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日本著名数学教育学家米山国藏曾指出，使学生终身受益的并不是学生所学的数学知识，而是铭刻于学生脑海中的数学思想方法。由此可见，数学教学承担着向学生渗透数学思想方法的重要使命。其中，数形结合思想是小学阶段最重要的、最基础的数学思想方法之一。何谓数形结合呢？就是根据数与形之间的对应关系，通过数形的相互转换来解决数学问题的思想。
“数”通过“形”获得直观体验，可以迅速而简洁地理解数学题意，所以有人说，一个图形胜过千言万语;“形”通过“数”而得到规律化的总结，所以，有万物皆“数”的感叹。这里，结合自己多年的教学实践，谈一谈数形结合在小学数学教学中如何突破教学瓶颈。
一、数形结合思想在小学数学教学中的积极作用
（一）学生的逻辑思维能力能在数形结合的思想下得以提升
小学数学教学中的数形结合运用主要是通过数字与图形相结合的方法来解决题目中出现的问题。数字既包含题目中的已知条件又包含在做题过程中推算出来的结果，从而将示意图或者柱状图画出来，再由曲线图或者柱状图来解决题目中出现的问题，为清晰题目了解题意有更直观的了解。在小学数学教学中运用和实施数形结合的思想，更有利于学生跟着教学老师的思想和步骤探讨题意，能够帮助学生利用有限的已知条件在最短的时间内解决问题。
（二）学生的学习积极性能在数形结合思想运用过程中得以提升
在小学数学的实际开展中，数形结合的思想能够使学生们的学习兴趣得以激发，使学生的学习效率得以提高。在学习过程中，老师可以根据学生在解决问题中遇到的麻烦，充分利用数形结合思想的好处，推动学生自主思考、自主探索问题。随着探索的不断深入，使学生的运用能力得以提高。
二、数形结合思想的运用在小学数学教学中的意义
（一）利用数形结合思想，使学生们的学习积极性得以提升
通过数形结合思想，可以让数字变得生动起来，这是数形结合思想的其中一个优势。因为小学生的逻辑为能力和抽象思维水平并不高，所以在面对较难理解的数学题时往往会导致学习效率不高，学习积极性的降低。所以小学数学老师可以利用数形结合的方法来引导学生们用一种更直观的方式看待问题，从而提高学生的学习效率，提升学生们的积极性。
（二）利用数形结合思想，使学生更好地掌握数学知识
在学习过程中，通过数形结合的方法，可以使学生较快速度的充分了解数学知识，从而在数学知识的学习过程中，在促使学生了解数学知识的过程中，帮助学生不断的提高理解题目的能力和举一反三的能力。
（三）利用数形结合的思想，使学生的解题效率得以提高
在教学工作的实施中，为了使教学质量得以提高，可以通过数形结合思想的灵活运用，不断地改进教学工作中的授课模式，使学习氛围得以优化，鼓励所有学生在教学活动中有所参与，这样不光可以使学生的做题速度和效率得以提高，还能够使学生的学习自信心得以提升，从而更轻松地学习数学知识。与此同时，数学教师可以在课堂的不同时间段安排随堂小考，以此来对学生的解题速度和解题的效率进行记录，并且鼓舞学生大胆提出问题、回答问题，从而使其他同学在解决问题的同时，将当堂学习的内容再复习一遍，以达到提高学生课堂学习效率的目的。所以，在日常的教学任务中，通过数形结合的思想来使学生解决问题的效率提高是数学教师教学任务的重中之重。例如：在解题过程中，数学教师可以告诉学生通过判断原理图，从而确定题目所考察的知识点，进而提高解题效率。
三、数形结合，有效突破教学难点
教学难点就是学生认知过程中矛盾的焦点，是学生学习过程中易于混淆的知识点。它像一块绊脚石、一只拦路虎，阻碍了学生学习新知识的脚步。只有化解难点、解除疑惑才能保证教学的顺畅有效。当然，在一定意义上说，教学难点本身也属于教学重点。如何有效的突破教学难点呢？数形结合是一种行之有效的方法。如教学“比一个数的几倍多（少）几？”“六一节”小朋友做红花150朵，比黄花的2倍少10朵，黄花做了多少朵？很多孩子想当然地认为应该这样列式：150÷2-10=65（朵）。如果教师过早地抛出正确列式：（150 10）÷2=80（朵），学生貌似理解了，但过后遇到类似的题目还是会用错误的方法解答。本题的难点是“黄花的2倍的对应量是多少？”教师通过引导学生画线段图就能够有效地突破这个理解瓶颈。
在本题中，把黄花的朵数看作单位“1”，先确定好黄花朵数的长度，再让学生想一想再画红花朵数的长度。启发学生应该画多长？是黄花的两倍吗？当然不是，应该比2倍少10朵。再追问：那么是黄花朵数的2倍是150吗？是（150-10）吗？为什么？学生就容易理解：不是，红花150朵本来就不到黄花的2倍，如果再减10朵，不就比2倍更少了，（150 10）才应该是黄花2倍的量。这样，学生对于题意的理解才真正到位，获得了思维的精彩体验。自然的，本题要求黄花朵数即一份量，学生就知道正确列式了。因此，在学生遇到认知障碍时，适时引入线段图，让图形把题目中的数量关系准确地、清楚地表达出来。这样让学生明白自己错了并知道错在哪里，达到知其然且知其所以然的效果。本节课通过巧用数形结合，把抽象的数学问题用直观的线段图表现出来，有效地突破了难点。
四、数形结合，准确揭示数学本质
现在，部分教师在数学教学时只满足于让学生掌握基础知识和基本技能，忽视了对数学中更深层次的数学思想和方法的挖掘提升。这是非常肤浅的。事实上，数学更重要的内容恰恰是其背后蕴含的数学思想与数学方法，它们才是数学的本质。实践证明，数学课堂上合理利用数形结合思想方法，能够由表及里，由浅入深，有效突破教学瓶颈，完美地揭示数学本质。例如，人教版五年级数学下册《打电话》，这节课是一节综合应用实践课程。它的教学内容抽象难懂，该如何理解打电话中最优方案及其運用呢？我做了以下尝试。出示例题：一个七人合唱队，接到一个紧急演唱的任务，教师需要以最快的速度通知每一个队员参与。如果用打电话的方式，每分钟通知到一个人。要怎么做才能尽快让每个队员都接到通知？先让学生猜想几分钟后能尽快通知到每个队员。然后，教师问：“你们准备用什么方法进行验证呢？”学生提出了可以演一演，算一算，画一画的方法。绝大部分同学采用了画一画的方法。 学生用这样直观的图形表示出自己的想法，从学生1到学生4的图。可以看出是一步一步思考的过程，图画得越来越直观，也可以看出不同层次的学生的思考程度也不同。我们用图清晰地表示出来合唱队有7人的情况，如果合唱队有15人，63人，100人……数据越来越大，画图法的局限性就显现出来了。这时，“数”该请上场了。请大家根据图（教师把课件定格在学生4的图上）填写以下的表格。
学生在填表时前1到3分钟，直接看图就可以填了。填到第4分钟，第5分钟时学生就得思考接下去该怎么填？有没有什么规律可循？第n分钟时，又该怎么填呢？看似简单的表格，却是学生观察、分析、归纳、总结的过程。“数”的出现使学生的思维不光停留在图形的表象，而是揭示了数学的本质。让学生感受了几何倍增学的神奇，进一步优化了思想，建立了数学模型。在教学实践中，因为合理地采用了数形结合的方法，不仅课堂流畅、内容饱满，也让各个层次的学生在数学上得到了不同的发展。
五、以形助数，理清解决问题的思路
数学是一门具有抽象性逻辑思维强的科目，对于小学生而言，其中有很多的知识是晦涩难懂的，他们并没有很好地数学思维和数学学习方法，教师一味地采取填鸭式教学，只会增加数学的枯燥感，降低学生的学习兴趣。因此需要利用思维导图，将教学中的晦涩难懂的知识点或者容易混淆的知识点进行罗列出来，通过图文并茂的形式，更加直观的解决这些难题，而且能够增强学生对这些难题的记忆，加深他们的理解能力，一步步的提高自身的数学学习水平。像在学习几何图形的过程中，很多学生对等腰三角形、等边三角形和钝角三角形三者的概念改不清楚，那么教师从各自的特点出发，为学生建立数形结合的学习方法，让学生在对比的学习方法中掌握相关的知识。
数学知识呈现出一定的规律性，一个单元里面往往包含了很多小知识点，二这些小知识点又分散在单元不同的位置，学生在进行单元学习的时候，往往只会注重单元的中心内容，对于这些小知识点很难做到全部的掌握，再加上小学中所学的数学知识本身就很杂乱，导致大脑中的数学知识十分的混乱。
《数学课程标准（2011年版）》明确指出：利用图形描述问题和分析问题，有助于复杂问题简明化，从而找到探索问题的思路并对结果进行预测。这就要求教师能引导学生将抽象的问题直观化、形象化。在学生动手操作过程中，主动思考，突破思维障碍，进而找到解决问题的思路和方法。例如人教版五年级下册《分数的加减法混合运算》中需要解决《喝牛奶问题》：一杯纯牛奶，乐乐喝了半杯后，觉得有些凉，就兑满了热水。他又喝了半杯，就出去玩了，乐乐一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？
这节课的学习与教学瓶颈是例题中在没有出现一个相应的分数，也无法准确知道在兑水后喝完的半杯里面牛奶和水分别是多少杯？课前我布置学生先预习，有条件的可以像乐乐那样喝牛奶。
第二天我检查预习情况时，听到所有学生说：“在牛奶里加上水，牛奶味越来越淡，越来越难喝。”教师：“为什么会越来越淡呢？”学生回答：“因为里面加了水。”也有人说“水多了牛奶少了”。这些是学生最感性的认识。教师追问：“第一次兑水后，乐乐分别喝了多少杯牛奶，多少杯水？”这个问题一抛出，教室里顿时安静了。教师：“我们可以用什么方法来分析呢？对，大家可以画一画，那请把自己的想法试着画出来吧。”
像图1这样画的学生对第二次喝牛奶还只有一个整体的感受。
像图2这样画的学生是这样解释的：第二次喝掉的半杯里一半是牛奶，一半是水。因为牛奶和水混合在一起了。这时喝的牛奶是半杯的一半，所以也就是整杯的1/4。水也喝了1/4杯。牛奶一共喝1/2 1/4=3/4杯。像图3这样的图画的也非常地直观，他的解释同图2的学生。教学中，教师放手让学生把自己的想法借助图形展开分析、想象，既帮助学生理解了题意，又直观地画出了第二次喝的半杯里牛奶和水分别是多少杯。学生从图中一眼就看明白了难懂的[12]杯的一半与整杯之间的关系。本课中用“形”的直观启迪“数”的计算，为这无一具体数字的题目探索了解决问题的思路和方法。可见，数学教学中巧用数形结合，既可以把抽象的数学问题直观明了化;也可以把习以为常的生活问题提炼成数学知识、揭示数学规律。从而，突破教學瓶颈，打通教学环节，实现教学相长。作为一种行之有效的数学方法，教师要在数学教学中渗透数形结合的思想，逐步培养学生利用数形结合解决问题的意识和能力，实现让数形结合为学生呈现一个崭新的数学世界的教学目的。
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“数”通过“形”获得直观体验，可以迅速而简洁地理解数学题意，所以有人说，一个图形胜过千言万语;“形”通过“数”而得到规律化的总结，所以，有万物皆“数”的感叹。这里，结合自己多年的教学实践，谈一谈数形结合在小学数学教学中如何突破教学瓶颈。
一、数形结合思想在小学数学教学中的积极作用
（一）学生的逻辑思维能力能在数形结合的思想下得以提升
小学数学教学中的数形结合运用主要是通过数字与图形相结合的方法来解决题目中出现的问题。数字既包含题目中的已知条件又包含在做题过程中推算出来的结果，从而将示意图或者柱状图画出来，再由曲线图或者柱状图来解决题目中出现的问题，为清晰题目了解题意有更直观的了解。在小学数学教学中运用和实施数形结合的思想，更有利于学生跟着教学老师的思想和步骤探讨题意，能够帮助学生利用有限的已知条件在最短的时间内解决问题。
（二）学生的学习积极性能在数形结合思想运用过程中得以提升
在小学数学的实际开展中，数形结合的思想能够使学生们的学习兴趣得以激发，使学生的学习效率得以提高。在学习过程中，老师可以根据学生在解决问题中遇到的麻烦，充分利用数形结合思想的好处，推动学生自主思考、自主探索问题。随着探索的不断深入，使学生的运用能力得以提高。
二、数形结合思想的运用在小学数学教学中的意义
（一）利用数形结合思想，使学生们的学习积极性得以提升
通过数形结合思想，可以让数字变得生动起来，这是数形结合思想的其中一个优势。因为小学生的逻辑为能力和抽象思维水平并不高，所以在面对较难理解的数学题时往往会导致学习效率不高，学习积极性的降低。所以小学数学老师可以利用数形结合的方法来引导学生们用一种更直观的方式看待问题，从而提高学生的学习效率，提升学生们的积极性。
（二）利用数形结合思想，使学生更好地掌握数学知识
在学习过程中，通过数形结合的方法，可以使学生较快速度的充分了解数学知识，从而在数学知识的学习过程中，在促使学生了解数学知识的过程中，帮助学生不断的提高理解题目的能力和举一反三的能力。
（三）利用数形结合的思想，使学生的解题效率得以提高
在教学工作的实施中，为了使教学质量得以提高，可以通过数形结合思想的灵活运用，不断地改进教学工作中的授课模式，使学习氛围得以优化，鼓励所有学生在教学活动中有所参与，这样不光可以使学生的做题速度和效率得以提高，还能够使学生的学习自信心得以提升，从而更轻松地学习数学知识。与此同时，数学教师可以在课堂的不同时间段安排随堂小考，以此来对学生的解题速度和解题的效率进行记录，并且鼓舞学生大胆提出问题、回答问题，从而使其他同学在解决问题的同时，将当堂学习的内容再复习一遍，以达到提高学生课堂学习效率的目的。所以，在日常的教学任务中，通过数形结合的思想来使学生解决问题的效率提高是数学教师教学任务的重中之重。例如：在解题过程中，数学教师可以告诉学生通过判断原理图，从而确定题目所考察的知识点，进而提高解题效率。
三、数形结合，有效突破教学难点
教学难点就是学生认知过程中矛盾的焦点，是学生学习过程中易于混淆的知识点。它像一块绊脚石、一只拦路虎，阻碍了学生学习新知识的脚步。只有化解难点、解除疑惑才能保证教学的顺畅有效。当然，在一定意义上说，教学难点本身也属于教学重点。如何有效的突破教学难点呢？数形结合是一种行之有效的方法。如教学“比一个数的几倍多（少）几？”“六一节”小朋友做红花150朵，比黄花的2倍少10朵，黄花做了多少朵？很多孩子想当然地认为应该这样列式：150÷2-10=65（朵）。如果教师过早地抛出正确列式：（150 10）÷2=80（朵），学生貌似理解了，但过后遇到类似的题目还是会用错误的方法解答。本题的难点是“黄花的2倍的对应量是多少？”教师通过引导学生画线段图就能够有效地突破这个理解瓶颈。
在本题中，把黄花的朵数看作单位“1”，先确定好黄花朵数的长度，再让学生想一想再画红花朵数的长度。启发学生应该画多长？是黄花的两倍吗？当然不是，应该比2倍少10朵。再追问：那么是黄花朵数的2倍是150吗？是（150-10）吗？为什么？学生就容易理解：不是，红花150朵本来就不到黄花的2倍，如果再减10朵，不就比2倍更少了，（150 10）才应该是黄花2倍的量。这样，学生对于题意的理解才真正到位，获得了思维的精彩体验。自然的，本题要求黄花朵数即一份量，学生就知道正确列式了。因此，在学生遇到认知障碍时，适时引入线段图，让图形把题目中的数量关系准确地、清楚地表达出来。这样让学生明白自己错了并知道错在哪里，达到知其然且知其所以然的效果。本节课通过巧用数形结合，把抽象的数学问题用直观的线段图表现出来，有效地突破了难点。
四、数形结合，准确揭示数学本质
现在，部分教师在数学教学时只满足于让学生掌握基础知识和基本技能，忽视了对数学中更深层次的数学思想和方法的挖掘提升。这是非常肤浅的。事实上，数学更重要的内容恰恰是其背后蕴含的数学思想与数学方法，它们才是数学的本质。实践证明，数学课堂上合理利用数形结合思想方法，能够由表及里，由浅入深，有效突破教学瓶颈，完美地揭示数学本质。例如，人教版五年级数学下册《打电话》，这节课是一节综合应用实践课程。它的教学内容抽象难懂，该如何理解打电话中最优方案及其運用呢？我做了以下尝试。出示例题：一个七人合唱队，接到一个紧急演唱的任务，教师需要以最快的速度通知每一个队员参与。如果用打电话的方式，每分钟通知到一个人。要怎么做才能尽快让每个队员都接到通知？先让学生猜想几分钟后能尽快通知到每个队员。然后，教师问：“你们准备用什么方法进行验证呢？”学生提出了可以演一演，算一算，画一画的方法。绝大部分同学采用了画一画的方法。 学生用这样直观的图形表示出自己的想法，从学生1到学生4的图。可以看出是一步一步思考的过程，图画得越来越直观，也可以看出不同层次的学生的思考程度也不同。我们用图清晰地表示出来合唱队有7人的情况，如果合唱队有15人，63人，100人……数据越来越大，画图法的局限性就显现出来了。这时，“数”该请上场了。请大家根据图（教师把课件定格在学生4的图上）填写以下的表格。
学生在填表时前1到3分钟，直接看图就可以填了。填到第4分钟，第5分钟时学生就得思考接下去该怎么填？有没有什么规律可循？第n分钟时，又该怎么填呢？看似简单的表格，却是学生观察、分析、归纳、总结的过程。“数”的出现使学生的思维不光停留在图形的表象，而是揭示了数学的本质。让学生感受了几何倍增学的神奇，进一步优化了思想，建立了数学模型。在教学实践中，因为合理地采用了数形结合的方法，不仅课堂流畅、内容饱满，也让各个层次的学生在数学上得到了不同的发展。
五、以形助数，理清解决问题的思路
数学是一门具有抽象性逻辑思维强的科目，对于小学生而言，其中有很多的知识是晦涩难懂的，他们并没有很好地数学思维和数学学习方法，教师一味地采取填鸭式教学，只会增加数学的枯燥感，降低学生的学习兴趣。因此需要利用思维导图，将教学中的晦涩难懂的知识点或者容易混淆的知识点进行罗列出来，通过图文并茂的形式，更加直观的解决这些难题，而且能够增强学生对这些难题的记忆，加深他们的理解能力，一步步的提高自身的数学学习水平。像在学习几何图形的过程中，很多学生对等腰三角形、等边三角形和钝角三角形三者的概念改不清楚，那么教师从各自的特点出发，为学生建立数形结合的学习方法，让学生在对比的学习方法中掌握相关的知识。
数学知识呈现出一定的规律性，一个单元里面往往包含了很多小知识点，二这些小知识点又分散在单元不同的位置，学生在进行单元学习的时候，往往只会注重单元的中心内容，对于这些小知识点很难做到全部的掌握，再加上小学中所学的数学知识本身就很杂乱，导致大脑中的数学知识十分的混乱。
《数学课程标准（2011年版）》明确指出：利用图形描述问题和分析问题，有助于复杂问题简明化，从而找到探索问题的思路并对结果进行预测。这就要求教师能引导学生将抽象的问题直观化、形象化。在学生动手操作过程中，主动思考，突破思维障碍，进而找到解决问题的思路和方法。例如人教版五年级下册《分数的加减法混合运算》中需要解决《喝牛奶问题》：一杯纯牛奶，乐乐喝了半杯后，觉得有些凉，就兑满了热水。他又喝了半杯，就出去玩了，乐乐一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？
这节课的学习与教学瓶颈是例题中在没有出现一个相应的分数，也无法准确知道在兑水后喝完的半杯里面牛奶和水分别是多少杯？课前我布置学生先预习，有条件的可以像乐乐那样喝牛奶。
第二天我检查预习情况时，听到所有学生说：“在牛奶里加上水，牛奶味越来越淡，越来越难喝。”教师：“为什么会越来越淡呢？”学生回答：“因为里面加了水。”也有人说“水多了牛奶少了”。这些是学生最感性的认识。教师追问：“第一次兑水后，乐乐分别喝了多少杯牛奶，多少杯水？”这个问题一抛出，教室里顿时安静了。教师：“我们可以用什么方法来分析呢？对，大家可以画一画，那请把自己的想法试着画出来吧。”
像图1这样画的学生对第二次喝牛奶还只有一个整体的感受。
像图2这样画的学生是这样解释的：第二次喝掉的半杯里一半是牛奶，一半是水。因为牛奶和水混合在一起了。这时喝的牛奶是半杯的一半，所以也就是整杯的1/4。水也喝了1/4杯。牛奶一共喝1/2 1/4=3/4杯。像图3这样的图画的也非常地直观，他的解释同图2的学生。教学中，教师放手让学生把自己的想法借助图形展开分析、想象，既帮助学生理解了题意，又直观地画出了第二次喝的半杯里牛奶和水分别是多少杯。学生从图中一眼就看明白了难懂的[12]杯的一半与整杯之间的关系。本课中用“形”的直观启迪“数”的计算，为这无一具体数字的题目探索了解决问题的思路和方法。可见，数学教学中巧用数形结合，既可以把抽象的数学问题直观明了化;也可以把习以为常的生活问题提炼成数学知识、揭示数学规律。从而，突破教學瓶颈，打通教学环节，实现教学相长。作为一种行之有效的数学方法，教师要在数学教学中渗透数形结合的思想，逐步培养学生利用数形结合解决问题的意识和能力，实现让数形结合为学生呈现一个崭新的数学世界的教学目的。
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