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平面直角坐标系是学习函数知识的基础,它在现实生活中也有着广泛的应用.下面我们就用平面直角坐标系的知识来解决数学问题.
一、确定点的位置
例1 如图1是李华家周边地区的平面示意图.
(1)相对李华家的位置,说出书店所在的位置;
(2)某楼位于李华家南偏西52°方向,到李华家的实际距离约为350米,说出这一地点的名称.
(3)商店在李华家的什么位置?
解析:本题主要考查点的位置和比例尺的实际应用.
(1)书店的位置在李华家北偏东41°,图上距离2.1cm,实际距离是2.1×10 000×=210(米).
(2)电影院.因为图上距离为350××100=3.5(厘米),且位于李华家南偏西52°方向上的只有电影院D.
(3)从图上可以看出商店位于李华家南偏东51°,图上距离2.8cm,实际距离280米.
点拨:本题主要是用一对有序数来表示平面内点的位置的应用,只要把方位角与距离找准就可以.
二、确定点的坐标
例2 如图2,围棋盘放置在某个平面直角坐标系中,白棋②的坐标为(-7,-4),白棋④的坐标为(-6,-8),那么黑棋的坐标应该是______.
解析:可先根据白棋②的坐标,向右移动7个单位是y轴,向上移动4个单位,确定坐标原点,建立平面直角坐标系.然后利用白棋④验证坐标系建立的是否正确,最后确定黑棋的坐标是(-3,-7).
点拨:要求一个点的坐标时,通常是先由一点的坐标,找出坐标原点,然后再由另一个点检验坐标原点确定的是否正确,最后确定所要求点的坐标.
三、确定点所在的象限
例3 若点A(2,n)在x轴上,则点B(n-2 ,n+1)在( ).
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析: 本题主要考查点为坐标的特征. 平面直角坐标系把平面分成四个部分,即四个象限,要明确每个象限点的坐标特点. 因为点A(2,n)在x轴上,所以n=0,所以点B的坐标为(0-2,0+1),即点B(-2,1),根据第二象限内的点的坐标特征可知选B.
点拨:解决此类问题主要是根据已知条件,确定出所要求的点的横、纵坐标的数值(或是正负数),即找出所求点的坐标,再根据象限内的坐标特征确定所求点所在的象限.
四、求图形的面积
例4 如图3,在△AOB中,A,B两点的坐标分别为(2,4)和(6,2),求△AOB的面积.
解析:本题如果采用常规方法去求△AOB的面积,会比较繁琐. 我们可以根据坐标的几何意义,将△AOB的面积转化为几个图形的面积来求解.
过点A作AM⊥x轴于M,过点B作BN⊥x轴于N,则由坐标的几何意义可知:AM=4,OM=2,BN=2,ON=6.因为S△AOB =S四边形OABN-S△OBN,而S四边形OABN=S△OAM+S梯形ABNM= ×2×4+(2+4)×4=4+12=16,S△OBN=×6×2=6,所以S△AOB=16-6=10.故所求△AOB的面积为10.
点评:求平面直角坐标系中图形中的面积时,关键是找出图形的底和高,通常借助坐标系为底,点的横(或纵)坐标为高,求出图形的面积.
五、五子棋盘上的应用
例5 五子棋和象棋、围棋一样,深受广大棋友的喜爱如图4.其规则是:15×15的正方形棋盘中,由黑方先行,轮流弈子,在任一方向上连成五子者为胜.如图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图;(甲执黑子先行,乙执白子后走),观察棋盘思考:若A点的位置记做(8,4),甲必须在哪个位置上落子,才不会让乙在短时间内获胜?为什么?
解析:由对弈规则可知:只有当任一方向(包括直线和斜线)上有五个子连在一起时才能获胜,观察棋盘,我们可以发现,乙方的(2,6)、(3,5)和(4,4)三颗白子在一直线上,甲必须首先截断,使乙不在这条线上连成五子. 故必须在(1,7)或(5,3)处落子,方可不败.所以甲必须在(1,7)或(5,3)处落子,因为若甲不首先截断以上两处之一,如果让乙在(1,7)或(5,3)处落子,那么不论截断何处,乙总有一处落子可连成五子,则乙会获胜.
点评:本题与现实生活实际相联系,结合实际背景,是中考中常见的试题. 解决该题的关键是当一方在任一方向有三点时,一定要截断,才能保持不败.
六、寻规律解题
例6 如图5,在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.观察图中每一个正方形(实线)四条边上的整点的个数,请你猜测由里向外第20个正方形(实线)四条边上的整点的个数共有_____个.
解析:由观察可以得到如下的结论:
第1个正方形:有4个整点 4=4×1;
第2个正方形:有8个整点8=4×2;
第3个正方形:有12个整点12=4×3;
……
第n个正方形:有4n 个整点.
所以第20个正方形四条边上的整点个数为4× 20=80个.
点拨:近几年来以平面直角坐标系为背景找规律的题目也走进中考,解决这类题的关键是认真观察,找出其中规律.
一、确定点的位置
例1 如图1是李华家周边地区的平面示意图.
(1)相对李华家的位置,说出书店所在的位置;
(2)某楼位于李华家南偏西52°方向,到李华家的实际距离约为350米,说出这一地点的名称.
(3)商店在李华家的什么位置?
解析:本题主要考查点的位置和比例尺的实际应用.
(1)书店的位置在李华家北偏东41°,图上距离2.1cm,实际距离是2.1×10 000×=210(米).
(2)电影院.因为图上距离为350××100=3.5(厘米),且位于李华家南偏西52°方向上的只有电影院D.
(3)从图上可以看出商店位于李华家南偏东51°,图上距离2.8cm,实际距离280米.
点拨:本题主要是用一对有序数来表示平面内点的位置的应用,只要把方位角与距离找准就可以.
二、确定点的坐标
例2 如图2,围棋盘放置在某个平面直角坐标系中,白棋②的坐标为(-7,-4),白棋④的坐标为(-6,-8),那么黑棋的坐标应该是______.
解析:可先根据白棋②的坐标,向右移动7个单位是y轴,向上移动4个单位,确定坐标原点,建立平面直角坐标系.然后利用白棋④验证坐标系建立的是否正确,最后确定黑棋的坐标是(-3,-7).
点拨:要求一个点的坐标时,通常是先由一点的坐标,找出坐标原点,然后再由另一个点检验坐标原点确定的是否正确,最后确定所要求点的坐标.
三、确定点所在的象限
例3 若点A(2,n)在x轴上,则点B(n-2 ,n+1)在( ).
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析: 本题主要考查点为坐标的特征. 平面直角坐标系把平面分成四个部分,即四个象限,要明确每个象限点的坐标特点. 因为点A(2,n)在x轴上,所以n=0,所以点B的坐标为(0-2,0+1),即点B(-2,1),根据第二象限内的点的坐标特征可知选B.
点拨:解决此类问题主要是根据已知条件,确定出所要求的点的横、纵坐标的数值(或是正负数),即找出所求点的坐标,再根据象限内的坐标特征确定所求点所在的象限.
四、求图形的面积
例4 如图3,在△AOB中,A,B两点的坐标分别为(2,4)和(6,2),求△AOB的面积.
解析:本题如果采用常规方法去求△AOB的面积,会比较繁琐. 我们可以根据坐标的几何意义,将△AOB的面积转化为几个图形的面积来求解.
过点A作AM⊥x轴于M,过点B作BN⊥x轴于N,则由坐标的几何意义可知:AM=4,OM=2,BN=2,ON=6.因为S△AOB =S四边形OABN-S△OBN,而S四边形OABN=S△OAM+S梯形ABNM= ×2×4+(2+4)×4=4+12=16,S△OBN=×6×2=6,所以S△AOB=16-6=10.故所求△AOB的面积为10.
点评:求平面直角坐标系中图形中的面积时,关键是找出图形的底和高,通常借助坐标系为底,点的横(或纵)坐标为高,求出图形的面积.
五、五子棋盘上的应用
例5 五子棋和象棋、围棋一样,深受广大棋友的喜爱如图4.其规则是:15×15的正方形棋盘中,由黑方先行,轮流弈子,在任一方向上连成五子者为胜.如图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图;(甲执黑子先行,乙执白子后走),观察棋盘思考:若A点的位置记做(8,4),甲必须在哪个位置上落子,才不会让乙在短时间内获胜?为什么?
解析:由对弈规则可知:只有当任一方向(包括直线和斜线)上有五个子连在一起时才能获胜,观察棋盘,我们可以发现,乙方的(2,6)、(3,5)和(4,4)三颗白子在一直线上,甲必须首先截断,使乙不在这条线上连成五子. 故必须在(1,7)或(5,3)处落子,方可不败.所以甲必须在(1,7)或(5,3)处落子,因为若甲不首先截断以上两处之一,如果让乙在(1,7)或(5,3)处落子,那么不论截断何处,乙总有一处落子可连成五子,则乙会获胜.
点评:本题与现实生活实际相联系,结合实际背景,是中考中常见的试题. 解决该题的关键是当一方在任一方向有三点时,一定要截断,才能保持不败.
六、寻规律解题
例6 如图5,在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.观察图中每一个正方形(实线)四条边上的整点的个数,请你猜测由里向外第20个正方形(实线)四条边上的整点的个数共有_____个.
解析:由观察可以得到如下的结论:
第1个正方形:有4个整点 4=4×1;
第2个正方形:有8个整点8=4×2;
第3个正方形:有12个整点12=4×3;
……
第n个正方形:有4n 个整点.
所以第20个正方形四条边上的整点个数为4× 20=80个.
点拨:近几年来以平面直角坐标系为背景找规律的题目也走进中考,解决这类题的关键是认真观察,找出其中规律.