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【摘要】复变函数与积分变换是一门工科学科的重要专业基础课，在少学时的背景下，如何更好的优化设计教学内容，提出部分建议，以供参考。
【关键词】复变函数与积分变换 解析函数 留数 傅里叶变换 拉普拉斯变换
【基金项目】长江大学教研项目（JY2014025），长江大学工程技术学院教研项目（JY201407）资助。
【中图分类号】O174.5？鄄4;G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）27-0253-01
复变函数与积分变换是普通高等学校理工科专业如电子信息工程、通信工程、测控技术与仪器、自动化技术、勘查技术与工程等一门重要的专业基础课[1]，它为做好高等数学与后续课程如数学物理方程、电磁场论、数学信号处理、数字图像处理、信号与系统、电子电路分析与设计、通信原理等的衔接起到了重要的作用，也为学生在运用数学模型解决实际问题提供了必要的数学基础。随着高校培养目标的变化，越来越多的高校突出了应用技能，在这种背景下，复变函数与积分变换课程也应顺利趋势，及早转变思想观念，避免过重注重理论推导、强调复杂计算，应把更多的时间放在该课程的应用上，同时让学生理解高等数学课程与本课程的区别与联系，让学生做到有的放矢，以高等数学的思维理解复变函数模块，重点掌握积分变换模块。
一、以类比方式进行教学、压缩复变函数模块
在目前少学时的情况下（大部分高校学时为40学时），如何合理分配复变函数模块和积分变换模块学时，是一件让老师左右为难的事情。一方面，复变函数模块内容较多，如果压缩内容，就必须每堂课保证2～3节内容，而如果这样，学生在没有提前预习的情况就会产生焦虑情绪，认为课程难度大，进而产生抵触心理。另一方面，如果复变函数模块按部就班讲解，就会在积分模块快速讲解，势必无法突出本课程的应用性。在两难的境地下，教师要在两者之间取舍。笔者认为，教师应要求学生尽量抽出时间对课程进行预习，预习时以概念和定理、结论为主，对于证明过程可以不做要求，同时教师应对整个复变函数模块与高等数学的异同有充分了解，在此基础上对复变函数模块的多章节结构及内容加以提炼、精炼和重组，这样势必节省了大量时间，打破常规的教学过程。例如对复数的概念与四则运算、复数的表示（实、虚部表示）简单说明，因为这部分内容高中已经学习过，将复数几何表示（模与幅角）、三角表示、指数表示、复数的乘幂与方根、复平面、复球面[2]等内容作为第一次课，节省了大量时间;将复变函数的概念、极限与连续的概念与运算作为第2次课，将导数的概念与运算、解析函数的概念与性质作为第2次课。因为这两部分的内容与高等数学中极限、导数的概念与性质相似，复变函数的极限、连续与导数的计算均可以转化为高等数学进行计算，可以按照高等数学的方法和结论去理解，教师需突出三个不同点：一是为什么引入复球面;二是强调复变函数的概念中的一个自变量对应于一个或多个因变量;三是让学生理解解析函数的概念，区别解析与可导。第3次课的内容可以安排解析函数的判定（柯西-黎曼方程）、初等复变函数，这部分内容为复变函数的难点，需要教师认真准备，帮助学生理解初等复变函数与高等数学中的初等函数的不同，理解复变函数的基本结构。第4次课为复变函数的积分的概念与性质、计算，在讲解时，充分考虑它与高等数学中的定积分、第二型曲线积分的联系，可以将复变函数的积分转化为定积分进行计算。如此类推。在后续的复变函数模块中，重点讲解闭曲线上复变函数的积分，对柯西-古萨基本定理、复合闭路定理、柯西积分公式与高阶导数公式进行串讲，略讲调和函数与解析函数的关系，突出复合闭路定理在计算复变函数积分中的重要性，可以准备8学时。在复变函数级数部分，也采用类比高等数学的级数概念、泰勒级数的方法，重点突出洛朗级数，可以准备6学时。对于留数的讲解作为复变函数模块的重中之重，因为这部分内容可以涵盖前述复变函数积分的绝大部分方法，这部分内容也是复变函数模块中最难理解的一部分，可以准备6个学时。通过这样的类比和内容压缩，复变函数模块的理论学时可以达到22～24学时，为后续的积分变换模块节省了部分时间。
二、适当调整教学计划，适应专业特点，充分突出应用性
根据复变函数的教学进度，适当调整积分变换模块的教学进度和教学内容，以增加应用性。复变函数模块的洛朗级数作为积分变换的重要理论基础，可以直接写出离散数字信息的Z变换，傅里叶变换可以应用在解决常微分方程和偏微分方程的定解问题、静电场电势的边值问题、自动控制问题、频谱分析、信号处理等，拉普拉斯变换可以用于求解微积分方程等方面[3]。在讲解这部分内容时，只需对其进行介绍，避免对理论进行过多的推导和证明，尽量淡化数学理论，重点介绍工程中常用到的、与高等数学区别较大的单位脉冲函数和单位阶跃函数，掌握这两个函数的性质和应用技巧[4]。对于积分变换模块，大致可以准备16～18学时。
三、引入Matlab数学软件教学，改变学生成绩考核方式
由于本课程理论性强，但应用性更广，作为少学时的课程，本课程在讲解过程中应尽量注重课程的应用，尤其是积分变换模块。在积分变换模块，可以适当的引入Matlab软件教学，在傅里叶变换和拉普拉斯变换教学内容结束后，进行2个学时的实验教学，以激发学生的学习激情。如利用Matlab软件实现的傅里叶变换。由于软件中自带傅里叶变换程序，因此在Matlab输入框中输入语言如下[5]：
syms t w;
f=cost;
F=fourie（f）;
运行程序，得 。
通過软件运行，可以大大简化计算。
复变函数与积分变换课程由于在内容和结论上多与高等数学类似，因此在教学的过程中，应多注重类比的方法，提倡将高等数学的结论平行推广至本课程，以加强学生对数学知识连贯性的理解;在处理技巧上应重点讲解闭曲线的复积分、洛朗级数、留数定理和傅里叶变换、拉普拉斯变换等内容;在学时分配上多以积分变换模块为主;教学方法上可以适当引入Matlab软件教学。通过上述优化设计，既增加了本课程与高等数学的衔接，又不失本课程的整体逻辑性，可以节省部分时间用于积分变换，以更好的为专业课程服务。
参考文献：
[1]李小飞.CDIO教学法在复变函数与积分变换课程中的应用[J].价值工程，2013，8：213-214.
[2]西安交通大学数学系.复变函数[M].高等教育出版社，200，6.
[3]东南大学数学系.积分变换[M].高等教育出版社，2006.
[4]刘旭. 复变函数与积分变换教学的几点建议[J].高师理科学刊，2015，35（5）：56-58.
[5]信科.复变函数与积分变换多学科交叉教学方法研究[J].高师理科学刊，2015，35（3）：61-64.
作者简介：
李小飞（1980-），男，湖北当阳人，汉族，硕士，讲师。
【关键词】复变函数与积分变换 解析函数 留数 傅里叶变换 拉普拉斯变换
【基金项目】长江大学教研项目（JY2014025），长江大学工程技术学院教研项目（JY201407）资助。
【中图分类号】O174.5？鄄4;G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）27-0253-01
复变函数与积分变换是普通高等学校理工科专业如电子信息工程、通信工程、测控技术与仪器、自动化技术、勘查技术与工程等一门重要的专业基础课[1]，它为做好高等数学与后续课程如数学物理方程、电磁场论、数学信号处理、数字图像处理、信号与系统、电子电路分析与设计、通信原理等的衔接起到了重要的作用，也为学生在运用数学模型解决实际问题提供了必要的数学基础。随着高校培养目标的变化，越来越多的高校突出了应用技能，在这种背景下，复变函数与积分变换课程也应顺利趋势，及早转变思想观念，避免过重注重理论推导、强调复杂计算，应把更多的时间放在该课程的应用上，同时让学生理解高等数学课程与本课程的区别与联系，让学生做到有的放矢，以高等数学的思维理解复变函数模块，重点掌握积分变换模块。
一、以类比方式进行教学、压缩复变函数模块
在目前少学时的情况下（大部分高校学时为40学时），如何合理分配复变函数模块和积分变换模块学时，是一件让老师左右为难的事情。一方面，复变函数模块内容较多，如果压缩内容，就必须每堂课保证2～3节内容，而如果这样，学生在没有提前预习的情况就会产生焦虑情绪，认为课程难度大，进而产生抵触心理。另一方面，如果复变函数模块按部就班讲解，就会在积分模块快速讲解，势必无法突出本课程的应用性。在两难的境地下，教师要在两者之间取舍。笔者认为，教师应要求学生尽量抽出时间对课程进行预习，预习时以概念和定理、结论为主，对于证明过程可以不做要求，同时教师应对整个复变函数模块与高等数学的异同有充分了解，在此基础上对复变函数模块的多章节结构及内容加以提炼、精炼和重组，这样势必节省了大量时间，打破常规的教学过程。例如对复数的概念与四则运算、复数的表示（实、虚部表示）简单说明，因为这部分内容高中已经学习过，将复数几何表示（模与幅角）、三角表示、指数表示、复数的乘幂与方根、复平面、复球面[2]等内容作为第一次课，节省了大量时间;将复变函数的概念、极限与连续的概念与运算作为第2次课，将导数的概念与运算、解析函数的概念与性质作为第2次课。因为这两部分的内容与高等数学中极限、导数的概念与性质相似，复变函数的极限、连续与导数的计算均可以转化为高等数学进行计算，可以按照高等数学的方法和结论去理解，教师需突出三个不同点：一是为什么引入复球面;二是强调复变函数的概念中的一个自变量对应于一个或多个因变量;三是让学生理解解析函数的概念，区别解析与可导。第3次课的内容可以安排解析函数的判定（柯西-黎曼方程）、初等复变函数，这部分内容为复变函数的难点，需要教师认真准备，帮助学生理解初等复变函数与高等数学中的初等函数的不同，理解复变函数的基本结构。第4次课为复变函数的积分的概念与性质、计算，在讲解时，充分考虑它与高等数学中的定积分、第二型曲线积分的联系，可以将复变函数的积分转化为定积分进行计算。如此类推。在后续的复变函数模块中，重点讲解闭曲线上复变函数的积分，对柯西-古萨基本定理、复合闭路定理、柯西积分公式与高阶导数公式进行串讲，略讲调和函数与解析函数的关系，突出复合闭路定理在计算复变函数积分中的重要性，可以准备8学时。在复变函数级数部分，也采用类比高等数学的级数概念、泰勒级数的方法，重点突出洛朗级数，可以准备6学时。对于留数的讲解作为复变函数模块的重中之重，因为这部分内容可以涵盖前述复变函数积分的绝大部分方法，这部分内容也是复变函数模块中最难理解的一部分，可以准备6个学时。通过这样的类比和内容压缩，复变函数模块的理论学时可以达到22～24学时，为后续的积分变换模块节省了部分时间。
二、适当调整教学计划，适应专业特点，充分突出应用性
根据复变函数的教学进度，适当调整积分变换模块的教学进度和教学内容，以增加应用性。复变函数模块的洛朗级数作为积分变换的重要理论基础，可以直接写出离散数字信息的Z变换，傅里叶变换可以应用在解决常微分方程和偏微分方程的定解问题、静电场电势的边值问题、自动控制问题、频谱分析、信号处理等，拉普拉斯变换可以用于求解微积分方程等方面[3]。在讲解这部分内容时，只需对其进行介绍，避免对理论进行过多的推导和证明，尽量淡化数学理论，重点介绍工程中常用到的、与高等数学区别较大的单位脉冲函数和单位阶跃函数，掌握这两个函数的性质和应用技巧[4]。对于积分变换模块，大致可以准备16～18学时。
三、引入Matlab数学软件教学，改变学生成绩考核方式
由于本课程理论性强，但应用性更广，作为少学时的课程，本课程在讲解过程中应尽量注重课程的应用，尤其是积分变换模块。在积分变换模块，可以适当的引入Matlab软件教学，在傅里叶变换和拉普拉斯变换教学内容结束后，进行2个学时的实验教学，以激发学生的学习激情。如利用Matlab软件实现的傅里叶变换。由于软件中自带傅里叶变换程序，因此在Matlab输入框中输入语言如下[5]：
syms t w;
f=cost;
F=fourie（f）;
运行程序，得 。
通過软件运行，可以大大简化计算。
复变函数与积分变换课程由于在内容和结论上多与高等数学类似，因此在教学的过程中，应多注重类比的方法，提倡将高等数学的结论平行推广至本课程，以加强学生对数学知识连贯性的理解;在处理技巧上应重点讲解闭曲线的复积分、洛朗级数、留数定理和傅里叶变换、拉普拉斯变换等内容;在学时分配上多以积分变换模块为主;教学方法上可以适当引入Matlab软件教学。通过上述优化设计，既增加了本课程与高等数学的衔接，又不失本课程的整体逻辑性，可以节省部分时间用于积分变换，以更好的为专业课程服务。
参考文献：
[1]李小飞.CDIO教学法在复变函数与积分变换课程中的应用[J].价值工程，2013，8：213-214.
[2]西安交通大学数学系.复变函数[M].高等教育出版社，200，6.
[3]东南大学数学系.积分变换[M].高等教育出版社，2006.
[4]刘旭. 复变函数与积分变换教学的几点建议[J].高师理科学刊，2015，35（5）：56-58.
[5]信科.复变函数与积分变换多学科交叉教学方法研究[J].高师理科学刊，2015，35（3）：61-64.
作者简介：
李小飞（1980-），男，湖北当阳人，汉族，硕士，讲师。