将相似三角形与二次函数问题融为一体,常常以中考的“压轴题”的“面目”出现. 解题时需熟练掌握各自的基础知识要点.现采撷一例,供同学们鉴赏.
　　题目:(2009年山东省日照市中考试题)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图1所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点. △EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆.
　　(1)当MN和AB之间的距离为0.5米时,求此时△EMN的面积;
　　 (2)设MN与AB之间的距离为x米,试将△EMN的面积S(平方米)表示成关于x的函数;
　　(3)请你探究△EMN的面积S(平方米)有无最大值,若有,请求出这个最大值;若没有,请说明理由.
　　分析:(1)“MN和AB之间的距离为0.5米”,也就是△EMN的边MN上的高为0.5米,欲求其面积,需先求出边MN的长.
　　(2)由(1)知,当“MN与AB之间的距离为x米”时,应设法求出MN边上的高(用含x的代数式表示).这要用到相似三角形的有关知识.
　　(3)“△EMN的面积S(平方米)有无最大值”,经验告诉我们,所求的S与x之间的函数关系式为二次函数关系,应是求二次函数的最值.
　　解答:(1)由题意,当MN和AB之间的距离为0.5米时,则MN应位于DC下方,所以MN=DC=1米. 此时△EMN中MN边上的高也就是MN和AB之间的距离为0.5米.
　　所以,S=×2×0.5=0.5(平方米).
　　即△EMN的面积为0.5平方米.
　　(2)①如图2所示,当MN在矩形区域滑动,
　　即0　　△EMN的面积S=×2×x=x;
　　②如图3所示,当MN在三角形区域滑动,
　　即1　　如图3,连接EG,交CD于点F,交MN于点H,
　　∵ E为AB中点,∴F为CD中点,GF⊥CD,且FG=.
　　又∵MN∥CD,∴△MNG∽△DCG.
　　∴ =,即MN=.
　　故△EMN的面积S=××x=-x+(1+)x;
　　综合可得:
　　S=x,(0　　(3)①当MN在矩形区域滑动时,S=x,所以有0　　②当MN在三角形区域滑动时,S=-x+(1+)x.
　　因而,当x=-=(米)时,S得到最大值,
　　最大值S===+(平方米).
　　∵ +>1,∴ S有最大值,最大值为+平方米.
　　评注:这也是一道动态型“压轴题”,图形的运动是新课程的热点. 此题考查的知识点主要有:相似三角形、二次函数、三角形的面积等. 此题的解答并不复杂,但在考查以上各知识点的同时,还考查了分类讨论的数学思想.