论文部分内容阅读
摘要：教材是“知识的载体”。受不同教育观念的影响，人们对教材的认识、理解全然不同，教材的使用则更有天壤之别。如果教学中教师过分依赖教材，则不利于教学进程。因此，在教学实践中，我们应当灵活运用教材。笔者在教学实践中进行了以下几点尝试，收到了较好的效果。本课例是笔者参加2010年山东省优质课评选的一节课，所选课题是人教A版选修2-2第一章第五节定积分概念的第一课时，是新课程增加的内容之一。本节课对教材的处理作了初步尝试，并充分借助多媒体，使抽象的教材内容变得贴近生活、直观易懂。现对本节课的教学过程简录如下，供大家交流。
关键词：无限逼近；直观；曲边梯形
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）02-0127
过程实录
1. 情境创设——（投影图片——金门大桥）
师：同学们，你们知道这座大桥的名字吗？
生1：（议论，个别同学提到金门大桥）。
师：这幅照片是美国著名的金门大桥，好多电影都有这个场景。
比如《猫和老鼠》《猩球崛起》等电影都把这个地方作为主要镜头。
（学生兴趣高涨，注意力集中。说明学生对数学中的生活更感兴趣，因此讲数学不能离开生活。）
那么，你们知道画面中的图形是什么图形？
生2：好像是梯形，但是与梯形又不一样。
师（追问）：与梯形有何不同？
生2：有一条边是曲边。
师：对，这种图形称为曲边梯形。
【设计意图】为了与后面曲边梯形的定义和例题中出现的图形保持一致，选用该图作为情境引入，更符合学生的认知规律，更利于学生接受。通过情景创设，让学生对曲边梯形有一个直观感知。问题的生活化可以激发学生的学习兴趣和求知欲望，体会数学源于生活，又服务于生活的学科魅力。
2. 形成定义
（投影曲边梯形的定义）
曲边梯形的定义：我们把由直线和曲线所围城的图形称为曲边梯形。
【设计意图】使学生对曲边梯形的认知由感性上升到理性。在此使用了与教材中不同的图形进行定义，目的是为了与前面情境中的图形以及后面例题中的图形保持一致，这样更符合学生的认知规律，更能体现数学的和谐之美。
3. 提出问题
师：这种曲边梯形的面积如何求呢？
生：（讨论）……
4. 问题探究
如何求抛物线y=x2与直线x=1，y=0所围成的平面图形的面积 S？
师：此前大家学过哪些曲边图形的面积呢？
生3：圆的面积
师：（通过几何画板动态演示割圆术及刘徽图片，学生注意力集中，热情高涨。）
263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，刘徽采用了以直代曲、无限趋近、内外夹逼的思想，创立了“割圆术”。
【设计意图】通过思维链接，使学生重新感受割圆术的思想方法，同时可以增强学生的民族自豪感。
师：通过割圆术可以看出，对于曲边图形的面积问题可以通过分割，然后用小的直边图形的面积
近似代替曲边图形的面积.所以对于上面的问题，我们尝试用类似的方法解决。
师：直接用直边的图形来近似代替这个曲边梯形可以吗？为什么？
生4：不可以，因为这样直接代替误差比较大？
师：那如何才能减少误差呢？
生4：把這个曲边梯形分割成多个小曲边梯形，再用直边的图形代替。
师：对，很好。第一步先分割。把区间[0，1]等分成n个小区间，得到n个小曲边梯形。将它等分成个n小曲边梯形，把它们的面积记作：△S1，△S2，……△Sn从而：S=Si
【设计说明】此处难度较大，因此教师点拨讲授为主，教学模式有导学型转变为讲授型。学生变主动学习为被动接受。
5. 分组探究
师：请同学们在卡片画出对每个小曲边梯形用什么样的直边图形代替，其面积又如何求？（展示投影，发印有图形的小卡片，学生分组讨论，动手画图。）
【设计说明】此处难度中等，采用学生分组讨论的方式进行探究，发挥学生的主观能动性，培养学生的合作交流能力和创造力。通过制作的小卡片，发挥学生的动手实践能力。
生：（热烈讨论……）
师：第二步近似代替。请每个小组选一名代表上台展示你们的代替方案。
学生展示的方案主要有三个：
6. 展示交流
师：各组先计算出各自直边图形的面积，然后表示各个直边图形的面积之和。
【设计说明】各小组代表在教室周围的展示板上板书自己的方案，并尝试计算其面积之和。
生6（方案二）：
（该方案难度大，学生只是想到了这种方法，但是没有算出来，教师讲解）：
师：请同学们对以上三种方案的展示提出疑问，由展示的同学解释。
生8：请问你们组，方案一中最后一步是如何化简的？
生5：（在黑板上演示运算）把分子展开，除以分母即可得出结果。
师：很好，讲解很精彩，掌声鼓励！这也是大家最容易想到的一种方法。
生9：12 22 …… n2的结果是如何计算的？
生6：把教材中的那个公式中的n换成n 1，带入整理即可。（边讲边演示）。
【设计说明】该环节运算复杂，学生处理起来有难度，因此这个过程学生讨论热烈，疑问较多，所以整个过程教师对每个小组进行点拨指导，特别是方案三，容易想到的方案却很难计算。但是由于本节课的重点是让学生感知这一无限逼近的思想，对运算的要求不高，所以教师讲的比例稍大。 【多媒体展示】借助几何画板动态演示无限逼近的过程。
（教师展示之后，学生上台亲自演示）
【设计说明】用几何画板演示三个方案，让学生观察随着n的逐渐增大，直边图形的面积之和逐渐逼近曲边梯形的面积，其值接近三分之一。演示过程学生表现出了极大兴趣，教师乘胜追击，让学生上台自己动手，亲自体验无限逼近的思想。
7. 归纳结论
一般曲边梯形的面积
师：由直线x=a，x=b（a≠b），y=0和曲线y=f（x）所围成的
曲边梯形的面积是什么？
生：思考讨论……
生10：上台板书并讲解，曲边梯形的面积。
8. 课堂小结
师：请大家谈一下本节课你的收获是什么？
生11：我的收获是学会了如何求曲边梯形的面积。
师（追问）：很好，这也是本节课的重点。那请你告诉大家如何来求呢？
生11：四个步骤，分割，近似代替，求和，取极限。
9. 课堂评价
由记录员公布本节课各组及个人的得分情况，学生鼓掌。
10. 自我反思
本节课是新教材增加的一节内容，从思维角度看，无限逼近思想不易被学生理解；从运算角度看，面积之和的求解与极限的计算对学生来说都是障碍，所以采用传统教学方法肯定会气氛沉闷。为了突破这两个难题，笔者采取了两个措施：一是灵活使用教材，使学生接受起来水到渠成；一是充分借助多媒体，使抽象的问题变得直观形象。
（1）适当整合教材内容，降低学生接受新知的门槛。教材中曲边梯形的定义中使用的图形与后面例题中使用的图形差别很大，这无形就增加了学生接受新知的难度。如图：
为了使教材更利于学生接受，笔者添加了情境创设，修改了定义所用的图形，使知识的产生、发展和解决能够水到渠成。如图：
（2）充分借助多媒体，使抽象的问题直觀易懂。本节课的重点就是用“以直代曲，无限逼近”的思想方法求解曲边梯形的面积。这种思想方法对于学生理解定积分的概念具有重要的价值，但因为要从“有限”中认识“无限”，从“近似”中认识“精确”，从量变中认识质变，所以理解起来还是有一定难度的。所以，借助几何画板（采用迭代）使学生可以直观地看到这个无限逼近的过程。与传统教学形式相比，不仅提高了课堂效率，解决了教学中学生对极限理论难以理解的问题，而且动态的演示使学生的直观感受更强烈，提高了学生学习的兴趣和热情，使学生从感性认识到理性认识水到渠成。课堂教学时增加了学生上台亲自动手实验的环节，学生上台的积极性很高，大多数学生都想上台亲自体验这一无限逼近的过程，只是课堂上时间有限，只有几个学生展示。
（3）需要注意和改进的地方
从课前预设与实际生成的吻合程度来看，有的环节还需要进一步改进。如分组探究代替方案的时候，部分学生不知如何入手却又不积极主动地与小组内的学生交流；上台展示的过程，三个方案的运算难度都比较大，耗时偏多，此处教师应该给予更多的点拨和讲解。因此，要取得更好的课堂效果，教师点拨的“度”和学生参与的“量”还需要找到更合适的平衡点。
（作者单位：山东省临沂第四中学 276000）
关键词：无限逼近；直观；曲边梯形
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）02-0127
过程实录
1. 情境创设——（投影图片——金门大桥）
师：同学们，你们知道这座大桥的名字吗？
生1：（议论，个别同学提到金门大桥）。
师：这幅照片是美国著名的金门大桥，好多电影都有这个场景。
比如《猫和老鼠》《猩球崛起》等电影都把这个地方作为主要镜头。
（学生兴趣高涨，注意力集中。说明学生对数学中的生活更感兴趣，因此讲数学不能离开生活。）
那么，你们知道画面中的图形是什么图形？
生2：好像是梯形，但是与梯形又不一样。
师（追问）：与梯形有何不同？
生2：有一条边是曲边。
师：对，这种图形称为曲边梯形。
【设计意图】为了与后面曲边梯形的定义和例题中出现的图形保持一致，选用该图作为情境引入，更符合学生的认知规律，更利于学生接受。通过情景创设，让学生对曲边梯形有一个直观感知。问题的生活化可以激发学生的学习兴趣和求知欲望，体会数学源于生活，又服务于生活的学科魅力。
2. 形成定义
（投影曲边梯形的定义）
曲边梯形的定义：我们把由直线和曲线所围城的图形称为曲边梯形。
【设计意图】使学生对曲边梯形的认知由感性上升到理性。在此使用了与教材中不同的图形进行定义，目的是为了与前面情境中的图形以及后面例题中的图形保持一致，这样更符合学生的认知规律，更能体现数学的和谐之美。
3. 提出问题
师：这种曲边梯形的面积如何求呢？
生：（讨论）……
4. 问题探究
如何求抛物线y=x2与直线x=1，y=0所围成的平面图形的面积 S？
师：此前大家学过哪些曲边图形的面积呢？
生3：圆的面积
师：（通过几何画板动态演示割圆术及刘徽图片，学生注意力集中，热情高涨。）
263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，刘徽采用了以直代曲、无限趋近、内外夹逼的思想，创立了“割圆术”。
【设计意图】通过思维链接，使学生重新感受割圆术的思想方法，同时可以增强学生的民族自豪感。
师：通过割圆术可以看出，对于曲边图形的面积问题可以通过分割，然后用小的直边图形的面积
近似代替曲边图形的面积.所以对于上面的问题，我们尝试用类似的方法解决。
师：直接用直边的图形来近似代替这个曲边梯形可以吗？为什么？
生4：不可以，因为这样直接代替误差比较大？
师：那如何才能减少误差呢？
生4：把這个曲边梯形分割成多个小曲边梯形，再用直边的图形代替。
师：对，很好。第一步先分割。把区间[0，1]等分成n个小区间，得到n个小曲边梯形。将它等分成个n小曲边梯形，把它们的面积记作：△S1，△S2，……△Sn从而：S=Si
【设计说明】此处难度较大，因此教师点拨讲授为主，教学模式有导学型转变为讲授型。学生变主动学习为被动接受。
5. 分组探究
师：请同学们在卡片画出对每个小曲边梯形用什么样的直边图形代替，其面积又如何求？（展示投影，发印有图形的小卡片，学生分组讨论，动手画图。）
【设计说明】此处难度中等，采用学生分组讨论的方式进行探究，发挥学生的主观能动性，培养学生的合作交流能力和创造力。通过制作的小卡片，发挥学生的动手实践能力。
生：（热烈讨论……）
师：第二步近似代替。请每个小组选一名代表上台展示你们的代替方案。
学生展示的方案主要有三个：
6. 展示交流
师：各组先计算出各自直边图形的面积，然后表示各个直边图形的面积之和。
【设计说明】各小组代表在教室周围的展示板上板书自己的方案，并尝试计算其面积之和。
生6（方案二）：
（该方案难度大，学生只是想到了这种方法，但是没有算出来，教师讲解）：
师：请同学们对以上三种方案的展示提出疑问，由展示的同学解释。
生8：请问你们组，方案一中最后一步是如何化简的？
生5：（在黑板上演示运算）把分子展开，除以分母即可得出结果。
师：很好，讲解很精彩，掌声鼓励！这也是大家最容易想到的一种方法。
生9：12 22 …… n2的结果是如何计算的？
生6：把教材中的那个公式中的n换成n 1，带入整理即可。（边讲边演示）。
【设计说明】该环节运算复杂，学生处理起来有难度，因此这个过程学生讨论热烈，疑问较多，所以整个过程教师对每个小组进行点拨指导，特别是方案三，容易想到的方案却很难计算。但是由于本节课的重点是让学生感知这一无限逼近的思想，对运算的要求不高，所以教师讲的比例稍大。 【多媒体展示】借助几何画板动态演示无限逼近的过程。
（教师展示之后，学生上台亲自演示）
【设计说明】用几何画板演示三个方案，让学生观察随着n的逐渐增大，直边图形的面积之和逐渐逼近曲边梯形的面积，其值接近三分之一。演示过程学生表现出了极大兴趣，教师乘胜追击，让学生上台自己动手，亲自体验无限逼近的思想。
7. 归纳结论
一般曲边梯形的面积
师：由直线x=a，x=b（a≠b），y=0和曲线y=f（x）所围成的
曲边梯形的面积是什么？
生：思考讨论……
生10：上台板书并讲解，曲边梯形的面积。
8. 课堂小结
师：请大家谈一下本节课你的收获是什么？
生11：我的收获是学会了如何求曲边梯形的面积。
师（追问）：很好，这也是本节课的重点。那请你告诉大家如何来求呢？
生11：四个步骤，分割，近似代替，求和，取极限。
9. 课堂评价
由记录员公布本节课各组及个人的得分情况，学生鼓掌。
10. 自我反思
本节课是新教材增加的一节内容，从思维角度看，无限逼近思想不易被学生理解；从运算角度看，面积之和的求解与极限的计算对学生来说都是障碍，所以采用传统教学方法肯定会气氛沉闷。为了突破这两个难题，笔者采取了两个措施：一是灵活使用教材，使学生接受起来水到渠成；一是充分借助多媒体，使抽象的问题变得直观形象。
（1）适当整合教材内容，降低学生接受新知的门槛。教材中曲边梯形的定义中使用的图形与后面例题中使用的图形差别很大，这无形就增加了学生接受新知的难度。如图：
为了使教材更利于学生接受，笔者添加了情境创设，修改了定义所用的图形，使知识的产生、发展和解决能够水到渠成。如图：
（2）充分借助多媒体，使抽象的问题直觀易懂。本节课的重点就是用“以直代曲，无限逼近”的思想方法求解曲边梯形的面积。这种思想方法对于学生理解定积分的概念具有重要的价值，但因为要从“有限”中认识“无限”，从“近似”中认识“精确”，从量变中认识质变，所以理解起来还是有一定难度的。所以，借助几何画板（采用迭代）使学生可以直观地看到这个无限逼近的过程。与传统教学形式相比，不仅提高了课堂效率，解决了教学中学生对极限理论难以理解的问题，而且动态的演示使学生的直观感受更强烈，提高了学生学习的兴趣和热情，使学生从感性认识到理性认识水到渠成。课堂教学时增加了学生上台亲自动手实验的环节，学生上台的积极性很高，大多数学生都想上台亲自体验这一无限逼近的过程，只是课堂上时间有限，只有几个学生展示。
（3）需要注意和改进的地方
从课前预设与实际生成的吻合程度来看，有的环节还需要进一步改进。如分组探究代替方案的时候，部分学生不知如何入手却又不积极主动地与小组内的学生交流；上台展示的过程，三个方案的运算难度都比较大，耗时偏多，此处教师应该给予更多的点拨和讲解。因此，要取得更好的课堂效果，教师点拨的“度”和学生参与的“量”还需要找到更合适的平衡点。
（作者单位：山东省临沂第四中学 276000）