心理学表明，“发散思维是创造性思维中的一种，它是从不同角度和方法去解决某一问题的前提”.函数在高中数学中占有非常重要的地位，是高考中的重点与热点问题，不但考查了学生的数学意识、数学思维还对学生的探索能力，推理能力等都提出了较高的要求，常常在考卷中有一定的区分度，而方法的选择往往起着举足轻重的作用.
　　例1(盐城市2011届摸底考试)已知f(x)是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f(x)=lnx-ax，若函数f(x)在其定义域上有且仅有四个不同的零点，则实数a的取值范围是.
　　本题涉及到函数的单调性、奇偶性，函数与方程思想，数形结合思想，转化思想等，因此是一个比较好的有一定区分度的题目，解题方法也不唯一.
　　分析：∵ f(x)是奇函数，f(x)=0有四个根，∴ 当x＞0时，f(x)=0有两个不等实根
　　思路一：f(x)=lnx-ax在（0，+∞）上与x轴有两个交点，所以要考虑到f(x)的图象
　　f′（x）=1x-a，若a≤0，则f′(x)＞0，则f(x)单调递增不可能与x轴有两个交点.
　　∴ a＞0，当x＜1a时，f′（x）＞0；当x＞1a时，f′（x）＜0∴ 当x=1a时，f(x)在（0，+∞）上取得最大值
　　∴ f1a＞00＜a＜1e
　　当x→0时，mx-ax＜0，x→+∞时，对任一个确定的a值一定存在一个x使f(x)＜0.
　　这种解法符合一般学生的思维习惯，入手较易，但在运算过程中要注意对a的分类讨论.
　　思路二：lnx-ax=0在（0，+∞）上有两个不等实根，即y=lnx与y=ax在（0，+∞）上有两个交点，由图可明显看出a＞0，只要考虑y=lnx与y=ax相切即可，
　　设切点(x0,y0)，∵ （lnx）′=1x
　　∴ y0x0=1x0=a
　　∴ y0=1，x0=2，∴ a=y0x0=1e
　　∴ 0＜a＜1e
　　第二种解法明显要比第一种优越多了，尤其对填空题来讲不仅更加快捷，而且能提高准确率，这是转化为两个函数的交点来解决的.
　　思路三：lnx-ax=0在（0，+∞）上有两个不等实根，即a=lnxx在（0，+∞）上有两个交点
　　令h(x)=lnxx，h′（x）=lnxx，当x＜R时，h′（x）＞0，x＞e时，h′（x）＜0
　　∴ h(x)max=h(e)=1e，当x→0时，h(x)→-∞，当x→+∞时，h(x)→0
　　∴ 0＜a＜1e
　　第三种解法：继续延用了第二种解题思路，不过在转化时，我们使用了参数分离，这样的解题方法对很多类似的问题往往有更好的效果.
　　例2(2010年全国卷2文数第2题)已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1
　　（Ⅰ） 设a=2，求f（x）的单调期间.
　　（Ⅱ） 设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的范围.
　　分析：这题中答题中的倒数第二题，承担着区分与选拔的任务，注重了学生的能力的考查.
　　首先可转化为f′(x)=0在(2,3)中至少有一种且无重根
　　f′(x)=3x2-6ax+3
　　思路一：利用二次函数图象直接加以研究，可发现不仅分类多，而且运算量大
　　思路二：利用求根公式
　　这两种方法是网络上答案所提供的两种方法，从过程的篇幅来看，让人望而生畏
　　思路三：3x2-6ax+3=0在(2,3)内至少有一根，即2a=x+1x，x∈（2，3）至少有一根
　　∴ y=2a与y=x+1x至少有一个交点
　　利用y=x+1x在(2,3)内的单调性，很快求出x+1x∈52，103
　　∴ a∈54，53
　　很明显第三种方法让人看了不禁眼前一亮，运算简单、快捷，那么怎样的问题可用上述解法呢？我们可看出，当研究一个方程在给定区间内讨论根的个数或函数在给定范围内讨论交点个数时，利用参数分离，往往能起到事半功倍的效果.
　　方程f(x)=g(x)的解的个数“等价于”y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数，特别地，“f(x)=a的解的个数”等价于y=f(x)与y=a图象的交点个数，借助图象来讨论方程解的个数，使抽象的问题直观化，生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，灵活地转换思考角度为解决疑难问题创造途径.
　　
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文