函数在数学及实际生活中有着广泛的应用,在我们身边就存在着很多与函数有关的问题。而学生很难在整体上把握好。尝试以现代教学思想来编排讲授这一内容,能够使学生的思维畅通。
　　 一、理解函数定义
　　 我们可以从方程的角度理解函数的值域,如果我们将函数y=f(x)看做是关于自变量x的方程,y在值域中任取一个值 y0,y0对应的自变量x0一定为方程 y0=f(x)在定义域中的一个解,即方程在定义域内有解;另一方面,若方程在定义域内有解,则一定为对应的函数值。从方程的角度,函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的取值范围,如变形得,方程在定义域内有解的条件为f(x)-y=0,即为函数的值域。
　　 二、激活思维,创新求法
　　利用函数的单调性观察分析,利用互为反函数的定义域与值域的互换关系,利用配方法,利用换元法,利用判别式法等。这些方法分别具有极强的针对性,每一种方法又不是万能的,要顺利解答求函数值域的问题,必须熟练掌握各种技能技巧,根据特点选择求值域的方法。这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终,而学生在学习这些知识的过程中,教师在不同阶段零零碎碎的讲解,学生感到变化较大,很难在整体上把握好。尝试以现代教学思想来编排讲授这一内容,能够使学生的思维畅通,创新思维、发散性思维得到训练和提升,激活了学生思维,激活了课堂;同时也培养了学生善于比较、辩证解题的科学认知的数学素质。
　　 三、创新学习与应用
　　 运用函数的值域解决实际问题关键是把实际问题转化为函数问题,从而利用所学知识去解决。求函数值域要从以下几个方面考虑:(1)求使反函数x=f(y)有意义的y的范围。该方法不受函数有无反函数的限制,只要用反表达式x=f(y)求即可,而不管是否有反函数。当已知函数定义域有限制时,则问题会变得复杂,变成了求范围的问题,有时也会用这种方法求函数最值。(2)换元(格外注意元的范围)或看成几个简单函数的复合,再分层次分析简单函数。(3)利用单调性结合定义域。这需要对函数的单调性较敏锐,能够想到或观察到函数的单调性。(4)利用图像。此方法适用于图像容易画出的一些基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数、三角函数),这需要对一些基本的函数图像掌握得比较扎实。(5)用均值不等式。用不等式的一些性质。个人认为,把求函数值域的方法作系统地讲解,能帮助学生在学习中创新,在创新中学习,为学生在学习中能更好地分析问题、解决问题提供了理论基础。尝试以现代教学思想来编排讲授这一内容,能够使学生的思维畅通,创新思维、发散性思维得到训练和提升。
　　 函数在数学及实际生活中有着广泛应用,适于激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情操。上述的数学问题在我们身边有很多,只要你注意观察、积累,并学以致用,许多数学问题就会迎刃而解。
　　(唐山市丰南区唐坊高中)