进一步“筛掉”所有非质数的方法，暂且称为“新筛法”.我们通过这样的“新筛法”，就有可能筛掉公式N（n）=2×3n 5，N（n）=2×3n 7所带来的包括伪质数在内的所有的非质数，最终找到我们所要找寻的质数.不难看出，随着n的增大，一方面上述公式给出了真实的质数，同时也给出了越来越多的非质数，从而导致最终实际给出（存在）的质数越来越稀少.
二、赝质数公式 N（n）=2×3n 3，N（n）=2×3n 9
另外一大类不能通过上面所谓 “6n”测试的自然数，如21，87，117，141，177，561，1023，16383，10234029，其个位数也是1，3，7，9，这和前面的伪质数相同.因其仍然为合数，所以我们暂且称之为赝质数.赝质数可从两个连续的“6n” 质数的算术均数中得到，且所有的赝质数都可以被3整除，即被称为赝质数的这类合数都具有最小的质因数3，或者说两个n值不同但连续的“6n”质数之和都可以被6整除.即：
这样的公式N（n）=6n 3和N（n）=6n 9就是由公式N（n）=2×3n 5，N（n）=2×3n 7而得到的赝质数的计算公式.有趣的是，同一赝质数可以出现在这样的两个公式中，只不过这时n取两个不同但连续的值.例如：561，可以同时有： 6×93 3=561，6×92 9=561，但其他类似的公式却没有这样的情形出现.很显然：
相较于其他类似的公式，比如上面的N（n）=2n 1，N（n）=2n 3和N（n）=3n 1，N（n）=3n 2以及N（n）=4n 1，N（n）=4n 3而言，公式N（n）=2×3n 5与N（n）=2×3n 7给出的计算值不但不包括任何偶数，也不包括任何赝质数，且所包含的非质数也是这类公式中最少的.而孪生质数（即双生质数）在公式N（n）=2×3n 5，N（n）=2×3n 7中都具有同一个n值.“筛掉”所有非质数及与非质数取相同n值的质数，如25以及与25取相同n值3的质数23，185以及与185取相同n值30的伪质数187，91以及与91取相同n值14的质数89;再“筛掉”孪生伪质数，如119和121.经过这样的筛选，剩下来的就全都是孪生质数了.
另外，如果我们说质数是一切数的 “原子”，合数是由若干个质数相乘得到的，那么公式N（n）=3n 1，N（n）=3n 2似乎也表明，2和3可能是所有大于等于5的质数的“原子”，也即任意一个大于等于5的质数都是由若干个2和3相加来构成的.还有，5和7出现在前面去掉非质数的“新筛法”中，也即5和7都参与“6n” 质数中的部分非质数的构建，但2和3却没有出现在前面去掉非质数的“新筛法”中，这似乎也说明了2和3在质数中的基础性地位和作用.
我们从上面的讨论中不难看出，对于个位数是1，3，7，9的自然数，可以分成三大类： 质数、能通过“6n” 测试的伪质数以及不能通过“6n”测试的赝质数，伪质数和赝质数本质上都是合数.我们以小于20的八个质数尤其是三对孪生质数（5和7，11和13，17和19）为基础，应用本文以上所给出的寻找质数的“新筛法”，就可以很容易得到100以内的所有质数.在这个“新筛法”的基础上似乎可以进一步找到小于任意一个自然数（比如本文中的200）的所有质数，这似乎至少在原则上来讲是可行的和可能的.至于识别任意一个自然数是否为质数或伪质数，我们在这里并不能给出类似于费马小定理的费马素性测试那种简单有效的方法.我们只知道个位数为0，2，4，5，6，8的自然数及赝质数（其个位数为1，3，7，9）都不是质数.尽管我们在原则上似乎可以“筛掉”所有的伪质数，但这里并没有给出能判定任意一个个位数是1，3，7，9的自然数是否为质数或伪质数的简便方法.
三、费根鲍姆常数α和δ、布朗常数B2与质数分布可能存在的联系
我们上面简单讨论了如何去找寻质数和如何识别伪质数以及怎样认定赝质数.与质数密切相关的另一个问题就是质数的分布.作者由于对物理学的一些基本问题的关注和探讨，联想到混沌理论中的费根鲍姆常数是否会和质数分布规律存在一定的关系.若从长久以来大家一直都知晓的小于给定值N的素数个数的估算公式 π（N）≈NlnN 出发，将上述两个费根鲍姆常数以及与质数密切相关的布朗常数B2（B2≈1.902160578）联系起来进行综合考量，并经过反复的数值计算，可以得到如下一个小于给定值N的质数个数的估算公式：
显而易见，上述估算质数个数的公式所给出的计算结果，与相应的真实值是符合得比较好的.这个公式中包含了自然对数、常用对数以及混沌理论中的两个费根鲍姆常数，还有与质数密切相关的布朗常数B2以及圆周率π.不过，用以上这些只涉及初等数学的想法与方法去探讨和对待在自然数中寻找质数、估算质数个数这样的老问题，也许是很有趣的，但是否正确和有意义则只能由相关的专家学者去评判了.
【参考文献】1.陈仁政.说不尽的π[M].北京：科学出版社，2005.
2.（美）约翰·德比希尔.素数之恋[M].陈为蓬，译.上海：上海科技教育出版社，2014.
3.（英）马库斯·杜·索托伊.悠扬的素数[M].柏华元，译.北京：人民邮电出版社，2019.