论文部分内容阅读
摘 要数学开放题有利于学生根据自己的认知结构对问题做出解释,实现对知识的主动建构,获得认知结构的改造和重组。本文重点对数学强开放题的设计展开讨论,旨在为更好地开展数学开放式教学提供一些可操作性的建议。
关键词强开放题;教学训练
中小学教改实践衍生的数学开放式教学是以数学开放题为依托的。数学开放题有利于学生根据自己的认知结构对问题做出解释,实现对知识的主动建构,获得认知结构的改造和重组。由于数学开放题强调了学生获得解答的过程,体现了学生在教学活动中的真正主体地位,从而极大地提高了学生的学习探究性和积极性。通过研究数学开放题并进而研究数学开放式教学具有特别重要的现实意义。
一、初探数学开放题
(一)数学开放题的概念初探
目前关于开放题的概念还没有一个统一的权威的表述,只主要有下列几种描述:①凡是具有完备的条件和固定答案的习题称为封闭题,而答案不固定或者条件不完备的习题称为开放题;②具有多种不同的解法或有多种可能的解答的问题称为开放题;③数学习题是由条件y、结论z、解法p及解题依据o四个元素组成,即R={y,o,p,z},四个元素齐备的题,为“封闭题”;缺少o或p的题为“半封闭题”,有三个元素是未知的题称为问题性题,有二个是未知的习题称为探索性题,问题性题或探索性题统称为开放性题;④条件多余需选择,条件不足需补充或答案不固定的问题称为开放题;⑤答案不唯一的问题称为开放题。
鉴于以上描述,我们只对“数学开放题”的概念类别给出一个描述性的界定。
(二)数学开放题的分类
本初探只从开放题答案的情况考虑定量地可分成三类:①弱开放题--答案(包括可能情况)只有两种的开放题;②中开放题--答案(包括可能情况)超过两种,但为数可确定的开放题;③强开放题--只能给出部分答案,答案(包括可能情况)总数难以确定的开放题
这几年高考、中考对于数学开放题的讨论已有涉及,但我们也发现,对更具有开发学生思维的强开放题的讨论仍很少,本文重点对数学强开放题的设计展开讨论,旨在为更好地开展数学开放式教学提供一些可操作性的建议。
二、数学强开放题的设计
(一)设计原则
①开放性与封闭性相结合的原则---在强开放题的设计中要把握好开放的“度”,并非开放度越大越好;②知识性原则---强开放题的编制与设计要落实到学生所学的知识点上,将知识串成一条线,有利于知识的综合应用;③适应性原则----在强开放题的设计中,应该反映出层次,做到能面向大部分学生,而且可以发展优秀学生的特长;④灵活性原则---强开放题应该能使学生获得各种不同的解答,因此在设计中要注意其灵活性;⑤应用性原则---在设计强开放题的过程中,要注意理论联系实际,将数学知识运用到实际中去,分析解决力所能及的问题。
(二)编制方法
编制强开放性问题是一项创造性工作,它实际上就是要提出新的问题,而且这个问题的答案是不确定的。编制强开放性问题可以从教材上的习题改编,也可以从生产生活中选取素材。
1.保留原题的条件,使其结论多样化
已知Rt△ABC中,CD是斜边上的高,求证:△ABC∽△CBD∽△ACD。
可以改为以下强开放性问题:
已知Rt△ABC中,CD是斜边上的高,你能得出什么结论,对所得的结论加以证明。
2.改变条件,探求新的结论
对一个命题,若减弱其一项或几项条件之后,可能会得到更多的或更一般的结论。
给定一个正方形,将其分成8个相同的三角形,求出每个三角形的面积。
如果改变题目的要求,可得开放题:
有个 正方形的花坛,现要将它分成面积相等的八块,要求每一块的形状相同,请画出多种设计方案
3.保留结论,要求寻找得到结论的条件
对一个命题,对其结论进行加强,以研究得到这个结论需增加些什么条件,或者隐去部分条件或提示语,寻找结论成立的充分条件,可得到开放题。
已知梯形ABCD中,AB//CD,若添加一个条件如“BC=AD”,则可判定ABCD为等腰梯形,请问除“BC=AD”外,还可以添加一个什么条件,使梯形ABCD为等腰梯形?
4.只提出一定的限制条件,要求设计问题并给出答案
在被除数是两位数,除数是一位数的除法算式中,有些算式的商和余数相同(余数不为零),例如10÷4=2…2,你能写出几个这样的算式?
5. 从实际中提出问题
由浓度是30%的酒精与浓度为60%的酒精混合,制成50%的酒精30kg,前两种酒精各需要多少?
但实际生活中,有时不一定正好有足够的浓度为30%的酒精与浓度为60%的酒精,可能会遇到下面类似的开放性问题:
现浓度是30%的酒精20kg, 60%的酒精15kg,足够的纯酒精和水,要制成50%的酒精70kg,请你设计配制方案。
三、数学强开放题的教学要领
探讨数学强开放题的教学,可以借助吉尔福特的创造性能力结构,把这一教学的主要阶段划分为:发散性加工、辐合性加工、记忆、认知、评价。
(一)注重培养“发散性加工”的能力
数学开放题具有条件不完备,答案不唯一,求解方法发散等独有的特点,这些特点和创造性定义中的某些主要内容不谋而合,这无疑为探讨具有发散性开放题在创造性能力培养中的积极作用铺平了道路。吉尔福特在论述各种创造性能力的培养以及在测试各种“发散性加工”能力时,常常采用我们现在称为数学开放题的一类问题。他的开创性研究,充分表明了数学开放题在“发散性加工”能力培养中具有重要的、不可代替的作用。
(二)有效训练辐合性解题能力
辐合性解题主要是指一个人能根据已有的知识,从不同的角度,用不同的方法,迅速准确地提出一个解决问题的方案。因此,如果我们能反复进行 “一题多变”训练,先设计基本题,然后在基本题的基础上,再设计一组问题,或变换条件,或变换中间量,或变换语言表达方式,或变换图形位置等,让学生进行综合练习,以培养学生思维的灵活性,提高辐合性解题能力。
(三)牢记培养学生思维的创造性
创造性思维是对问题解决具有新颖性、独特性和超前性思维的一种高级形式,体现学生在学习过程中善于独立思考,分析和解答问题时具有一定的创新性。因此,教师应时刻牢记对强开放题的特殊练习。我们知道,开放型题练习有一般解法,在特殊条件的范围内,又有着巧妙的解题途径,让学生在讨论中发现,在争论中求得问题解答,既能激发学生求知欲望,又能培养其思维的创造性。只要我们坚持不懈,特殊训练,强开放题的解答和开放式教学就会取得实效。
关键词强开放题;教学训练
中小学教改实践衍生的数学开放式教学是以数学开放题为依托的。数学开放题有利于学生根据自己的认知结构对问题做出解释,实现对知识的主动建构,获得认知结构的改造和重组。由于数学开放题强调了学生获得解答的过程,体现了学生在教学活动中的真正主体地位,从而极大地提高了学生的学习探究性和积极性。通过研究数学开放题并进而研究数学开放式教学具有特别重要的现实意义。
一、初探数学开放题
(一)数学开放题的概念初探
目前关于开放题的概念还没有一个统一的权威的表述,只主要有下列几种描述:①凡是具有完备的条件和固定答案的习题称为封闭题,而答案不固定或者条件不完备的习题称为开放题;②具有多种不同的解法或有多种可能的解答的问题称为开放题;③数学习题是由条件y、结论z、解法p及解题依据o四个元素组成,即R={y,o,p,z},四个元素齐备的题,为“封闭题”;缺少o或p的题为“半封闭题”,有三个元素是未知的题称为问题性题,有二个是未知的习题称为探索性题,问题性题或探索性题统称为开放性题;④条件多余需选择,条件不足需补充或答案不固定的问题称为开放题;⑤答案不唯一的问题称为开放题。
鉴于以上描述,我们只对“数学开放题”的概念类别给出一个描述性的界定。
(二)数学开放题的分类
本初探只从开放题答案的情况考虑定量地可分成三类:①弱开放题--答案(包括可能情况)只有两种的开放题;②中开放题--答案(包括可能情况)超过两种,但为数可确定的开放题;③强开放题--只能给出部分答案,答案(包括可能情况)总数难以确定的开放题
这几年高考、中考对于数学开放题的讨论已有涉及,但我们也发现,对更具有开发学生思维的强开放题的讨论仍很少,本文重点对数学强开放题的设计展开讨论,旨在为更好地开展数学开放式教学提供一些可操作性的建议。
二、数学强开放题的设计
(一)设计原则
①开放性与封闭性相结合的原则---在强开放题的设计中要把握好开放的“度”,并非开放度越大越好;②知识性原则---强开放题的编制与设计要落实到学生所学的知识点上,将知识串成一条线,有利于知识的综合应用;③适应性原则----在强开放题的设计中,应该反映出层次,做到能面向大部分学生,而且可以发展优秀学生的特长;④灵活性原则---强开放题应该能使学生获得各种不同的解答,因此在设计中要注意其灵活性;⑤应用性原则---在设计强开放题的过程中,要注意理论联系实际,将数学知识运用到实际中去,分析解决力所能及的问题。
(二)编制方法
编制强开放性问题是一项创造性工作,它实际上就是要提出新的问题,而且这个问题的答案是不确定的。编制强开放性问题可以从教材上的习题改编,也可以从生产生活中选取素材。
1.保留原题的条件,使其结论多样化
已知Rt△ABC中,CD是斜边上的高,求证:△ABC∽△CBD∽△ACD。
可以改为以下强开放性问题:
已知Rt△ABC中,CD是斜边上的高,你能得出什么结论,对所得的结论加以证明。
2.改变条件,探求新的结论
对一个命题,若减弱其一项或几项条件之后,可能会得到更多的或更一般的结论。
给定一个正方形,将其分成8个相同的三角形,求出每个三角形的面积。
如果改变题目的要求,可得开放题:
有个 正方形的花坛,现要将它分成面积相等的八块,要求每一块的形状相同,请画出多种设计方案
3.保留结论,要求寻找得到结论的条件
对一个命题,对其结论进行加强,以研究得到这个结论需增加些什么条件,或者隐去部分条件或提示语,寻找结论成立的充分条件,可得到开放题。
已知梯形ABCD中,AB//CD,若添加一个条件如“BC=AD”,则可判定ABCD为等腰梯形,请问除“BC=AD”外,还可以添加一个什么条件,使梯形ABCD为等腰梯形?
4.只提出一定的限制条件,要求设计问题并给出答案
在被除数是两位数,除数是一位数的除法算式中,有些算式的商和余数相同(余数不为零),例如10÷4=2…2,你能写出几个这样的算式?
5. 从实际中提出问题
由浓度是30%的酒精与浓度为60%的酒精混合,制成50%的酒精30kg,前两种酒精各需要多少?
但实际生活中,有时不一定正好有足够的浓度为30%的酒精与浓度为60%的酒精,可能会遇到下面类似的开放性问题:
现浓度是30%的酒精20kg, 60%的酒精15kg,足够的纯酒精和水,要制成50%的酒精70kg,请你设计配制方案。
三、数学强开放题的教学要领
探讨数学强开放题的教学,可以借助吉尔福特的创造性能力结构,把这一教学的主要阶段划分为:发散性加工、辐合性加工、记忆、认知、评价。
(一)注重培养“发散性加工”的能力
数学开放题具有条件不完备,答案不唯一,求解方法发散等独有的特点,这些特点和创造性定义中的某些主要内容不谋而合,这无疑为探讨具有发散性开放题在创造性能力培养中的积极作用铺平了道路。吉尔福特在论述各种创造性能力的培养以及在测试各种“发散性加工”能力时,常常采用我们现在称为数学开放题的一类问题。他的开创性研究,充分表明了数学开放题在“发散性加工”能力培养中具有重要的、不可代替的作用。
(二)有效训练辐合性解题能力
辐合性解题主要是指一个人能根据已有的知识,从不同的角度,用不同的方法,迅速准确地提出一个解决问题的方案。因此,如果我们能反复进行 “一题多变”训练,先设计基本题,然后在基本题的基础上,再设计一组问题,或变换条件,或变换中间量,或变换语言表达方式,或变换图形位置等,让学生进行综合练习,以培养学生思维的灵活性,提高辐合性解题能力。
(三)牢记培养学生思维的创造性
创造性思维是对问题解决具有新颖性、独特性和超前性思维的一种高级形式,体现学生在学习过程中善于独立思考,分析和解答问题时具有一定的创新性。因此,教师应时刻牢记对强开放题的特殊练习。我们知道,开放型题练习有一般解法,在特殊条件的范围内,又有着巧妙的解题途径,让学生在讨论中发现,在争论中求得问题解答,既能激发学生求知欲望,又能培养其思维的创造性。只要我们坚持不懈,特殊训练,强开放题的解答和开放式教学就会取得实效。