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爱因斯坦说：“真正可贵的是直觉”。直觉思维和形象思维、逻辑思维并列为人类三大思维方式，它有别于后二者的特征是：其一思维发生的变发性、随机性；其二思维过程的跳跃性、突变性；其三思维结果的突破性、超常性，它是现代人才素质必备的思维品质。直觉可分为“科学直觉”与“数学直觉”。按以色列学者费施拜因的研究，数学直觉可分为“确证性直觉”和“发现性直觉”两类。前者是指知识的这样一种表征或解释，它对于主体来说是自明的和完全确定的；后者则是指对于对象性质或相互关系的洞察，即直接得出了猜测性的结论，后者要伴随很强的自信心。
数学直觉对数学认识活动的重要性：由于数学对象(这不仅是指数学概念，也包括数学命题、证明等)并非物质世界中的真实存在，而是抽象思维的产物，因此，数学认识活动的一个重要内容，就是要发展相应的直觉(直觉的表征或解释)已使主体在心理上建立起必要的可靠性。
徐利治教授：数学直觉是达到对数学知识真正理解的重要途径。只有这样，才能使相应的内容在头脑中成为“非常直接浅显的”和“非常透彻明白的”，从而真正达到“真懂”或“彻悟”的境界。
同时指出“数学直觉是于后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的”。这也就是说数学直觉思维是可以通过训练提高的。
一、利用联想来培养直觉思维
联想不是凭空产生的，直觉也不是靠“机遇”。直觉的获得虽然具有偶然性，但不是无缘无故的凭空臆想，直觉思维必须以人的知识经验为基础，有了扎实的基础，形成有序的、网络化的知识体系是解题中能提取相关信息，有效地灵活地解决问题的关键。在问题的解决中只有对数学知识体系有清晰的记忆，才能由条件联想到基本概念基本原理基本方法及其相互联系所构成的理论框架，使问题得到迅速解决。教育家布鲁纳曾说：“结构的理论能使学生从中提高他们直觉地处理问题的效果”。
二、利用哲学观和审美观来培养直觉思维
直觉的产生是基于对研究对象整体的把握，而哲学观点有利于高屋建瓴地把握事件的本质，这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。
三、利用解题教学来培养直觉思维
教学中选择适当的题目类型，有利于培养、考察学生的直觉思维。例如解选择题，由于要求从四个选择支中挑选出来，省略解题过程，通过合理的猜想，更有发现一点，答案即明。从而利用快速解题来培养直觉思维。
例１：（2001年全国高考理科试题第（6）题）函数y=cosx+1（-∏≤x≤0）的反函数是（）
A．y=-arccos（x-1）（0≤x≤2）
B．y=∏-arccos（x-1）９0≤x≤2）
C．y=arccos（x-1）（0≤x≤2）
D．y=∏+arccos（x-1）（0≤x≤2）
例２：（2001年全国高考理科试题第（2）题）过点A(1，-1)、B(-l，1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆方程（）
A．（x-3）2+（y+1）2=4
B．（x+3）2+（y-1）2=4
C．（x-1）2+（y-1）2=4
D．（x+１）2+（y+1）2=4
析解：例１观察题目，由反函数的值域是原函数的定义域，直觉选（A）。
例２直觉发现A、B两点关于直线x=y对称，则圆心是直线x=y与直线x+y-2=0的交点，即知选（C）。
对于那些条件或结论不够明确的问题，可以从多个角度由果导因，由因索果，提出猜想。由于答案的发散性，有利于直觉思维能力的培养。在具体教学中要引导学生细心观察，鼓励学生大胆联想和猜想，为发展直觉思维营造良好的环境，要引导学生对大量的思维过程(感性材料)进行分析综合，联想对比，抽象概括，从而简缩思维过程，为迅速得出直觉判断创造条件。
四、利用解题后的反思来培养直觉思维
完成解题，并不意味学习结束，恰恰相反这正是学习的开始，因为刚刚过去的解题过程，或许只是偶然的灵感闪现，或者是大脑中才有思想方法在新情景中的再现。就像我们在河边散步偶见到一块金子，你是欣喜若狂地宣布你的收获，还是一声不响地顺着河床找一找是否还有金矿?解题后的反思就是寻找金矿的过程，我们不妨问问自己为什么会有这样的灵感(直觉)?原有的思想方法为什么能在这里产生作用?这种解法有什么优点和不足?能否将现在的情景、条件、结论改变，并将其解决方法推而广之等等。通过这些问题的分析，灵感将成为规律、方法将深植于你的大脑在不断地反思中举一反三的能力就悄悄地形成了，从而使直觉思维达到一个更高的层次。
例３：一个等差数列{an}的前10项和为100，前l00项和为10，求数列的前110项的和。
析解：直觉知应用等差数列的求和公式求解即可。但是这种解法有一个明显的缺点：运算时涉及的数字太大，因而运算有一定的难度。因此在解完此题后，教师可以引导学生进行回顾和思考，帮助学生结合等差数列的有关性质加以思考，学生在进行分析和思考后，一般能想到等差数列的这样一个性质：Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…也成等差数列，于是有：S10，S20-S10，S30-S20，……S100-S90成等差数列，设公差为d，则有：10S+■d=10，可以解得d=-22，而S110-S100=S10+(11-1)d，所以S10=-110。
提高直觉思维不是一朝一夕的事情，需要在学习中不断地体会琢磨和总结，要善于把已证明过的重要命题转变为直觉的知识模块，在以后使用中供“组装”之用。
【参考文献】
[1]郑毓信．数学思维与数学方法论[M]．四川教育出版社，成都，2001年版.
[2]郑毓信．“问题解决”与数学教育，数学传播：“关于大众数学”反思.数学教育学报.
[3]吴炯圻，林培榕.数学思想方法[M]．厦门，厦门大学出版社.2001.
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
数学直觉对数学认识活动的重要性：由于数学对象(这不仅是指数学概念，也包括数学命题、证明等)并非物质世界中的真实存在，而是抽象思维的产物，因此，数学认识活动的一个重要内容，就是要发展相应的直觉(直觉的表征或解释)已使主体在心理上建立起必要的可靠性。
徐利治教授：数学直觉是达到对数学知识真正理解的重要途径。只有这样，才能使相应的内容在头脑中成为“非常直接浅显的”和“非常透彻明白的”，从而真正达到“真懂”或“彻悟”的境界。
同时指出“数学直觉是于后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的”。这也就是说数学直觉思维是可以通过训练提高的。
一、利用联想来培养直觉思维
联想不是凭空产生的，直觉也不是靠“机遇”。直觉的获得虽然具有偶然性，但不是无缘无故的凭空臆想，直觉思维必须以人的知识经验为基础，有了扎实的基础，形成有序的、网络化的知识体系是解题中能提取相关信息，有效地灵活地解决问题的关键。在问题的解决中只有对数学知识体系有清晰的记忆，才能由条件联想到基本概念基本原理基本方法及其相互联系所构成的理论框架，使问题得到迅速解决。教育家布鲁纳曾说：“结构的理论能使学生从中提高他们直觉地处理问题的效果”。
二、利用哲学观和审美观来培养直觉思维
直觉的产生是基于对研究对象整体的把握，而哲学观点有利于高屋建瓴地把握事件的本质，这些哲学观点包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。
三、利用解题教学来培养直觉思维
教学中选择适当的题目类型，有利于培养、考察学生的直觉思维。例如解选择题，由于要求从四个选择支中挑选出来，省略解题过程，通过合理的猜想，更有发现一点，答案即明。从而利用快速解题来培养直觉思维。
例１：（2001年全国高考理科试题第（6）题）函数y=cosx+1（-∏≤x≤0）的反函数是（）
A．y=-arccos（x-1）（0≤x≤2）
B．y=∏-arccos（x-1）９0≤x≤2）
C．y=arccos（x-1）（0≤x≤2）
D．y=∏+arccos（x-1）（0≤x≤2）
例２：（2001年全国高考理科试题第（2）题）过点A(1，-1)、B(-l，1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆方程（）
A．（x-3）2+（y+1）2=4
B．（x+3）2+（y-1）2=4
C．（x-1）2+（y-1）2=4
D．（x+１）2+（y+1）2=4
析解：例１观察题目，由反函数的值域是原函数的定义域，直觉选（A）。
例２直觉发现A、B两点关于直线x=y对称，则圆心是直线x=y与直线x+y-2=0的交点，即知选（C）。
对于那些条件或结论不够明确的问题，可以从多个角度由果导因，由因索果，提出猜想。由于答案的发散性，有利于直觉思维能力的培养。在具体教学中要引导学生细心观察，鼓励学生大胆联想和猜想，为发展直觉思维营造良好的环境，要引导学生对大量的思维过程(感性材料)进行分析综合，联想对比，抽象概括，从而简缩思维过程，为迅速得出直觉判断创造条件。
四、利用解题后的反思来培养直觉思维
完成解题，并不意味学习结束，恰恰相反这正是学习的开始，因为刚刚过去的解题过程，或许只是偶然的灵感闪现，或者是大脑中才有思想方法在新情景中的再现。就像我们在河边散步偶见到一块金子，你是欣喜若狂地宣布你的收获，还是一声不响地顺着河床找一找是否还有金矿?解题后的反思就是寻找金矿的过程，我们不妨问问自己为什么会有这样的灵感(直觉)?原有的思想方法为什么能在这里产生作用?这种解法有什么优点和不足?能否将现在的情景、条件、结论改变，并将其解决方法推而广之等等。通过这些问题的分析，灵感将成为规律、方法将深植于你的大脑在不断地反思中举一反三的能力就悄悄地形成了，从而使直觉思维达到一个更高的层次。
例３：一个等差数列{an}的前10项和为100，前l00项和为10，求数列的前110项的和。
析解：直觉知应用等差数列的求和公式求解即可。但是这种解法有一个明显的缺点：运算时涉及的数字太大，因而运算有一定的难度。因此在解完此题后，教师可以引导学生进行回顾和思考，帮助学生结合等差数列的有关性质加以思考，学生在进行分析和思考后，一般能想到等差数列的这样一个性质：Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…也成等差数列，于是有：S10，S20-S10，S30-S20，……S100-S90成等差数列，设公差为d，则有：10S+■d=10，可以解得d=-22，而S110-S100=S10+(11-1)d，所以S10=-110。
提高直觉思维不是一朝一夕的事情，需要在学习中不断地体会琢磨和总结，要善于把已证明过的重要命题转变为直觉的知识模块，在以后使用中供“组装”之用。
【参考文献】
[1]郑毓信．数学思维与数学方法论[M]．四川教育出版社，成都，2001年版.
[2]郑毓信．“问题解决”与数学教育，数学传播：“关于大众数学”反思.数学教育学报.
[3]吴炯圻，林培榕.数学思想方法[M]．厦门，厦门大学出版社.2001.
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”