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摘 要：运算是小学生必须要掌握的一项重要的基本技能，然而小学生在运算时却经常出现这样或那样的错误。通过对小学生运算时易产生的错误类型进行原因分析，探究预防和消除运算错误的途径和方法，将有助于降低学生运算错误的发生率，同时也便于教师有的放矢地进行运算教学，做到防患于未然，提高教学的质量。
关键词：运算；错误；原因；规避策略
运算教学在小学数学教学中占据着重要的地位，贯穿着小学教学的各个阶段。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“数与代数”中明确指出：“掌握必要的运算技能，能正确进行运算。”[1]然而，在现实教学中，小学生在运算过程中出现错误却是常有的现象，多数小学教师对学生的运算错误，只是停留在简单纠错的层面上，而没能对学生的运算错误的原因进行考量，也没能及时采取有针对性的对策建议进行规避。基于此，笔者对小学生运算错误的原因进行分析，以期提出针对性的规避策略。
一、计算错误原因分析
小学生在数学课堂的学习、数学练习以及数学考试中，出现的运算错误有很多种，比较容易出现的错误点主要有：对运算法则不理解；看错数学运算符号；与0有关的错误；估商错误；与小数点有关的错误等。总的来说，这些错误可以归为两方面的原因：一是知识技能方面的，二是心理素质方面的。据统计，小学生运算过程中出现的错误，属于知识技能方面的错误仅占40%左右，而属于心理因素造成的原因却占60%左右。[2]对小学生在知识技能和心理素质方面的原因进行分析，可以帮助教师及时采取相应的规避策略。
（一）知识技能方面
1.缺乏扎实的基础知识和熟练的基本口算技能
小学生对整数、小数、分数四则运算的学习，可以说是一个螺旋式上升的过程。它们之间相互贯通，相互促进，甚至是相互制约的。加法、减法以说是一种互逆的运算，加法和乘法口诀是学习乘法运算的基础，加法、减法和乘法是学习除法运算的基础；口算是笔算的基础，整数的四则运算是学习小数和分数四则运算的基础等。此外，一个新的运算的学习是建立在对相应数概念和意义理解的基础之上的。因此，在学习一个新的运算内容之前，如果缺乏扎实的基础知识和熟练的基本口算作为依托，将阻碍当前运算内容的学习，导致运算不正确。
2.对运算法则不明确，算理不理解
整数、分数、小数四则运算的内容有相同，也有不同。每一种数的运算都有其运算规律和规则，如果对运算法则不明确，算理不理解，就可能会产生模糊、错误的记忆，导致运算出错。
3.没有形成技能技巧
有些小学生尽管对于运算所需的知识要领均已掌握，但是由于运算失误所产生的操作错误，虽然是属于不可预见性的错误，看似粗心，其实是学生的运算技能技巧不过关造成的。
（二）心理素质方面
在心理素质方面，小学生运算错误，首先要受情意态度的影响，此外大部分是由于其在认知上的不足。小学生处于皮亚杰认知发展的具体运算阶段，认知水平较低，情感和意志也比较薄弱，由此造成小学生在运算时，容易出现这样和那样的错误。
1.情意态度
情意，指的是情感和意志。可以说造成小学生运算出错的心理因素首先在情意态度方面。当前小学生的作业量负担过重一直是近几年比较受关注的问题，因此造成有些小学生内心排斥完成作业，以至于在写作业时不能认真审题，注意力不集中，敷衍了事；有些小学生碰到难题，会产生畏难情绪，无法静下来认真思考算法，浅尝辄止。诸如此类现象成为部分小学生运算出错的导火索。
2.认知局限
（1）感知不精确。人的很多知识是通过视觉和听觉获得的，而视觉和听觉都属于感知觉的一部分。学生在进行运算时，首先要通过视觉感知数字和符号，但是小学生的视觉是有选择性的，常常容易感知一些强烈的和有兴趣的成分，而掩盖其他的弱成分，像符号混淆运算错误、抄错数字等错误便是由于小学生的感知不够精确造成的。
（2）注意不稳定。注意具有选择功能、保持功能、调节和监督功能。然而小学生注意的稳定性较差，面对单调的运算容易产生注意的分散；注意的范围也不广，加上学生的已有经验不足，在同一时间内把注意指向运算的各个方面，往往丢三落四、顾此失彼。
（3）思维僵化。思维定势对小学生运算教学有积极的作用，在环境不变的情况下，思维定势能使学生利用已经掌握的知识和方法迅速地解决运算的问题；也具有消极的作用，在环境变化了的情况下，学生按照已有的思维模式去解决问题，往往会产生知识的负迁移和不适当的应用和推广。而且小学生依赖具体事物的支持，其抽象能力、概括能力比较弱，不能综合分析和比较新旧运算法则的区别，由此造成运算出错。例如，小学生在小数学习的过程中，容易产生整数乘法和除法的干扰错误等。
（4）记忆干扰。清晰、准确的记忆是学生继续学习的前提，反之模糊、错误的记忆将会干扰学习的进行。心理学研究表明，一般认为暂时性遗忘是由于干扰抑制，包括外界的强烈刺激，情绪的过度紧张忧虑，学习材料间的前摄抑制干扰和倒摄抑制干扰等。[3]例如，初学“乘法口诀”的小学生，对于某些口诀的记忆不牢靠，往往不能准确地提取储存信息，造成运算错误；又如学生对数学的运算法则不熟悉或者不理解，往往会对算理和法则的记忆逐渐衰退，造成运算出错。
（5）不良的学习习惯。有些小学生在进行运算时，往往一看到题目就马上动笔，不能认真审题，也没有耐心去寻找合理的算法；有的是不管计算题的难度如何，往往懒得列竖式，一律用口算、心算；有的在书写时字迹潦草、杂乱无章，没有专门的草稿纸，在桌子和卷子上随意打草稿；更有的只求速度，不求质量，没能形成验算的习惯。这些不良的习惯都可能造成运算出错。
上述造成各种运算错误知识方面和心理方面的原因，并非是孤立存在的，它们往往交互存在，互相影响。所以，我们在分析学生运算错误时，要考虑多方面的因素，统筹兼顾，及时采取切实有效的、有针对性的措施。 二、计算错误的规避策略
认清了小学生产生错误的原因，就要及时采取合理的规避策略，以降低学生运算错误的发生率。
（一）从学生角度
1.培养良好的学习习惯
（1）端正学生学习运算的态度。现在很多小学生都不明白学习是为了什么，低年级的小学生尤其认为学习只是为了满足家长和老师的要求，被动地进行学习。针对此类情况，教师可以做以下尝试，端正学生的学习态度：①激发学生的学习兴趣。运算本身比较枯燥，如果运用奥苏泊尔的先行组织者策略，先于数的运算学习之前，呈现一个激发学生学习的案例，学习效果将事半功倍。②设立情感目标。运算是我们日常生活中比较常用的一项技能，如果能够联系实际，取之生活，用之生活，将会带给学生更多的情感体验。③反例启示。以运算马虎招来的损失的例子，启发学生认真的态度。如银行工作人员做账时，如果不小心点错了小数点或者多加一个“0”都可能会造成无法想象的后果。
（2）养成良好的运算习惯。良好的运算习惯是正确运算的前提保障。小学高年级的运算习惯一般已经养成，因此培养学生良好的运算习惯要从低年级就开始抓起。教师可以从以下几个方面进行培养：
①认真审题的习惯。小学生的感知比较粗略，容易看错符号和数字，这就要求教师要刻意培养学生进行审题的习惯，掩盖学生感知上的不足。教师可以向学生讲解认真审题的好处，如32×6+3.2×40，有些学生拿到题目就开始计算，有些学生却仔细审题发现，把3.2扩大10倍，同时把40缩小10倍，就可以运用乘法分配律进行运算，正确率高，速度又快。
②打草稿和认真书写的习惯。有些学生随意拿张纸打草稿，字迹潦草，杂乱无章。针对此类情况，在进行运算之前，教师可以要求学生备好演草纸，告诉学生如何合理地利用演草纸，让学生了解规范书写和打草稿可以减少错误的发生。
③自觉检验的习惯。小学生有些运算错误是由于学生的注意力不集中造成的。例如，在除法运算时，遗漏商数中的零，如：2717÷12=29，应为209；与小数点位置相关的错误中，乘积中的小数点位置不对，如：33×2.05=676.5，应为67.65等。这时，教师可以尝试运用估算的方法，培养学生自觉检验的习惯，则可能在预防这类错误方面取得较好的效果。对于上述例子的第一个，把2717约为3000，13约为10，则商约为300；第二个例子，把33约为30，2.05约为2，则乘积约为60。
2.加强知识方法的学习
（1）运算的基本功训练。小学生运算的内容贯穿着小学教学的各个阶段，整数、小数、分数四则运算之间相互贯通，相互影响。因此，教师要紧抓低年级的基础，并在学习新的运算内容之前，应确保学生具备扎实的基础知识和熟练的基本口算技能。
（2）展示思路，讲清法则和算理。学生在学习新的计算内容时，要经过同化和顺应两个过程。教师要注重运算法则和算理的建构过程，让学生一步一步建构运算法则，展示思路，讲清算理，创设认知冲突，适当运用反例，揪出易错点，加深学生对法则和算理的理解和掌握。
（3）提供形式多样的变式训练。在学生刚学完运算法则和算理之后，应展开对法则和算理的训练，以巩固新知。除了围绕重点、难点的专项练习，还应加强易混易错的对比练习，引起学生的认知冲突，以便区别相似、易混、易错内容的异同。此外，让学生多做变式练习，可以培养学生随时动脑、求新、求异解决问题的良好习惯，形成猜想，探索多种模式，才能打破思维定势和知识负迁移的干扰，进一步提高学生的运算能力。
3.出声思维的训练
小学生的思维水平是由具体形象思维向抽象逻辑思维转化的阶段，但仍有很大的具体性。因此，教师在教运算法则和算理时，可以运用出声思维法。一方面，教师通过出声思维进行示范，讲清楚为什么要这样运算，怎么运算，将思维外显化；另一方面，适时提问，让学生出声思维，将思维过程用言语表达出来，有助于学生理解计算法则和算理。此外，在进行具体练习的最初阶段，也可以要求学生指出对哪些数进行运算，如何进行运算，并让他们说一说相应的规则，有助于学生掌握运算法则和算理。
（二）教师角度
1.形成错误资源
错误，也可以作为一种重要的教学资源。教师在日常教学中，可以注意发现和收集学生的错误，形成错题资源。教师要将学生运算中的错误分类记载下来，找出其中的共性错误，对其进行归纳整理，以便于在之后的教学中对学生易错易混的内容进行深刻讲解，预防和消除此类错误的发生。当然，对于学生经常犯的运算错误，可以让学生整理出一个错题集，一方面便于学生纠正错误，另一方面也便于教师对其归纳整理，形成错题资源，或作为对个别学生进行个案研究的参照。
2.进行个案研究
小学生的有些运算错误具有顽固性和长期性，这时教师可以对学生进行个案研究，对学生进行长期监控。首先对学生的错误样例进行分析和归类，剖析根源，找出原因；接着与学生进行访谈，纠出错因，并向学生讲解如何纠正此类错误；然后设计有针对性的练习，有目的地进行训练；最后，纠错的过程还需要家长和学生的密切配合，需要教师的长期观察，才能逐步矫正。
总之，提高学生的运算能力，减少学生运算错误的发生率，并不是一朝一夕就可以做到的。但是，作为一名数学教师，应该对学生常出现的运算错误高度重视，对其进行归纳整理，找出运算错误的“罪魁祸首”，及时采取预防和消除运算错误的途径和方法，才能逐步提高学生的运算能力。
参考文献：
[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]马云鹏.小学数学教学论[M].北京：人民教育出版社，2002.
[3]杨善堂.心理学[M].北京：人民教育出版社，2005.
[4]王巍.小学生数学错误的类型及对策[J].课程·教材·教法，2014（07）.
[5]斯涅普坎.数学教学心理学[M].重庆：重庆出版社，1987.
[6]张树东.小学生计算错误的原因分析及对策[J].教育研究与实验，2006（05）.
（作者单位：江苏师范大学）
关键词：运算；错误；原因；规避策略
运算教学在小学数学教学中占据着重要的地位，贯穿着小学教学的各个阶段。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“数与代数”中明确指出：“掌握必要的运算技能，能正确进行运算。”[1]然而，在现实教学中，小学生在运算过程中出现错误却是常有的现象，多数小学教师对学生的运算错误，只是停留在简单纠错的层面上，而没能对学生的运算错误的原因进行考量，也没能及时采取有针对性的对策建议进行规避。基于此，笔者对小学生运算错误的原因进行分析，以期提出针对性的规避策略。
一、计算错误原因分析
小学生在数学课堂的学习、数学练习以及数学考试中，出现的运算错误有很多种，比较容易出现的错误点主要有：对运算法则不理解；看错数学运算符号；与0有关的错误；估商错误；与小数点有关的错误等。总的来说，这些错误可以归为两方面的原因：一是知识技能方面的，二是心理素质方面的。据统计，小学生运算过程中出现的错误，属于知识技能方面的错误仅占40%左右，而属于心理因素造成的原因却占60%左右。[2]对小学生在知识技能和心理素质方面的原因进行分析，可以帮助教师及时采取相应的规避策略。
（一）知识技能方面
1.缺乏扎实的基础知识和熟练的基本口算技能
小学生对整数、小数、分数四则运算的学习，可以说是一个螺旋式上升的过程。它们之间相互贯通，相互促进，甚至是相互制约的。加法、减法以说是一种互逆的运算，加法和乘法口诀是学习乘法运算的基础，加法、减法和乘法是学习除法运算的基础；口算是笔算的基础，整数的四则运算是学习小数和分数四则运算的基础等。此外，一个新的运算的学习是建立在对相应数概念和意义理解的基础之上的。因此，在学习一个新的运算内容之前，如果缺乏扎实的基础知识和熟练的基本口算作为依托，将阻碍当前运算内容的学习，导致运算不正确。
2.对运算法则不明确，算理不理解
整数、分数、小数四则运算的内容有相同，也有不同。每一种数的运算都有其运算规律和规则，如果对运算法则不明确，算理不理解，就可能会产生模糊、错误的记忆，导致运算出错。
3.没有形成技能技巧
有些小学生尽管对于运算所需的知识要领均已掌握，但是由于运算失误所产生的操作错误，虽然是属于不可预见性的错误，看似粗心，其实是学生的运算技能技巧不过关造成的。
（二）心理素质方面
在心理素质方面，小学生运算错误，首先要受情意态度的影响，此外大部分是由于其在认知上的不足。小学生处于皮亚杰认知发展的具体运算阶段，认知水平较低，情感和意志也比较薄弱，由此造成小学生在运算时，容易出现这样和那样的错误。
1.情意态度
情意，指的是情感和意志。可以说造成小学生运算出错的心理因素首先在情意态度方面。当前小学生的作业量负担过重一直是近几年比较受关注的问题，因此造成有些小学生内心排斥完成作业，以至于在写作业时不能认真审题，注意力不集中，敷衍了事；有些小学生碰到难题，会产生畏难情绪，无法静下来认真思考算法，浅尝辄止。诸如此类现象成为部分小学生运算出错的导火索。
2.认知局限
（1）感知不精确。人的很多知识是通过视觉和听觉获得的，而视觉和听觉都属于感知觉的一部分。学生在进行运算时，首先要通过视觉感知数字和符号，但是小学生的视觉是有选择性的，常常容易感知一些强烈的和有兴趣的成分，而掩盖其他的弱成分，像符号混淆运算错误、抄错数字等错误便是由于小学生的感知不够精确造成的。
（2）注意不稳定。注意具有选择功能、保持功能、调节和监督功能。然而小学生注意的稳定性较差，面对单调的运算容易产生注意的分散；注意的范围也不广，加上学生的已有经验不足，在同一时间内把注意指向运算的各个方面，往往丢三落四、顾此失彼。
（3）思维僵化。思维定势对小学生运算教学有积极的作用，在环境不变的情况下，思维定势能使学生利用已经掌握的知识和方法迅速地解决运算的问题；也具有消极的作用，在环境变化了的情况下，学生按照已有的思维模式去解决问题，往往会产生知识的负迁移和不适当的应用和推广。而且小学生依赖具体事物的支持，其抽象能力、概括能力比较弱，不能综合分析和比较新旧运算法则的区别，由此造成运算出错。例如，小学生在小数学习的过程中，容易产生整数乘法和除法的干扰错误等。
（4）记忆干扰。清晰、准确的记忆是学生继续学习的前提，反之模糊、错误的记忆将会干扰学习的进行。心理学研究表明，一般认为暂时性遗忘是由于干扰抑制，包括外界的强烈刺激，情绪的过度紧张忧虑，学习材料间的前摄抑制干扰和倒摄抑制干扰等。[3]例如，初学“乘法口诀”的小学生，对于某些口诀的记忆不牢靠，往往不能准确地提取储存信息，造成运算错误；又如学生对数学的运算法则不熟悉或者不理解，往往会对算理和法则的记忆逐渐衰退，造成运算出错。
（5）不良的学习习惯。有些小学生在进行运算时，往往一看到题目就马上动笔，不能认真审题，也没有耐心去寻找合理的算法；有的是不管计算题的难度如何，往往懒得列竖式，一律用口算、心算；有的在书写时字迹潦草、杂乱无章，没有专门的草稿纸，在桌子和卷子上随意打草稿；更有的只求速度，不求质量，没能形成验算的习惯。这些不良的习惯都可能造成运算出错。
上述造成各种运算错误知识方面和心理方面的原因，并非是孤立存在的，它们往往交互存在，互相影响。所以，我们在分析学生运算错误时，要考虑多方面的因素，统筹兼顾，及时采取切实有效的、有针对性的措施。 二、计算错误的规避策略
认清了小学生产生错误的原因，就要及时采取合理的规避策略，以降低学生运算错误的发生率。
（一）从学生角度
1.培养良好的学习习惯
（1）端正学生学习运算的态度。现在很多小学生都不明白学习是为了什么，低年级的小学生尤其认为学习只是为了满足家长和老师的要求，被动地进行学习。针对此类情况，教师可以做以下尝试，端正学生的学习态度：①激发学生的学习兴趣。运算本身比较枯燥，如果运用奥苏泊尔的先行组织者策略，先于数的运算学习之前，呈现一个激发学生学习的案例，学习效果将事半功倍。②设立情感目标。运算是我们日常生活中比较常用的一项技能，如果能够联系实际，取之生活，用之生活，将会带给学生更多的情感体验。③反例启示。以运算马虎招来的损失的例子，启发学生认真的态度。如银行工作人员做账时，如果不小心点错了小数点或者多加一个“0”都可能会造成无法想象的后果。
（2）养成良好的运算习惯。良好的运算习惯是正确运算的前提保障。小学高年级的运算习惯一般已经养成，因此培养学生良好的运算习惯要从低年级就开始抓起。教师可以从以下几个方面进行培养：
①认真审题的习惯。小学生的感知比较粗略，容易看错符号和数字，这就要求教师要刻意培养学生进行审题的习惯，掩盖学生感知上的不足。教师可以向学生讲解认真审题的好处，如32×6+3.2×40，有些学生拿到题目就开始计算，有些学生却仔细审题发现，把3.2扩大10倍，同时把40缩小10倍，就可以运用乘法分配律进行运算，正确率高，速度又快。
②打草稿和认真书写的习惯。有些学生随意拿张纸打草稿，字迹潦草，杂乱无章。针对此类情况，在进行运算之前，教师可以要求学生备好演草纸，告诉学生如何合理地利用演草纸，让学生了解规范书写和打草稿可以减少错误的发生。
③自觉检验的习惯。小学生有些运算错误是由于学生的注意力不集中造成的。例如，在除法运算时，遗漏商数中的零，如：2717÷12=29，应为209；与小数点位置相关的错误中，乘积中的小数点位置不对，如：33×2.05=676.5，应为67.65等。这时，教师可以尝试运用估算的方法，培养学生自觉检验的习惯，则可能在预防这类错误方面取得较好的效果。对于上述例子的第一个，把2717约为3000，13约为10，则商约为300；第二个例子，把33约为30，2.05约为2，则乘积约为60。
2.加强知识方法的学习
（1）运算的基本功训练。小学生运算的内容贯穿着小学教学的各个阶段，整数、小数、分数四则运算之间相互贯通，相互影响。因此，教师要紧抓低年级的基础，并在学习新的运算内容之前，应确保学生具备扎实的基础知识和熟练的基本口算技能。
（2）展示思路，讲清法则和算理。学生在学习新的计算内容时，要经过同化和顺应两个过程。教师要注重运算法则和算理的建构过程，让学生一步一步建构运算法则，展示思路，讲清算理，创设认知冲突，适当运用反例，揪出易错点，加深学生对法则和算理的理解和掌握。
（3）提供形式多样的变式训练。在学生刚学完运算法则和算理之后，应展开对法则和算理的训练，以巩固新知。除了围绕重点、难点的专项练习，还应加强易混易错的对比练习，引起学生的认知冲突，以便区别相似、易混、易错内容的异同。此外，让学生多做变式练习，可以培养学生随时动脑、求新、求异解决问题的良好习惯，形成猜想，探索多种模式，才能打破思维定势和知识负迁移的干扰，进一步提高学生的运算能力。
3.出声思维的训练
小学生的思维水平是由具体形象思维向抽象逻辑思维转化的阶段，但仍有很大的具体性。因此，教师在教运算法则和算理时，可以运用出声思维法。一方面，教师通过出声思维进行示范，讲清楚为什么要这样运算，怎么运算，将思维外显化；另一方面，适时提问，让学生出声思维，将思维过程用言语表达出来，有助于学生理解计算法则和算理。此外，在进行具体练习的最初阶段，也可以要求学生指出对哪些数进行运算，如何进行运算，并让他们说一说相应的规则，有助于学生掌握运算法则和算理。
（二）教师角度
1.形成错误资源
错误，也可以作为一种重要的教学资源。教师在日常教学中，可以注意发现和收集学生的错误，形成错题资源。教师要将学生运算中的错误分类记载下来，找出其中的共性错误，对其进行归纳整理，以便于在之后的教学中对学生易错易混的内容进行深刻讲解，预防和消除此类错误的发生。当然，对于学生经常犯的运算错误，可以让学生整理出一个错题集，一方面便于学生纠正错误，另一方面也便于教师对其归纳整理，形成错题资源，或作为对个别学生进行个案研究的参照。
2.进行个案研究
小学生的有些运算错误具有顽固性和长期性，这时教师可以对学生进行个案研究，对学生进行长期监控。首先对学生的错误样例进行分析和归类，剖析根源，找出原因；接着与学生进行访谈，纠出错因，并向学生讲解如何纠正此类错误；然后设计有针对性的练习，有目的地进行训练；最后，纠错的过程还需要家长和学生的密切配合，需要教师的长期观察，才能逐步矫正。
总之，提高学生的运算能力，减少学生运算错误的发生率，并不是一朝一夕就可以做到的。但是，作为一名数学教师，应该对学生常出现的运算错误高度重视，对其进行归纳整理，找出运算错误的“罪魁祸首”，及时采取预防和消除运算错误的途径和方法，才能逐步提高学生的运算能力。
参考文献：
[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]马云鹏.小学数学教学论[M].北京：人民教育出版社，2002.
[3]杨善堂.心理学[M].北京：人民教育出版社，2005.
[4]王巍.小学生数学错误的类型及对策[J].课程·教材·教法，2014（07）.
[5]斯涅普坎.数学教学心理学[M].重庆：重庆出版社，1987.
[6]张树东.小学生计算错误的原因分析及对策[J].教育研究与实验，2006（05）.
（作者单位：江苏师范大学）