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一、填空题
1．等比数列{an}的前n项和为n，若2=6,4=30，则6=______.
2．数列{an}的前n项和为n，若n=n－1+n+2(n∈N,n≥2)，a1=1，则=______.
3．在等差数列{an}中，首项a1=0,公差d≠0，若ak=a1+a2+a3+…+a7，则k=______.
4．已知二次不等式ax2+2x+b>0的解集为x|x≠-1a，且a>b，则a2+b2a-b的最小值为______。
．若不等式组y≥0x+2y≤2x-y≥0x+y≤a表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是 ．
6．若关于x的不等式|2x-3|+|x-4|≥a的解集为实数集R，则实数a的取值范围是______．
7．设直角三角形的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有
①a2+b2>c2+h2，②a3+b3c4+h4，
④a+b 其中正确结论的序号是______；进一步类比得到的一般结论是______
8．观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4++6+7=2
4++6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第n个等式为______.
9．设x,y满足约束条件x+y≥3x-y≥-12x-y≤3，若目标函数z=xa+yb(a>0,b>0)的最大值为10，则a+4b的最小值为 ．
10．不等式log2(x+1x+6)≤3的解集为______．
11．三个同学对问题“关于x的不等式x2＋2＋|x3－x2|≥ax在［1，12］上恒成立，求实数a的取值范围提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值．
乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值．
丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是______．
12．已知△AC的三边长为a,b,c，内切圆半径为r（用△AC表示△AC的面积），则△AC=12r(a+b+c)；
类比这一结论有：若三棱锥ACD的内切球半径为R，则三棱锥体积VACD=______．
13．已知函数f(x)=e-x,(x≤0)2ax-1,(x>0)（a是常数且a>0）．对于下列命题：
①函数f(x)的最小值是-1；
②函数f(x)在R上是单调函数；
③若f(x)>0在［12,+∞)上恒成立，则a的取值范围是a>1；
④对任意x1<0,x2<0且x1≠x2，恒有f(x1+x22) 其中正确命题的序号是______．
14．若实数x，y，z，t满足1≤x≤y≤z≤t≤10000，则xy+zt的最小值为______．
二、解答题
1．记关于x的不等式x－ax+1<0的解集为P，不等式|x－1|≤1的解集为Q．
（Ⅰ）若a=3，求P；
（Ⅱ）若QP，求正数a的取值范围．
16．a2,a是方程x2-12x+27=0的两根，数列{an}是公差为正数的等差数列，数列{bn}的前n项和为n,且n=1-12bn(n∈N)
（Ⅰ）求数列{an},{bn}的通项公式;
（Ⅱ）记cn=anbn,求数列{cn}的前n项和n
17．已知“接龙等差数列a1,a2,…,a10,a11,…,a20,a21,…,a30,a31,…构成如下：a1=1，a1,a2,…,a10是公差为1的等差数列；a10,a11,…,a20是公差为d的等差数列；a20,a21,…,a30是公差为d2的等差数列；…；a10n,a10n+1,a10n+2,…,a10n+10是公差为dn的等差数列（n∈N）；其中d≠0．
（Ⅰ）若a20=80，求d；
（Ⅱ）设bn=a10n．求bn；
（Ⅲ）当d>－1时，证明对所有奇数n总有bn>．
18．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f(t)（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足f(t)=4+1t，人均消费g(t)（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g(t)=11－|t－1|
（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w(t)（万元）与时间t(1≤t≤30,t∈N)的函数关系式；
（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）
19．已知数列{an}的前n项和为n，点(n,nn)在直线y=12x+112上
数列{bn}满足bn+2－2bn+1+bn=0(n∈N),且b3=11，前9项和为13
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=3(2an－11)(2bn－1)，数列{cn}的前n和为n，求使不等式n>k7对一切n∈N都成立的最大正整数k的值
（Ⅲ）设f(n)=an(n=2l－1,l∈N)bn(n=2l,l∈N)，问是否存在m∈N，使得f(m+1)=f(m)成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由
20．已知函数f(x)定义在区间(－1，1)上，f(12)=－1，对任意x、y∈(－1，1)，
恒有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)成立，又数列{an}满足a1=12，an+1=2an1+a2n，
设bn=1f(a1)+1f(a2)+1f(a3)+…+1f(an)．
（Ⅰ）在(－1，1)内求一个实数t，使得f(t)=2f(12)；
（Ⅱ）证明数列{f(an)}是等比数列，并求f(an)的表达式；
（Ⅲ）设cn=n2bn+2，是否存在m∈N，使得对任意n∈N，cn<67log22m－187log2m 恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1． 126
2． 23
3． 22
4． 22
． 0 6． a≤2
7．解析：在直角三角形中，a=csinA,b=ccosA,ab=ch,故h=csinAcosA
an+bn=cn(sinnA+cosnA),
an+bn-cn-hn
=cn(sinnA+cosnA-1-sinnAcosnA)
=cn(sinnA-1)•(1-cosnA)<0
有an+bn 故填②④ an+bn 8． n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2
9．8
10． x∈(－3－22,－3+22)∪{1}
11．解析：由x2＋2＋|x3－x2|≥ax,1≤x≤12a≤x+2x+|x2－x|，而x+2x≥2x•2x=10，等号当且仅当x=∈［1,12］时成立；且|x2－x|≥0，等号当且仅当x=∈［1,12］时成立；所以，a≤［x+2x+|x2－x|］min=10，等号当且仅当x=∈［1,12］时成立；故a∈(－∞,10］
12．解析：连接内切球球心与各三棱锥顶点，将三棱锥分割成四个小棱锥，它们的高都等于R，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积
答案:13R(△AC+△AD+△ACD+△CD)
13． ③④
14． 10
二、解答题
1．解：（Ⅰ）由x－3x+1<0，得P={x|－1 （Ⅱ）Q={x||x－1|≤1}={x|0≤x≤2}．
由a>0，得P={x|－12，
即a的取值范围是(2，+∞)．
16．（Ⅰ）解：由a2+a=12,a2a=27
且d>0得a2=3,a=9
∴d=a-a23=2,
a1=1,
∴an=2n-1(n∈N)
在n=1-12bn中,
令n=1,
得b1=23
当n≥2时,n=1-12bn,
n-1=1-12bn-1,
两式相减得bn=12bn-1-12bn,
∴bnbn-1=13(n≥2)
∴bn=23(13)n-1
=23n(n∈N)
（Ⅱ）cn=(2n-1)•23n=4n-23n，
∴n=2(13+332+33+…+2n-13n)，
n3=2(132+333+…+2n-33n+2n-13n+1),
∴23n=2［13+2(132+133+…+13n)-2n-13n+1］
=2［13+2×19(1-13n-1)1-13-2n-13n+1］
=2(13+13-13n-2n-13n+1)
=43-4n+43n+1,
∴n=2-2n+23n
17．解：（Ⅰ）由a1,a2,…,a10是首项为1，公差为1的等差数列得a10=10，a10,a11,…,a20是公差为d的等差数列得a20=a10+10d=10+10d=80，解得d=7．
（Ⅱ）由题意有a20=a10+10d，a30=a20+10d2，a40=a30+10d3，
a10n=a10(n－1)+10dn－1
累加得a10n=a10+10d+10d2+…+10dn－1=10+10d+10d2+…+10dn－1
所以bn=10+10d+10d2+…+10dn－1=10(1－dn)1－d(d≠1)10n(d=1)
（Ⅲ）设n为奇数，
当d∈(0,+∞)时bn=10+10d+10d2+…+10dn－1>10
当d∈(－1,0)时，bn=10(1－dn)1－d，由1<1－d<2及1－dn>1有bn=10(1－dn)1－d>102=
综上所述，当n为奇数且d>－1时，恒有bn>．
18．解：（Ⅰ）由题意得，w(t)=f(t)•g(t)=(4+1t)(11－|t－1|)
（Ⅱ）因为w(t)=(4+1t)(t+100),(1≤t<1,t∈N)(4+1t)(130－t),(1≤t≤30,t∈N)
①当1≤t<1时，w(t)=(4+1t)(t+100)=4(t+2t)+401≥4×22+401=441
当且仅当t=2t，即t=时取等号
②当1≤t≤30时，w(t)=(4+1t)(130－t)=19+(130t－4t)，可证w(t)在t∈［1,30］上单调递减，所以当t=30时，w(t)取最小值为40313
由于40313<441，所以该城市旅游日收益的最小值为40313万元
19．解：（Ⅰ）由题意，得nn=12n+112,即n=12n2+112n
故当n≥2时，an=n－n－1=(12n2+112n)－［12(n－1)2+112(n－1)］=n+
当n=1时，a1=1=6，而当n=1时，n+=6，
所以，an=n+(n∈N)
又bn+2－2bn+1+bn=0,即bn+2－bn+1=bn+1－bn(n∈N)，
所以{bn}为等差数列，于是9(b3+b7)2=13
而b3=11,故b7=23,d=23－117－3=3
因此，bn=b3+3(n－3)=3n+2,即bn=3n+2(n∈N)
（Ⅱ）cn=3(2an－11)(2bn－1)
=3［2(n+)－11］［2(3n+2)－1］
=1(2n－1)(2n+1)=12(12n－1－12n+1)
所以，n=c1+c2+…+cn
=12［(1－13)+(13－1)+(1－17)+…+(12n－1－12n+1)］
=12(1－12n+1)=n2n+1
由于n+1－n=n+12n+3－n2n+1=1(2n+3)(2n+1)>0，因此n单调递增，
故(n)min=13
令13>k7,得k<19,所以kmax=18
（Ⅲ）f(n)=n+(n=2l－1,l∈N),3n+2(n=2l,l∈N)
①当m为奇数时，m + 1为偶数
此时f(m+1)=3(m+1)+2=3m+47,f(m)=(m+)=m+2，
所以3m+47=m+2,m=11
②当m为偶数时，m + 1为奇数
此时f(m+1)=m+1+=m+20,f(m)=(3m+2)=1m+10，
所以m+20=1m+10,m=7N（舍去）
综上，存在唯一正整数m =11，使得f(m+1)=f(m)成立
20．解：（Ⅰ）f(t)=2f(12)
=f(12)+f(12)
=f(12+121+12×12)
=f(4)，
∴在（-1，1）内有一个t=4
（Ⅱ）∵f(a1)=f(12)=-1，
且f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)
∴f(an+1)=f(2an1+a2n)
=f(an+an1+an•an)
=f(an)+f(an)
=2f(an)，
即f(an+1)f(an)=2
∴{f(an)}是以-1为首项，2为公比的等比数列，
∴f(an)=-2n-1
（Ⅲ）由（2）得，bn=－(1+12+122+…+12n－1)=－1－12n1－12=－2+12n－1
∴cn=n2bn+2=－n+n2n+2，
∴{cn}是递减数列，∴cn≤c1=－1+12+2=32，
只须6log22m－18log2m>212，即4log22m－12log2m－7>0，
故log2m<－12或log2m>72，
∴082≈1131，
∴当m≥12，且m∈N时，7cn<6log22m－18log2m对任意n∈N恒成立，
∴m的最小正整数值为12
（作者：吴卫东，江苏省泰兴中学)
1．等比数列{an}的前n项和为n，若2=6,4=30，则6=______.
2．数列{an}的前n项和为n，若n=n－1+n+2(n∈N,n≥2)，a1=1，则=______.
3．在等差数列{an}中，首项a1=0,公差d≠0，若ak=a1+a2+a3+…+a7，则k=______.
4．已知二次不等式ax2+2x+b>0的解集为x|x≠-1a，且a>b，则a2+b2a-b的最小值为______。
．若不等式组y≥0x+2y≤2x-y≥0x+y≤a表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是 ．
6．若关于x的不等式|2x-3|+|x-4|≥a的解集为实数集R，则实数a的取值范围是______．
7．设直角三角形的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有
①a2+b2>c2+h2，②a3+b3
④a+b
8．观察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4++6+7=2
4++6+7+8+9+10=49
……
照此规律，第n个等式为______.
9．设x,y满足约束条件x+y≥3x-y≥-12x-y≤3，若目标函数z=xa+yb(a>0,b>0)的最大值为10，则a+4b的最小值为 ．
10．不等式log2(x+1x+6)≤3的解集为______．
11．三个同学对问题“关于x的不等式x2＋2＋|x3－x2|≥ax在［1，12］上恒成立，求实数a的取值范围提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值．
乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值．
丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是______．
12．已知△AC的三边长为a,b,c，内切圆半径为r（用△AC表示△AC的面积），则△AC=12r(a+b+c)；
类比这一结论有：若三棱锥ACD的内切球半径为R，则三棱锥体积VACD=______．
13．已知函数f(x)=e-x,(x≤0)2ax-1,(x>0)（a是常数且a>0）．对于下列命题：
①函数f(x)的最小值是-1；
②函数f(x)在R上是单调函数；
③若f(x)>0在［12,+∞)上恒成立，则a的取值范围是a>1；
④对任意x1<0,x2<0且x1≠x2，恒有f(x1+x22)
14．若实数x，y，z，t满足1≤x≤y≤z≤t≤10000，则xy+zt的最小值为______．
二、解答题
1．记关于x的不等式x－ax+1<0的解集为P，不等式|x－1|≤1的解集为Q．
（Ⅰ）若a=3，求P；
（Ⅱ）若QP，求正数a的取值范围．
16．a2,a是方程x2-12x+27=0的两根，数列{an}是公差为正数的等差数列，数列{bn}的前n项和为n,且n=1-12bn(n∈N)
（Ⅰ）求数列{an},{bn}的通项公式;
（Ⅱ）记cn=anbn,求数列{cn}的前n项和n
17．已知“接龙等差数列a1,a2,…,a10,a11,…,a20,a21,…,a30,a31,…构成如下：a1=1，a1,a2,…,a10是公差为1的等差数列；a10,a11,…,a20是公差为d的等差数列；a20,a21,…,a30是公差为d2的等差数列；…；a10n,a10n+1,a10n+2,…,a10n+10是公差为dn的等差数列（n∈N）；其中d≠0．
（Ⅰ）若a20=80，求d；
（Ⅱ）设bn=a10n．求bn；
（Ⅲ）当d>－1时，证明对所有奇数n总有bn>．
18．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f(t)（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足f(t)=4+1t，人均消费g(t)（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g(t)=11－|t－1|
（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w(t)（万元）与时间t(1≤t≤30,t∈N)的函数关系式；
（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）
19．已知数列{an}的前n项和为n，点(n,nn)在直线y=12x+112上
数列{bn}满足bn+2－2bn+1+bn=0(n∈N),且b3=11，前9项和为13
（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=3(2an－11)(2bn－1)，数列{cn}的前n和为n，求使不等式n>k7对一切n∈N都成立的最大正整数k的值
（Ⅲ）设f(n)=an(n=2l－1,l∈N)bn(n=2l,l∈N)，问是否存在m∈N，使得f(m+1)=f(m)成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由
20．已知函数f(x)定义在区间(－1，1)上，f(12)=－1，对任意x、y∈(－1，1)，
恒有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)成立，又数列{an}满足a1=12，an+1=2an1+a2n，
设bn=1f(a1)+1f(a2)+1f(a3)+…+1f(an)．
（Ⅰ）在(－1，1)内求一个实数t，使得f(t)=2f(12)；
（Ⅱ）证明数列{f(an)}是等比数列，并求f(an)的表达式；
（Ⅲ）设cn=n2bn+2，是否存在m∈N，使得对任意n∈N，cn<67log22m－187log2m 恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1． 126
2． 23
3． 22
4． 22
． 0
7．解析：在直角三角形中，a=csinA,b=ccosA,ab=ch,故h=csinAcosA
an+bn=cn(sinnA+cosnA),
an+bn-cn-hn
=cn(sinnA+cosnA-1-sinnAcosnA)
=cn(sinnA-1)•(1-cosnA)<0
有an+bn
9．8
10． x∈(－3－22,－3+22)∪{1}
11．解析：由x2＋2＋|x3－x2|≥ax,1≤x≤12a≤x+2x+|x2－x|，而x+2x≥2x•2x=10，等号当且仅当x=∈［1,12］时成立；且|x2－x|≥0，等号当且仅当x=∈［1,12］时成立；所以，a≤［x+2x+|x2－x|］min=10，等号当且仅当x=∈［1,12］时成立；故a∈(－∞,10］
12．解析：连接内切球球心与各三棱锥顶点，将三棱锥分割成四个小棱锥，它们的高都等于R，底面分别为三棱锥的各个面，它们的体积和等于原三棱锥的体积
答案:13R(△AC+△AD+△ACD+△CD)
13． ③④
14． 10
二、解答题
1．解：（Ⅰ）由x－3x+1<0，得P={x|－1
由a>0，得P={x|－1
即a的取值范围是(2，+∞)．
16．（Ⅰ）解：由a2+a=12,a2a=27
且d>0得a2=3,a=9
∴d=a-a23=2,
a1=1,
∴an=2n-1(n∈N)
在n=1-12bn中,
令n=1,
得b1=23
当n≥2时,n=1-12bn,
n-1=1-12bn-1,
两式相减得bn=12bn-1-12bn,
∴bnbn-1=13(n≥2)
∴bn=23(13)n-1
=23n(n∈N)
（Ⅱ）cn=(2n-1)•23n=4n-23n，
∴n=2(13+332+33+…+2n-13n)，
n3=2(132+333+…+2n-33n+2n-13n+1),
∴23n=2［13+2(132+133+…+13n)-2n-13n+1］
=2［13+2×19(1-13n-1)1-13-2n-13n+1］
=2(13+13-13n-2n-13n+1)
=43-4n+43n+1,
∴n=2-2n+23n
17．解：（Ⅰ）由a1,a2,…,a10是首项为1，公差为1的等差数列得a10=10，a10,a11,…,a20是公差为d的等差数列得a20=a10+10d=10+10d=80，解得d=7．
（Ⅱ）由题意有a20=a10+10d，a30=a20+10d2，a40=a30+10d3，
a10n=a10(n－1)+10dn－1
累加得a10n=a10+10d+10d2+…+10dn－1=10+10d+10d2+…+10dn－1
所以bn=10+10d+10d2+…+10dn－1=10(1－dn)1－d(d≠1)10n(d=1)
（Ⅲ）设n为奇数，
当d∈(0,+∞)时bn=10+10d+10d2+…+10dn－1>10
当d∈(－1,0)时，bn=10(1－dn)1－d，由1<1－d<2及1－dn>1有bn=10(1－dn)1－d>102=
综上所述，当n为奇数且d>－1时，恒有bn>．
18．解：（Ⅰ）由题意得，w(t)=f(t)•g(t)=(4+1t)(11－|t－1|)
（Ⅱ）因为w(t)=(4+1t)(t+100),(1≤t<1,t∈N)(4+1t)(130－t),(1≤t≤30,t∈N)
①当1≤t<1时，w(t)=(4+1t)(t+100)=4(t+2t)+401≥4×22+401=441
当且仅当t=2t，即t=时取等号
②当1≤t≤30时，w(t)=(4+1t)(130－t)=19+(130t－4t)，可证w(t)在t∈［1,30］上单调递减，所以当t=30时，w(t)取最小值为40313
由于40313<441，所以该城市旅游日收益的最小值为40313万元
19．解：（Ⅰ）由题意，得nn=12n+112,即n=12n2+112n
故当n≥2时，an=n－n－1=(12n2+112n)－［12(n－1)2+112(n－1)］=n+
当n=1时，a1=1=6，而当n=1时，n+=6，
所以，an=n+(n∈N)
又bn+2－2bn+1+bn=0,即bn+2－bn+1=bn+1－bn(n∈N)，
所以{bn}为等差数列，于是9(b3+b7)2=13
而b3=11,故b7=23,d=23－117－3=3
因此，bn=b3+3(n－3)=3n+2,即bn=3n+2(n∈N)
（Ⅱ）cn=3(2an－11)(2bn－1)
=3［2(n+)－11］［2(3n+2)－1］
=1(2n－1)(2n+1)=12(12n－1－12n+1)
所以，n=c1+c2+…+cn
=12［(1－13)+(13－1)+(1－17)+…+(12n－1－12n+1)］
=12(1－12n+1)=n2n+1
由于n+1－n=n+12n+3－n2n+1=1(2n+3)(2n+1)>0，因此n单调递增，
故(n)min=13
令13>k7,得k<19,所以kmax=18
（Ⅲ）f(n)=n+(n=2l－1,l∈N),3n+2(n=2l,l∈N)
①当m为奇数时，m + 1为偶数
此时f(m+1)=3(m+1)+2=3m+47,f(m)=(m+)=m+2，
所以3m+47=m+2,m=11
②当m为偶数时，m + 1为奇数
此时f(m+1)=m+1+=m+20,f(m)=(3m+2)=1m+10，
所以m+20=1m+10,m=7N（舍去）
综上，存在唯一正整数m =11，使得f(m+1)=f(m)成立
20．解：（Ⅰ）f(t)=2f(12)
=f(12)+f(12)
=f(12+121+12×12)
=f(4)，
∴在（-1，1）内有一个t=4
（Ⅱ）∵f(a1)=f(12)=-1，
且f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)
∴f(an+1)=f(2an1+a2n)
=f(an+an1+an•an)
=f(an)+f(an)
=2f(an)，
即f(an+1)f(an)=2
∴{f(an)}是以-1为首项，2为公比的等比数列，
∴f(an)=-2n-1
（Ⅲ）由（2）得，bn=－(1+12+122+…+12n－1)=－1－12n1－12=－2+12n－1
∴cn=n2bn+2=－n+n2n+2，
∴{cn}是递减数列，∴cn≤c1=－1+12+2=32，
只须6log22m－18log2m>212，即4log22m－12log2m－7>0，
故log2m<－12或log2m>72，
∴0
∴当m≥12，且m∈N时，7cn<6log22m－18log2m对任意n∈N恒成立，
∴m的最小正整数值为12
（作者：吴卫东，江苏省泰兴中学)