轨迹问题是平面解析几何教学的重点与难点，特别是一些定义变式的轨迹问题，比如，平面内到两定点距离的积（商）等于定长的点的轨迹是什么？对于后者，很难用“粉笔加黑板”等方式解答.而几何画板具有强大的动态功能，对于轨迹问题，可以直观动态呈现其生成的过程.下面运用几何画板探究以上两个问题.
　　问题1：探究平面内到两定点距离的积为定长的点P的轨迹.
　　（1）在x轴上作一点F1，选择y轴，点击【变换】|【标记镜面】，作F1的反射点F2.在平面内作射线OD，在OD上取点M，度量OM的距离.在射线上另取一点R，度量OR的距离，并计算（OM/OR）×1厘米.
　　（2）以点F1为圆心，OR为半径作圆⊙C1，再以点F2为圆心，（OM/OR）×1厘米为半径作圆⊙C2，作两圆的两个交点.分别构造两交点关于点R的轨迹，即可得到点P的轨迹图形.
　　（3）构造线段PF1，PF2.并度量PF1，PF2，F1F2的长度.设置文本a2=OM（定长），计算PF1×PF2的值（必为a2），隐藏计算（OM/OR）×1所得数据.在页面空白处输入操作说明：①拖动点R，即可观察点P的变化情况；②拖动点M改变a2的数值；③拖动点F1改变两定点之间的距离.
　　（4）拖动点R，可观察到动点P的轨迹生成及PF1×PF2的值，可制表展示PF1，PF2，PF1×PF2之间的关系；其次，从一般到特殊观察轨迹的形状及其变化规律，当两定点间距离一定时，改变积的值，轨迹呈现三种不同的形状，该轨迹图形被称为卡西尼卵形线.探讨发现：拖动点M时，点的轨迹图形是不断发生变化的，当积的值足够大时，图形呈链条形状，如图1.当两定点间距离为2c=2a，动点P与两定点的距离的乘积为a2时，点P的轨迹是一个曲线交叉的形状，人们也称之为伯努利双纽线，是卡西尼卵形线在a=c时的特例，如图2.若积的值减小时，轨迹图形呈眼镜形状，如图3.
　　图1（链条形状）
　　图2（双纽线）图3（眼镜形状）
　　问题2：探究平面内到两定点距离的商等于定长的点P的轨迹.
　　（1）在x轴上作一点F1，选择y轴，点击【变换】|【标记镜面】，作点F1的反射点F2.在平面内作射线OD，在OD上取点M，度量OM的距离.在射线上另取一点R，度量OR的距离.计算（OM×OR）÷1厘米.
　　（2）以点F1为圆心，OR为半径作圆⊙C1，再以点F2为圆心、（OM×OR）÷1厘米为半径作圆⊙C2，构造两圆的两个交点.分别构造两个交点关于点R的轨迹，得到点P的轨迹图形.
　　（3）构造线段PF1，PF2.并度量PF1，PF2，F1F2的长度.设置文本a2=OM（定长），计算PF2/PF1的值（必为a2），隐藏计算（OM×OR）÷1所得数据.在页面空白处输入操作说明：①拖动点R，即可观察点P的变化情况；②拖动点M改变a2的数值；③拖动点F1改变两定点之间的距离.
　　（4）拖动点R可观察点P的轨迹生成过程，再拖动点M，观察发现：①当a≠1时，轨迹的图形是一个圆，该圆也被人们称之为阿波罗尼斯圆，如图4；②当a=1时，轨迹图形是一条直线，该直线为线段F1F2的垂直平分线，如图5.
　　图4（轨迹是一个圆）
　　图5（轨迹是一条直线）
　　（责任编辑金铃）