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摘 要:根据《数值计算方法》课程的特点和强大的数值计算功能,提出了将两者进行有机结合的课程教学改革的思路。把训练和提高学生的计算能力,理解和掌握数值计算的各种原理与方法,并能用函数解决实际问题作为我们的教学目标。
关键词:数值计算方法 课程教学 课程改革
中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)04(b)-0059-02
在当今的知识经济和信息时代中,对应用型人才的数学素质和应用数学能力的要求在不断地提高,数学在工程技术中的应用领域日益扩大。大学数学肩负着培养学生数学素质和应用数学能力的双重使命,数值分析课程也不例外。数值分析又称数值计算方法,它是一门理论性很强,应用面很广的课程。特别是随着计算机的普及与发展,数值分析已在各个方面得到广泛的应用。目前,我国大多数的理工科院校都开设不同层次的数值分析课或计算方法课,但数值分析课程的教学也存在一些需要改进的地方,其课程改革势在必行。我们认为有以下三个方面的困难需要亟待解决:一是教材的选用,目前国内出版的教材大多都存在重理论分析,轻数值实验的现象;二是数值分析的计算需要用到计算机程序语言,如C语言,Fortran语言等,在编程实现中会遇到一些计算机知识方面的困难,而这些困难又是数学教师不便于解决的;三是存在数值实验的硬件设备方面的困难,特别是较大规模科学计算需要在专门的并行机上实现。
当今时代,科学与工程计算已经成为平行于理论分析和科学试验的第三种科学手段。科学计算能力是新世纪人才不可或缺的,高等教育中如何培养学生科学计算的能力正日益受到普遍关注,已成为当前教育改革的核心和焦点之一。下面针对数值计算方法课程的特点谈谈我们的课程改革的几点偿试。
1 数值计算方法课程的特点
数值计算方法是数学的一个分支,是一门介绍适合于计算机上使用的数值分析方法的课程,与其它相关数学课程相比,数值计算方法是偏重于应用的一门课程,其中的理论和方法,不仅在其它专业课程中常常运用,而且是解决实际问题的有力工具与方法。数值计算方法以各类数学问题的数值解法作为研究对象。数值计算方法的基础是高等数学,线性代数,微分方程等数学理论。它的内容主要包含三个部分:数值逼近(插值法,函数拟合,数值微分与数值积分等);数值代数(解线性方程组的直接解法与迭代法,矩阵的特征值与特征向量的幂法与反幂法等);微分方程数值解法(有限差分法,有限元法,多重网格法等)。它具有以下几大特点。
(1)数值计算方法具有工程应用的思想和方法的实用性。这门课程中的许多方法的理论基础是以前数学课程中学习过的知识,但它更注重如何运用这些理论分析的结果去解决实际问题。数值计算方法具有很强的实际应用背景,每一种方法都是直接或间接与实际应用有关。例如:函数插值与曲线拟合在实验数据处理,外形设计,图形处理技术等问题中得到了广泛的应用;在地质勘探,汽车制造,天气预报,航空航天技术和物理,化学,经济等领域中的许多模型都归结为微分方程(或微分方程组),微分方程数值解法(有限差分法,有限元法,多重网格法等)在解决这些领域中的实际问题起着十分重要的作用。数值计算方法中的数学方法和理论,本身并不都是数学学科的产物,它首先是来源于实际问题计算的需要,是以科学计算为目标的方法和理论,是解决科学计算的桥梁和工具。
(2)数值计算方法具有用计算机进行求解与软件实现的特点。数值计算方法虽然是通用的,但是许多问题的解决只能在计算机上实现。例如,解一个含有个未知量的线性方程组或计算一个矩阵的特征值与特征向量等等,无论方法怎样的好,单凭手功是不能解决的。这要求我们会利用计算机进行编程计算,或利用现有的软件进行计算,数值计算方法研究为计算机提供实际可行的,理论可靠的,计算复查性好的(指占用内存空间少及运算次数少)各种数值解法。
(3)数值计算方法的各个模块内容具有思想方法上的通融性。主要表现在以下几个方面:一是逼近和近似的思想,这种思想作为不同于其它数学思想的一种全新的思维方式,使学生认识到,求不出问题的精确解或解析解并不可怕,怕的是不会和不敢利用以有的数学知识去简化和近似原问题。二是迭代思想,迭代是计算机中的重要概念,也是数值计算方法的重要概念。三是连续问题离散化的思想,将连续的无限维问题化成离散的有限维问题来解决也几乎贯彻数值计算方法的始终。四是预估——校正,外推的思想。当然,各种逼近和近似方法要有好的收敛性,稳定性和误差分析作为保障,从而获得问题的近似解。
2 数值计算方法课程的改革
Matlab软件已经相当普及了,数不胜数的各种Matlab书籍就能说明这一点。它有着非常强大的数值计算的功能,除了基本运算外,还有信息工程,应用数学,控制工程等方面的大约25个工具箱(Toolbox)。所谓工具箱,就是求解问题的各种函数,有了这些函数就可以最大限度地避免重复劳动,可以站在巨人的肩膀上开展工作。而目前这方面的书籍也存在一个问题,它们告诉读者如何使用功能强大的各种Matlab函数,但对求解问题的基本原理几乎不作介绍,使应用者只知其然,不知其所以然。我们认为应将数值计算方法与Matlab编程进行有机结合,使学生既知其然,也知其所以然,既学会使用Matlab函数解决问题,又了解这些函数编程的理论基础。把训练和提高学生的计算能力,理解和掌握数值计算的各种原理与方法,并能用函数解决实际问题作为我们的教学目标。在教学过程中具体分为以下三个步骤:
(1)首先介绍通常数值分析中各种数值计算的原理与方法,再给出相应的算法;并就数值分析中出现的各种方法介绍与之有关的函数,编写相应的程序。这是我们的第一层次的教学,也是我们的教学重点。通过这一层次的学习,使学生对数值分析的整体有一个充分的了解,可以通过几何直观对算法本质有充分的认识。通过的编程训练(只作为计算机语言的训练平台),使学生对数值分析的各种算法有更深入的理解。只有很好地理解算法,才能很好地编程,而很好的编程计算,才会使学生对算法有深刻的理解。因此,这一层次的目的并不在于编程训练,而是通过的编程训练,使学生能在脱离工作环境时,完成相应的計算工作。如果直接用计算机语言(如语言)完成这一目标,会遇到许多困难,需要让学生预先了解相关的计算机语言,并完成大量的底层工作,这些工作将会干扰学生对算法的了解与训练。
(2)由于有了软件作为辅助工具,可以使学生在原有数值分析教科书的基础上,开展进一步的工作,介绍一些更深入的问题,如将求解非线性方程的数值方法推广到求解非线性方程组是十分方便的。这样做的好处是不必增加过多的计算,便可以清楚,方便,深入浅出地了解相关算法的道理。又如数值积分中的求积公式,二重,三重数值积分等。这是我们教学的第二个层次,通过这一层次的学习开阔学生眼界,为数值分析方法的应用奠定基础。
(3)由于还重点介绍中与数值分析算法有关的各种函数,利用这些函数可以非常方便地求解各种较大规模科学计算的问题。为了学生便于对数值方法应用有一个充分的了解,我们通过集中安排一些案例分析,通过案例分析帮助学生从学数学过渡到用数学。这是我们的第三层次教学,这一层次的目的是将数值分析与实际应用相结合,让学生学习数学建模的基本过程,应用数值分析的基本知识,建立相应的数学模型,解决实际问题。这部分的重点是模型的建立,计算结果的分析以及对计算结果的解释等工作,并不强调问题的求解过程,而关于问题的求解可以利用自带的优秀函数和各种工具箱来完成。完成这一层次训练同时还达到我们的另一个目的,就是训练学生用提供的各种工具箱求解问题,即训练学生完成数学建模的整个过程。下面我们以美国大学生数学建模竞赛1991年题为例来进行案例分析。
关键词:数值计算方法 课程教学 课程改革
中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)04(b)-0059-02
在当今的知识经济和信息时代中,对应用型人才的数学素质和应用数学能力的要求在不断地提高,数学在工程技术中的应用领域日益扩大。大学数学肩负着培养学生数学素质和应用数学能力的双重使命,数值分析课程也不例外。数值分析又称数值计算方法,它是一门理论性很强,应用面很广的课程。特别是随着计算机的普及与发展,数值分析已在各个方面得到广泛的应用。目前,我国大多数的理工科院校都开设不同层次的数值分析课或计算方法课,但数值分析课程的教学也存在一些需要改进的地方,其课程改革势在必行。我们认为有以下三个方面的困难需要亟待解决:一是教材的选用,目前国内出版的教材大多都存在重理论分析,轻数值实验的现象;二是数值分析的计算需要用到计算机程序语言,如C语言,Fortran语言等,在编程实现中会遇到一些计算机知识方面的困难,而这些困难又是数学教师不便于解决的;三是存在数值实验的硬件设备方面的困难,特别是较大规模科学计算需要在专门的并行机上实现。
当今时代,科学与工程计算已经成为平行于理论分析和科学试验的第三种科学手段。科学计算能力是新世纪人才不可或缺的,高等教育中如何培养学生科学计算的能力正日益受到普遍关注,已成为当前教育改革的核心和焦点之一。下面针对数值计算方法课程的特点谈谈我们的课程改革的几点偿试。
1 数值计算方法课程的特点
数值计算方法是数学的一个分支,是一门介绍适合于计算机上使用的数值分析方法的课程,与其它相关数学课程相比,数值计算方法是偏重于应用的一门课程,其中的理论和方法,不仅在其它专业课程中常常运用,而且是解决实际问题的有力工具与方法。数值计算方法以各类数学问题的数值解法作为研究对象。数值计算方法的基础是高等数学,线性代数,微分方程等数学理论。它的内容主要包含三个部分:数值逼近(插值法,函数拟合,数值微分与数值积分等);数值代数(解线性方程组的直接解法与迭代法,矩阵的特征值与特征向量的幂法与反幂法等);微分方程数值解法(有限差分法,有限元法,多重网格法等)。它具有以下几大特点。
(1)数值计算方法具有工程应用的思想和方法的实用性。这门课程中的许多方法的理论基础是以前数学课程中学习过的知识,但它更注重如何运用这些理论分析的结果去解决实际问题。数值计算方法具有很强的实际应用背景,每一种方法都是直接或间接与实际应用有关。例如:函数插值与曲线拟合在实验数据处理,外形设计,图形处理技术等问题中得到了广泛的应用;在地质勘探,汽车制造,天气预报,航空航天技术和物理,化学,经济等领域中的许多模型都归结为微分方程(或微分方程组),微分方程数值解法(有限差分法,有限元法,多重网格法等)在解决这些领域中的实际问题起着十分重要的作用。数值计算方法中的数学方法和理论,本身并不都是数学学科的产物,它首先是来源于实际问题计算的需要,是以科学计算为目标的方法和理论,是解决科学计算的桥梁和工具。
(2)数值计算方法具有用计算机进行求解与软件实现的特点。数值计算方法虽然是通用的,但是许多问题的解决只能在计算机上实现。例如,解一个含有个未知量的线性方程组或计算一个矩阵的特征值与特征向量等等,无论方法怎样的好,单凭手功是不能解决的。这要求我们会利用计算机进行编程计算,或利用现有的软件进行计算,数值计算方法研究为计算机提供实际可行的,理论可靠的,计算复查性好的(指占用内存空间少及运算次数少)各种数值解法。
(3)数值计算方法的各个模块内容具有思想方法上的通融性。主要表现在以下几个方面:一是逼近和近似的思想,这种思想作为不同于其它数学思想的一种全新的思维方式,使学生认识到,求不出问题的精确解或解析解并不可怕,怕的是不会和不敢利用以有的数学知识去简化和近似原问题。二是迭代思想,迭代是计算机中的重要概念,也是数值计算方法的重要概念。三是连续问题离散化的思想,将连续的无限维问题化成离散的有限维问题来解决也几乎贯彻数值计算方法的始终。四是预估——校正,外推的思想。当然,各种逼近和近似方法要有好的收敛性,稳定性和误差分析作为保障,从而获得问题的近似解。
2 数值计算方法课程的改革
Matlab软件已经相当普及了,数不胜数的各种Matlab书籍就能说明这一点。它有着非常强大的数值计算的功能,除了基本运算外,还有信息工程,应用数学,控制工程等方面的大约25个工具箱(Toolbox)。所谓工具箱,就是求解问题的各种函数,有了这些函数就可以最大限度地避免重复劳动,可以站在巨人的肩膀上开展工作。而目前这方面的书籍也存在一个问题,它们告诉读者如何使用功能强大的各种Matlab函数,但对求解问题的基本原理几乎不作介绍,使应用者只知其然,不知其所以然。我们认为应将数值计算方法与Matlab编程进行有机结合,使学生既知其然,也知其所以然,既学会使用Matlab函数解决问题,又了解这些函数编程的理论基础。把训练和提高学生的计算能力,理解和掌握数值计算的各种原理与方法,并能用函数解决实际问题作为我们的教学目标。在教学过程中具体分为以下三个步骤:
(1)首先介绍通常数值分析中各种数值计算的原理与方法,再给出相应的算法;并就数值分析中出现的各种方法介绍与之有关的函数,编写相应的程序。这是我们的第一层次的教学,也是我们的教学重点。通过这一层次的学习,使学生对数值分析的整体有一个充分的了解,可以通过几何直观对算法本质有充分的认识。通过的编程训练(只作为计算机语言的训练平台),使学生对数值分析的各种算法有更深入的理解。只有很好地理解算法,才能很好地编程,而很好的编程计算,才会使学生对算法有深刻的理解。因此,这一层次的目的并不在于编程训练,而是通过的编程训练,使学生能在脱离工作环境时,完成相应的計算工作。如果直接用计算机语言(如语言)完成这一目标,会遇到许多困难,需要让学生预先了解相关的计算机语言,并完成大量的底层工作,这些工作将会干扰学生对算法的了解与训练。
(2)由于有了软件作为辅助工具,可以使学生在原有数值分析教科书的基础上,开展进一步的工作,介绍一些更深入的问题,如将求解非线性方程的数值方法推广到求解非线性方程组是十分方便的。这样做的好处是不必增加过多的计算,便可以清楚,方便,深入浅出地了解相关算法的道理。又如数值积分中的求积公式,二重,三重数值积分等。这是我们教学的第二个层次,通过这一层次的学习开阔学生眼界,为数值分析方法的应用奠定基础。
(3)由于还重点介绍中与数值分析算法有关的各种函数,利用这些函数可以非常方便地求解各种较大规模科学计算的问题。为了学生便于对数值方法应用有一个充分的了解,我们通过集中安排一些案例分析,通过案例分析帮助学生从学数学过渡到用数学。这是我们的第三层次教学,这一层次的目的是将数值分析与实际应用相结合,让学生学习数学建模的基本过程,应用数值分析的基本知识,建立相应的数学模型,解决实际问题。这部分的重点是模型的建立,计算结果的分析以及对计算结果的解释等工作,并不强调问题的求解过程,而关于问题的求解可以利用自带的优秀函数和各种工具箱来完成。完成这一层次训练同时还达到我们的另一个目的,就是训练学生用提供的各种工具箱求解问题,即训练学生完成数学建模的整个过程。下面我们以美国大学生数学建模竞赛1991年题为例来进行案例分析。