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世上万物,以真善美为最高境界,数学的真善美往往被淹没在形式演绎的海洋里,需要大力挖掘、用心体会才能发现,进而感受、体验和欣赏。著名数学家波利亚曾说过:“数学问题的解决仅仅只是一半,更重要的是解题后的回顾。”在平时的考试及练习中,我们经常会发现一些好题很值得思考。本文将以一道高三数学试卷中的圆锥曲线题目为例,谈谈解题后的点滴思考与体会。
【原题】已知抛物线x2=8y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且■=λ■(λ>0),过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M。
(1)证明线段FM被x轴平分;(2)计算■·■的值;(3)求证|FM|2=|FA|·|FB|。
一、对试题背景以及所考查知识点的思考
纵观近几年的高考试卷,发现圆锥曲线以切线为背景的问题经常出现在各地的高考试题中,这类问题往往因为运算量大而且计算十分复杂,最终被考生因为时间不够而放弃。本题考查了学生对抛物线切线的求法,直线与圆锥曲线的位置关系等知识点的掌握程度,同时也考查了学生联立方程组后,利用韦达定理消参和运算、化归等能力。
其实,在平时教学过程中,许多老师在讲《抛物线》这部分内容的时候,经常会穿插一些抛物线中的常见结论。比如:
结论1:抛物线y2=2px的弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦AB过焦点的充要条件是y1y2=-p2。
结论2:过抛物线y2=2px(或x2=2py)上任一点P(x0,y0)所作切线方程为yy0=p(x+x0)(或xx0=p(y+y0))
结论3:经过抛物线y2=2px外一点P(x0,y0)引两条切线PP1和PP2,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2)为两个切点,则过P1,P2的直线方程为y0y=p(x0+x)。
以上三个常见结论在抛物线中应用较广泛,限于篇幅,这里不一一证明。其实从这三个普遍的结论中可以延伸出很多抛物线焦点弦的性质。如果平时我们能在课堂上作为探究题呈现给学生,相信会很好地锻炼学生的类比、归纳等探究思维能力。这里笔者提供几个很好的探究(以下不妨称为性质)。
性质:抛物线焦点弦两端的切线的交点,必在抛物线的准线上,且两切线互相垂直。
證明:如图1,抛物线x2=2py(p>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则AM:xx1=p(y+y1),BM:xx2=p(y+y2),联立解得,M的纵坐标为■,由结论1知x1x2=-p2,故M的纵坐标为-■,即M在准线上。由切线方程可知,kAM=■,kBM=■,kAM·kBM=■=-1,故两切线互相垂直。
进一步思考:性质1反过来可以得到命题:在抛物线的准线上任取一点,同时引该抛物线的两条互相垂直的切线,且切点弦必过焦点(读者可自行证明该命题是真命题)。
实际上,我们还可从刚才性质1的证明过程中发现M的坐标为(■,-■),进而推得■·■=0,这样再结合已证得的Rt△AMB中,运用射影定理,原考题就不难解决了。当然我们还得积极引导学生的发散思维,挖掘更多的新方法。
二、试题探究与引申
探究一:若题中条件减弱为不是焦点弦,而是y轴上的一个定点呢?
(07年全国联赛河南省预赛)已知抛物线x2=4y及定点P(0,8),A、B是抛物线上的两动点,且■=λ■(λ>0),过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M。(1)证明点M的纵坐标为定值;(2)是否存在定点Q,使得无论AB怎样运动,都有∠AQP=∠BQP,证明你的结论。
解析:(1)A(x1,y1),B(x2,y2),AM:xx1=2(y+y1);BM:xx2=2(y+y2),联立解得M(■,-8)。
(2)存在点Q(0,-8),此时kAQ=■,kBQ=■,kAQ+kBQ=■=0,故∠AQP=∠BQP。
探究二:若题中条件中的抛物线改为椭圆或双曲线呢?又有何结论?
【类比引申】已知椭圆■+■=1(a>b>0)的左焦点为F,A、B是椭圆上除长轴端点的两动点,且■=λ■(λ>0),过A、B两点分别作椭圆的切线,设其交点为M。
由原题类比抛物线得到:M在左准线上,且■·■=0,两切线互相垂直。下面给出证明。
证明:类比抛物线的结论2,可得椭圆的切线方程■+■=1,P(x0,y0)为椭圆上任一点,故两切线方程为■+■=1,■+■=1,容易验证当AB为通径(斜率不存在)时,M在左准线上,且■·■=0,两切线互相垂直。故不妨设AB方程为y=k(x+c),联立得M(-■,■),kMF=■=-■,故■⊥■。同理可证两切线互相垂直。
【类比引申】已知双曲线■-■=1(a>0,b>0)的左焦点为F,A、B是双曲线上除实轴端点的两动点,且■=λ■(λ>0),过A、B两点分别作双曲线的切线,设其交点为M。是否可以类比得到:M点在左准线上,且■·■=0,两切线互相垂直?
以上便是我做完这道圆锥曲线试题后的一些点滴体会,尽请读者批评指正。
参考文献:
[1] 谢亚光,《平面解析几何》[J],《中学数学教学参考》,2010.2
[2] 李胜宏,《高中数学竞赛培优教程》[M],浙江大学出版社,2003
[3] 刘建中,《课堂探究教学因何而受阻》[J],《中学数学参考》,2010.2
[4] 李惟峰,《圆锥曲线切线方程的探索》[J],《中学教研》2010.3
【原题】已知抛物线x2=8y的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且■=λ■(λ>0),过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M。
(1)证明线段FM被x轴平分;(2)计算■·■的值;(3)求证|FM|2=|FA|·|FB|。
一、对试题背景以及所考查知识点的思考
纵观近几年的高考试卷,发现圆锥曲线以切线为背景的问题经常出现在各地的高考试题中,这类问题往往因为运算量大而且计算十分复杂,最终被考生因为时间不够而放弃。本题考查了学生对抛物线切线的求法,直线与圆锥曲线的位置关系等知识点的掌握程度,同时也考查了学生联立方程组后,利用韦达定理消参和运算、化归等能力。
其实,在平时教学过程中,许多老师在讲《抛物线》这部分内容的时候,经常会穿插一些抛物线中的常见结论。比如:
结论1:抛物线y2=2px的弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦AB过焦点的充要条件是y1y2=-p2。
结论2:过抛物线y2=2px(或x2=2py)上任一点P(x0,y0)所作切线方程为yy0=p(x+x0)(或xx0=p(y+y0))
结论3:经过抛物线y2=2px外一点P(x0,y0)引两条切线PP1和PP2,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2)为两个切点,则过P1,P2的直线方程为y0y=p(x0+x)。
以上三个常见结论在抛物线中应用较广泛,限于篇幅,这里不一一证明。其实从这三个普遍的结论中可以延伸出很多抛物线焦点弦的性质。如果平时我们能在课堂上作为探究题呈现给学生,相信会很好地锻炼学生的类比、归纳等探究思维能力。这里笔者提供几个很好的探究(以下不妨称为性质)。
性质:抛物线焦点弦两端的切线的交点,必在抛物线的准线上,且两切线互相垂直。
證明:如图1,抛物线x2=2py(p>0),A(x1,y1),B(x2,y2),则AM:xx1=p(y+y1),BM:xx2=p(y+y2),联立解得,M的纵坐标为■,由结论1知x1x2=-p2,故M的纵坐标为-■,即M在准线上。由切线方程可知,kAM=■,kBM=■,kAM·kBM=■=-1,故两切线互相垂直。
进一步思考:性质1反过来可以得到命题:在抛物线的准线上任取一点,同时引该抛物线的两条互相垂直的切线,且切点弦必过焦点(读者可自行证明该命题是真命题)。
实际上,我们还可从刚才性质1的证明过程中发现M的坐标为(■,-■),进而推得■·■=0,这样再结合已证得的Rt△AMB中,运用射影定理,原考题就不难解决了。当然我们还得积极引导学生的发散思维,挖掘更多的新方法。
二、试题探究与引申
探究一:若题中条件减弱为不是焦点弦,而是y轴上的一个定点呢?
(07年全国联赛河南省预赛)已知抛物线x2=4y及定点P(0,8),A、B是抛物线上的两动点,且■=λ■(λ>0),过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M。(1)证明点M的纵坐标为定值;(2)是否存在定点Q,使得无论AB怎样运动,都有∠AQP=∠BQP,证明你的结论。
解析:(1)A(x1,y1),B(x2,y2),AM:xx1=2(y+y1);BM:xx2=2(y+y2),联立解得M(■,-8)。
(2)存在点Q(0,-8),此时kAQ=■,kBQ=■,kAQ+kBQ=■=0,故∠AQP=∠BQP。
探究二:若题中条件中的抛物线改为椭圆或双曲线呢?又有何结论?
【类比引申】已知椭圆■+■=1(a>b>0)的左焦点为F,A、B是椭圆上除长轴端点的两动点,且■=λ■(λ>0),过A、B两点分别作椭圆的切线,设其交点为M。
由原题类比抛物线得到:M在左准线上,且■·■=0,两切线互相垂直。下面给出证明。
证明:类比抛物线的结论2,可得椭圆的切线方程■+■=1,P(x0,y0)为椭圆上任一点,故两切线方程为■+■=1,■+■=1,容易验证当AB为通径(斜率不存在)时,M在左准线上,且■·■=0,两切线互相垂直。故不妨设AB方程为y=k(x+c),联立得M(-■,■),kMF=■=-■,故■⊥■。同理可证两切线互相垂直。
【类比引申】已知双曲线■-■=1(a>0,b>0)的左焦点为F,A、B是双曲线上除实轴端点的两动点,且■=λ■(λ>0),过A、B两点分别作双曲线的切线,设其交点为M。是否可以类比得到:M点在左准线上,且■·■=0,两切线互相垂直?
以上便是我做完这道圆锥曲线试题后的一些点滴体会,尽请读者批评指正。
参考文献:
[1] 谢亚光,《平面解析几何》[J],《中学数学教学参考》,2010.2
[2] 李胜宏,《高中数学竞赛培优教程》[M],浙江大学出版社,2003
[3] 刘建中,《课堂探究教学因何而受阻》[J],《中学数学参考》,2010.2
[4] 李惟峰,《圆锥曲线切线方程的探索》[J],《中学教研》2010.3